第四章第四章 线性规划在工商管理线性规划在工商管理中的应用中的应用第四章 线性规划在工商管理中的应用4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题例例1 1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? ?4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题解：设解：设 x xi i 表示第表示第 i i 班次时开始上班的司机和班次时开始上班的司机和乘务人员数乘务人员数, ,这样我们可以建立如下的线性规划模这样我们可以建立如下的线性规划模型型目标函数：目标函数： min min x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 约束条件：约束条件：s. t. s. t. x x1 1 + + x x6 6 60 60 x x1 1 + + x x2 2 70 70 x x2 2 + + x x3 3 60 60 x x3 3 + + x x4 4 50 50 x x4 4 + + x x5 5 20 20 x x5 5 + + x x6 6 30 30 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3, , x x4 4, , x x5 5, , x x6 6 0 0 。最优值最优值： 150最优解：最优解： x1 = 50 ， x2 = 20x3 = 50， x4 = 0x5 =20， x6 =104.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题例例2 2 福安商场是个中型的百货商场，它对售货员福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如右表。为了保证售货人员充的需求经过统计分析如右表。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？人数最少？4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题解：设解：设 x xi i ( ( i i = 1 = 17 ) 7 ) 表示星期表示星期 i i 开始休息的人开始休息的人数，于是我们可以建立如下的线性规划模型数，于是我们可以建立如下的线性规划模型目标函数：目标函数：min min x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 + + x x7 7 约束条件：约束条件：s.t. s.t. x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 28 28 x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 15 15 x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 + + x x7 7 24 24 x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 + + x x7 7 + + x x1 1 25 25 x x5 5 + + x x6 6 + + x x7 7 + + x x1 1 + + x x2 2 19 19 x x6 6 + + x x7 7 + + x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 31 31 x x7 7 + + x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 28 28 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3, , x x4 4, , x x5 5, , x x6 6, , x x7 7 0 0 。最优值：最优值： 3636最优解：最优解：x x1 1 = 12= 12 x x2 2 = 0= 0，x x3 3 = 11 = 11 x x4 4 = 5 = 5，x x5 5 = 0 = 0 x x6 6 = 8= 8，x x7 7 = 0 = 0第四章 线性规划在工商管理中的应用4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题 例例 3 3明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x x1 1，x x2 2，x x3 3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，丙三种产品的件数，x x4 4，x x5 5 分别为由外协铸造再由本公司分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件求一件 x xi i 的利润：的利润： 利润利润 = = 售价售价 - - 各成本之和各成本之和4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题 例例 3 3明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x x1 1，x x2 2，x x3 3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，丙三种产品的件数，x x4 4，x x5 5 分别为由外协铸造再由本公司分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件求一件 x xi i 的利润：的利润： 利润利润 = = 售价售价 - - 各成本之和各成本之和由上式可得到由上式可得到 x xi i ( (i i = 1, 2, 3, 4, 5 ) = 1, 2, 3, 4, 5 ) 的利润分别的利润分别为为 1515、1010、7 7、1313、9 9 元。元。4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题 例例 3 3明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x x1 1，x x2 2，x x3 3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，丙三种产品的件数，x x4 4，x x5 5 分别为由外协铸造再由本公司分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件求一件 x xi i 的利润：的利润： 利润利润 = = 售价售价 - - 各成本之和各成本之和由上式可得到由上式可得到 x xi i ( (i i = 1, 2, 3, 4, 5 ) = 1, 2, 3, 4, 5 ) 的利润分别的利润分别为为 1515、1010、7 7、1313、9 9 元。元。这样我们可以建立如下的线性规划模型这样我们可以建立如下的线性规划模型目标函数：目标函数：max 15max 15x x1 1 + 10 + 10x x2 2 + 7 + 7x x3 3 + 13 + 13x x4 4 + 9 + 9x x5 5 约束条件约束条件 s.t. 5s.t. 5x x1 1 + 10 + 10x x2 2 + 7 + 7x x3 3 8000 8000 6 6x x1 1 + 4 + 4x x2 2 + 8 + 8x x3 3 + 6 + 6x x4 4 + 4 + 4x x5 5 12000 12000 3 3x x1 1 + 2 + 2x x2 2 + 2 + 2x x3 3 + 3 + 3x x4 4 + 2 + 2x x5 5 10000 10000 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3, , x x4 4, , x x5 5 0 0 。4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题例例4 4 永久机械厂生产永久机械厂生产、三种产品，均要经过三种产品，均要经过 A A、B B 两道工序加工。设有两种规格的设备两道工序加工。设有两种规格的设备 A A1 1、A A2 2 能完成能完成 A A 工序；有三种规格的设备工序；有三种规格的设备 B B1 1、B B2 2、B B3 3 能完成能完成 B B 工序。工序。可在可在 A A、B B 的任何规格的设备上加工；的任何规格的设备上加工； 可在任意规格可在任意规格的的 A A 设备上加工，但对设备上加工，但对 B B 工序，只能在工序，只能在 B B1 1 设备上加工；设备上加工； 只能在只能在 A A2 2 与与 B B2 2 设备上加工；其有关数据如下表。问：设备上加工；其有关数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x xijkijk 表示第表示第 i i 种产品，在第种产品，在第 j j 种工序上的第种工序上的第 k k 种设备上种设备上加工的数量。如加工的数量。如 x x123 123 表示第表示第种产品在第种产品在第 B B 道工序上用道工序上用 B B3 3 设备加设备加工的数量。工的数量。 4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题例例4 4 永久机械厂生产永久机械厂生产、三种产品，均要经过三种产品，均要经过 A A、B B 两道工序加工。设有两种规格的设备两道工序加工。设有两种规格的设备 A A1 1、A A2 2 能完成能完成 A A 工序；有三种规格的设备工序；有三种规格的设备 B B1 1、B B2 2、B B3 3 能完成能完成 B B 工序。工序。可在可在 A A、B B 的任何规格的设备上加工；的任何规格的设备上加工； 可在任意规格可在任意规格的的 A A 设备上加工，但对设备上加工，但对 B B 工序，只能在工序，只能在 B B1 1 设备上加工；设备上加工； 只能在只能在 A A2 2 与与 B B2 2 设备上加工；其有关数据如下表。问：设备上加工；其有关数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题s.t. 5s.t. 5x x111111 + 10 + 10x x211 211 6000 6000 （设备（设备 A A1 1） 7 7x x112112 + 9 + 9x x212212 + 12 + 12x x312312 10000 10000 （设备（设备 A A2 2） 6 6x x121121 + 8 + 8x x221221 4000 4000 （设备（设备 B B1 1） 4 4x x122122 + 11 + 11x x322322 7000 7000 （设备（设备 B B2 2） 7 7x x123123 4000 4000 （设备（设备 B B3 3）4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题例例4 4 永久机械厂生产永久机械厂生产、三种产品，均要经过三种产品，均要经过 A A、B B 两道工序加工。设有两种规格的设备两道工序加工。设有两种规格的设备 A A1 1、A A2 2 能完成能完成 A A 工序；有三种规格的设备工序；有三种规格的设备 B B1 1、B B2 2、B B3 3 能完成能完成 B B 工序。工序。可在可在 A A、B B 的任何规格的设备上加工；的任何规格的设备上加工； 可在任意规格可在任意规格的的 A A 设备上加工，但对设备上加工，但对 B B 工序，只能在工序，只能在 B B1 1 设备上加工；设备上加工； 只能在只能在 A A2 2 与与 B B2 2 设备上加工；其有关数据如下表。问：设备上加工；其有关数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题s.t. 5s.t. 5x x111111 + 10 + 10x x211 211 6000 6000 （设备（设备 A A1 1） 7 7x x112112 + 9 + 9x x212212 + 12 + 12x x312312 10000 10000 （设备（设备 A A2 2） 6 6x x121121 + 8 + 8x x221221 4000 4000 （设备（设备 B B1 1） 4 4x x122122 + 11 + 11x x322322 7000 7000 （设备（设备 B B2 2） 7 7x x123123 4000 4000 （设备（设备 B B3 3） x x111 111 + + x x112 112 - - x x121 121 - - x x122 122 - - x x123123 = 0 = 0 （产品在产品在 A A、B B 工序加工的数量相等）工序加工的数量相等） x x211 211 + + x x212 212 - - x x221221 = 0 = 0 （ 产品在产品在 A A、B B 工序加工的数量相等）工序加工的数量相等） x x312 312 - - x x322322 = 0 = 0 （ 产品在产品在 A A、B B 工序加工的数量相等）工序加工的数量相等） x xijkijk 0 0，i i = 1 = 1，2 2，3 3； j j = 1 = 1，2 2；k k = 1 = 1，2 2，3 3。4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x xijkijk 表示第表示第 i i 种产品，在第种产品，在第 j j 种工序上的第种工序上的第 k k 种设备上种设备上加工的数量。如加工的数量。如 x x123 123 表示第表示第种产品在第种产品在第 B B 道工序上用道工序上用 B B3 3 设备加设备加工的数量。工的数量。 总利润总利润 = = （销售单价（销售单价 - - 原料单价）原料单价） 产品件数产品件数 -( -(每台时的设备费用每台时的设备费用设备实际使用的总台时数设备实际使用的总台时数) ) 。4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题解：设解：设 x xijkijk 表示第表示第 i i 种产品，在第种产品，在第 j j 种工序上的第种工序上的第 k k 种设备上种设备上加工的数量。如加工的数量。如 x x123 123 表示第表示第种产品在第种产品在第 B B 道工序上用道工序上用 B B3 3 设备加设备加工的数量。工的数量。 总利润总利润 = = （销售单价（销售单价 - - 原料单价）原料单价） 产品件数产品件数 -( -(每台时的设备费用每台时的设备费用设备实际使用的总台时数设备实际使用的总台时数) ) 。这样可以我们建立如下的数学模型这样可以我们建立如下的数学模型: :max max z z = 0.75= 0.75x x111 111 + 0.7753+ 0.7753x x112 112 + 1.15+ 1.15x x211 211 + 1.3611+ 1.3611x x212 212 + 1.9148 + 1.9148x x312312 - 0.375 - 0.375x x121 121 - 0.5- 0.5x x221221- 0.4475- 0.4475x x122122 - 1.2304 - 1.2304x x322 322 - 0.35- 0.35x x123123 4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题最优值：最优值： 1146.60051146.6005。最优解：最优解： x x111111= 1200= 1200， x x112 112 = 230.0492= 230.0492， x x211211= 0= 0， x x212212= 500= 500， x x312312= 324.138= 324.138， x x121 121 = 0= 0， x x221 221 =500=500， x x122 122 = 858.6206= 858.6206， x x322 322 = 324.138= 324.138， x x123 123 = 571.4286= 571.4286。第四章 线性规划在工商管理中的应用4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题4.3 4.3 套裁下料问题套裁下料问题4.3 4.3 套裁下料问题套裁下料问题例例5 5某工厂要做某工厂要做100100套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 2.9 m,2.1 m, 1.5 m m, 1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？问：应如何下料，可使所用原料最省？解：我们可以设计下列解：我们可以设计下列8 8 种下料方案，但只需考虑前种下料方案，但只需考虑前5 5 种。种。4.3 4.3 套裁下料问题套裁下料问题 设设 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3, , x x4 4, , x x5 5 分别为上面前分别为上面前5 5 种方案种方案下料的原材料根数。于是我们可以建立如下的数学模型。下料的原材料根数。于是我们可以建立如下的数学模型。目标函数：目标函数： min min x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 约束条件：约束条件： s. t.s. t. x x1 1 + 2 + 2x x2 2 + + x x4 4 100 100 2 2x x3 3 + 2 + 2x x4 4 + + x x5 5 100 100 3 3x x1 1 + + x x2 2 + 2 + 2x x3 3 + 3 + 3x x5 5 100 100 x x1 1, , x x2 2, , x x3 3, , x x4 4, , x x5 5 0 0 。用管理运筹学软件解得用管理运筹学软件解得（目标函数最小值为目标函数最小值为 90）x1 = 30， x2 = 10， x3 = 0， x4 = 50， x5 = 0 。第四章 线性规划在工商管理中的应用4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题4.3 4.3 套裁下料问题套裁下料问题4.4 4.4 配料问题配料问题4.4 4.4 配料问题配料问题例例6 6某工厂要用三种原料某工厂要用三种原料1 1、2 2、3 3 混合调配出三种不混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下表表. .问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？4.4 4.4 配料问题配料问题解：设解：设 x xijij 表示第表示第 i i（i = i = 1 , 2, 31 , 2, 3，1=1=甲，甲，2=2=乙，乙，3=3=丙）丙）种产品中原料种产品中原料 j j ( ( j j =1 , 2, 3 ) =1 , 2, 3 ) 的含量。的含量。如如 x x23 23 就表示乙产品中第就表示乙产品中第 3 3 种原材料的含量。种原材料的含量。4.4 4.4 配料问题配料问题 从第一个表得约束条件：从第一个表得约束条件： x x1111 0.5( 0.5( x x1111+ +x x1212+ +x x1313 ) )， x x1212 0.25( 0.25( x x1111+ +x x1212+ +x x1313 ) )， x x2121 0.25( 0.25( x x2121+ +x x2222+ +x x23 23 ) )， x x2222 0.5( 0.5( x x2121+ +x x2222+ +x x23 23 ) )。 从第二个表得约束条件：从第二个表得约束条件： x x1111+ +x x2121+ +x x31 31 100 100， x x1212+ +x x2222+ +x x3232 100 100， x x1313+ +x x2323+ +x x33 33 60 60。4.4 4.4 配料问题配料问题例例6 6某工厂要用三种原料某工厂要用三种原料1 1、2 2、3 3 混合调配出三种不混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下表表. .问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？4.4 4.4 配料问题配料问题利润利润 = = 总收入总收入 - - 总原料支出总原料支出Max 5Max 50(0(x x1111+ +x x1212+ +x x1313)+35()+35(x x2121+ +x x2222+ +x x2323)+25()+25(x x3131+ +x x3232+ +x x3333) )65(65(x x1111+ +x x2121+ +x x3131）25(25(x x1212+ +x x2222+ +x x3232)35()35(x x1313+ +x x2323+ +x x3333) )4.4 4.4 配料问题配料问题 整理后得此问题的数学模型：整理后得此问题的数学模型： 目标函数目标函数 max z = -15max z = -15x x1111+25+25x x1212+15+15x x1313-30-30x x2121+10+10x x2222-40-40x x3131-10-10x x3333 约束条件约束条件 0.5 0.5x x11 11 - 0.5- 0.5x x12 12 - 0.5- 0.5x x13 13 0 0 -0.25 -0.25x x11 11 + 0.75+ 0.75x x1212- 0.25- 0.25x x13 13 0 0 0.75 0.75x x21 21 - 0.25- 0.25x x22 22 - 0.25- 0.25x x2323 0 0 -0.5 -0.5 x x21 21 + 0.5 + 0.5 x x2222 - 0.5 - 0.5 x x2323 0 0 x x2121 + + x x3131 100 100 x x12 12 + + x x2222 + + x x3232 100 100 x x13 13 + + x x2323 + + x x3333 60 60 x xijij 0, 0, i i = 1, 2, 3; = 1, 2, 3; j j = 1, 2, 3 = 1, 2, 3。最大值为：最大值为：500500最优解为：最优解为：x x11 11 = 100= 100 x x12 12 = 50= 50 x x1313 = 50 = 50， 其余的其余的 x xijij = 0 = 0 第四章 线性规划在工商管理中的应用4.1 4.1 人力资源分配的问题人力资源分配的问题4.2 4.2 生产计划的问题生产计划的问题4.3 4.3 套裁下料问题套裁下料问题4.4 4.4 配料问题配料问题4.5 4.5 投资问题投资问题4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：4.4 4.4 配料问题配料问题问： ：a）应如何确定如何确定这些些项目的每年投目的每年投资额，使得第五年年，使得第五年年末末拥有有资金的本利金金的本利金额为最大？最大？b）应如何确定如何确定这些些项目的每年投目的每年投资额，使得第五年年，使得第五年年末末拥有有资金的本利在金的本利在330万元的基万元的基础上使得其投上使得其投资总的的风险系数系数为最小？最小？解：解： (1) (1) 确定决策变量：确定决策变量： a a ) ) 这是一个连续投资问题，我们设这是一个连续投资问题，我们设 x xijij 表示第表示第 i i ( ( i i = = 1 15 ) 5 ) 年初投资于年初投资于 j j ( ( j j = = A A，B B，C C，D D ) ) 项目的金额项目的金额（单位万元）。（单位万元）。根据给定条件将决策变量列表如下：根据给定条件将决策变量列表如下： 4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：解：解： (1) (1) 确定决策变量：确定决策变量： a a ) ) 这是一个连续投资问题，我们设这是一个连续投资问题，我们设 x xijij 表示第表示第 i i ( ( i i = = 1 15 ) 5 ) 年初投资于年初投资于 j j ( ( j j = = A A，B B，C C，D D ) ) 项目的金额项目的金额（单位万元）。（单位万元）。根据给定条件将决策变量列表如下：根据给定条件将决策变量列表如下： 12345Ax1Ax2Ax3Ax4Ax5A Bx1Bx2Bx3Bx4BCx3CDx2D4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：(2) (2) 约束条件：约束条件： 每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：第一年：有资金有资金200200万元，故有万元，故有 x x1A1A+ x+ x1B 1B = 200= 200；4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：(2) (2) 约束条件：约束条件： 每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：第一年：有资金有资金200200万元，故有万元，故有 x x1A1A+ x+ x1B 1B = 200= 200；第二年：第二年：第一年给项目第一年给项目B B 的投资次年末才可收回，故第二年的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目年初仅有第一年给项目A A 的投资本息的投资本息 1.1 x1.1 x1A1A，于是，于是x x2A 2A + x+ x2B2B+ x+ x2D2D = 1.1x = 1.1x1A1A；4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：(2) (2) 约束条件：约束条件： 每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：第一年：有资金有资金200200万元，故有万元，故有 x x1A1A+ x+ x1B 1B = 200= 200；第二年：第二年：第一年给项目第一年给项目B B 的投资次年末才可收回，故第二年的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目年初仅有第一年给项目A A 的投资本息的投资本息 1.1 x1.1 x1A1A，于是，于是x x2A 2A + x+ x2B2B+ x+ x2D2D = 1.1x = 1.1x1A1A；第三年：第三年：年初有资金年初有资金 1.1x1.1x2A2A+ 1.25x+ 1.25x1B1B，于是有，于是有x x3A 3A + x+ x3B3B+ x+ x3C3C = 1.1x = 1.1x2A2A+ 1.25x+ 1.25x1B1B；4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：(2) (2) 约束条件：约束条件： 每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：第一年：有资金有资金200200万元，故有万元，故有 x x1A1A+ x+ x1B 1B = 200= 200；第二年：第二年：第一年给项目第一年给项目B B 的投资次年末才可收回，故第二年的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目年初仅有第一年给项目A A 的投资本息的投资本息 1.1 x1.1 x1A1A，于是，于是x x2A 2A + x+ x2B2B+ x+ x2D2D = 1.1x = 1.1x1A1A；第三年：第三年：年初有资金年初有资金 1.1x1.1x2A2A+ 1.25x+ 1.25x1B1B，于是有，于是有x x3A 3A + x+ x3B3B+ x+ x3C3C = 1.1x = 1.1x2A2A+ 1.25x+ 1.25x1B1B；第四年：第四年： x x4A 4A + x+ x4B4B = 1.1x = 1.1x3A3A+ 1.25x+ 1.25x2B2B；4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：第五年：第五年： x x5 5A A = 1.1= 1.1x x4 4A A+ 1.25+ 1.25x x3 3B B； (3) (3) 目标函数及模型：目标函数及模型： max max z z = 1.1 = 1.1x x5 5A A+ 1.25+ 1.25x x4 4B B+ 1.4+ 1.4x x3 3C C + 1.55+ 1.55x x2 2D Ds. t. s. t. x x1 1A A+ + x x1 1B B = 200= 200 x x2 2A A + + x x2 2B B+ + x x2 2D D = 1.1 = 1.1x x1 1A A x x3 3A A + + x x3 3B B+ + x x3 3C C = 1.1 = 1.1x x2 2A A+ 1.25+ 1.25x x1 1B B x x4 4A A + + x x4 4B B = 1.1 = 1.1x x3 3A A+ 1.25+ 1.25x x2 2B B x x5 5A A = 1.1= 1.1x x4 4A A+ 1.25+ 1.25x x3 3B B 4.4 4.4 配料问题配料问题例例8 8某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目投资。已知：项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利投资，当年末能收回本利110%110%。项目项目B B：从第一年到第四年：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%。但规定每年。但规定每年最大投资额不能超过最大投资额不能超过3030万元；万元；项目项目C C：需在第三年年初投资，：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过8080万元；万元；项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100100万元。据测定每万元万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：每次投资的风险指数如下表：(3) (3) 目标函数及模型：目标函数及模型： max max z z = 1.1 = 1.1x x5 5A A+ 1.25+ 1.25x x4 4B B+ 1.4+ 1.4x x3 3C C + 1.55+ 1.55x x2 2D Ds. t. s. t. x x1 1A A+ + x x1 1B B = 200= 200 x x2 2A A + + x x2 2B B+ + x x2 2D D = 1.1 = 1.1x x1 1A A x x3 3A A + + x x3 3B B+ + x x3 3C C = 1.1 = 1.1x x2 2A A+ 1.25+ 1.25x x1 1B B x x4 4A A + + x x4 4B B = 1.1 = 1.1x x3 3A A+ 1.25+ 1.25x x2 2B B x x5 5A A = 1.1= 1.1x x4 4A A+ 1.25+ 1.25x x3 3B B x xiBiB 30 ( 30 ( i i =1 =1，2 2，3 3，4 )4 ) x x3 3C C 80 80 x x2 2D D 100 100 x xijij 0 ( 0 ( i i = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，5 5；j j = = A A，B B，C C，D D）。）。用管理运筹学软件解得用管理运筹学软件解得 目标函数最大值为目标函数最大值为 341.35 341.35 万元万元 x x1 1A A = 170= 170，x x1 1B B = 30= 30； x x2 2A A = 57 = 57， x x2 2B B = 30= 30， x x2 2D D = 100= 100； x x3 3A A = 0 = 0， x x3 3B B = 20.2= 20.2，x x3 3C C = 80= 80； x x4 4A A = 7.5 = 7.5，x x4 4B B = 30= 30； x x5 5A A = 33.5 = 33.5 。4.4 4.4 配料问题配料问题问： ：a）应如何确定如何确定这些些项目的每年投目的每年投资额，使得第五年年，使得第五年年末末拥有有资金的本利金金的本利金额为最大？最大？b）应如何确定如何确定这些些项目的每年投目的每年投资额，使得第五年年，使得第五年年末末拥有有资金的本利在金的本利在330万元的基万元的基础上使得其投上使得其投资总的的风险系数系数为最小？最小？ Min f= x Min f= x1A1A+x+x2A2A+x+x3A3A+x+x4A4A+x+x5A5A+ 3(x+ 3(x1B1B+x+x2B2B+x+x3B3B+x+x4B4B)+4x)+4x3C3C+5.5x+5.5x2D 2D s. t. x s. t. x1A1A+ x+ x1B 1B = 200= 200 x x2A 2A + x+ x2B2B+ x+ x2D2D = 1.1x = 1.1x1A1A x x3A 3A + x+ x3B3B+ x+ x3C3C = 1.1x = 1.1x2A2A+ 1.25x+ 1.25x1B1B x x4A 4A + x+ x4B4B = 1.1x = 1.1x3A3A+ 1.25x+ 1.25x2B2B x x5A 5A = 1.1x= 1.1x4A4A+ 1.25x+ 1.25x3B3B x xiBiB 30 30 ( ( i i =1 =1，2 2，3 3，4 )4 ) x x3 3C C 80 80 x x2 2D D 100 100 1.1 1.1x x5 5A A + 1.25+ 1.25x x4 4B B+ 1.4+ 1.4x x3 3C C+ 1.55+ 1.55x x2 2D D 330 330x xijij 0 ( 0 ( i i = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，5 5；j j = = A A，B B，C C，D D）用管理运筹学软件解得：目标函数最小值为用管理运筹学软件解得：目标函数最小值为 13001300。x x1 1A A = 200= 200， x x2 2A A = 192.3 = 192.3， x x3 3A A = 131.5 = 131.5， x x4 4A A = 144.7 = 144.7，x x5 5A A = 159.2 = 159.2， x x3 3C C = 80= 80， x x2 2D D = 27.7= 27.7，x x1 1B B = = x x2 2B B = = x x3 3B B = = x x4 4B B = 0= 0。 例例9某人有一笔某人有一笔50万元的资金可用于长期投资。可供万元的资金可用于长期投资。可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等，不同的投资方式的具地产、购买股票或银行保值储蓄等，不同的投资方式的具体参数见下表。体参数见下表。 投资者希望投资组合的平均年限不超过投资者希望投资组合的平均年限不超过 5 年，平均的年，平均的期望收益率不低于期望收益率不低于13%，风险系数不超过风险系数不超过4，收益的增长潜收益的增长潜力不低于力不低于 10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？选择投资组合使平均年收益率最高？序序 号号投投资方式方式投投资期限期限（年）（年）年收益率年收益率（）（）风险系数系数增增长潜力潜力（）（）1国国库券券311102公司公司债券券10153153房地房地产6258304股票股票2206205短期定期存款短期定期存款110156长期保期保值储蓄蓄5122107现金存款金存款0300希望希望 5 5 13 4 10解：解： 设设 x xi i 为第为第 i i ( ( i i = 1= 17 ) 7 ) 种投资方式在总投资额种投资方式在总投资额中所占的比例。则该问题的线性规划模型可写为：中所占的比例。则该问题的线性规划模型可写为： max max z z = 11 = 11x x1 1 +15+15x x2 2 + 25+ 25x x3 3 + 20+ 20x x4 4 +10+10x x5 5 +12+12x x6 6 +3+3x x7 7 s. t. 3 s. t. 3x x1 1 +10 +10x x2 2 + 6+ 6x x3 3 + 2+ 2x x4 4 + + x x5 5 +5+5x x6 6 5 5 11 11x x1 1 +15 +15x x2 2 + 25+ 25x x3 3 + 20+ 20x x4 4 + 10+ 10x x5 5 +12+12x x6 6 +3+3x x7 7 1313 x x1 1 +3 +3x x2 2 + 8+ 8x x3 3 + 6+ 6x x4 4 + + x x5 5 +2+2x x6 6 4 4 15 15x x2 2 +30 +30x x3 3 + 20+ 20x x4 4 + 5+ 5 x x5 5 +10+10x x6 6 1010 x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 + + x x7 7 =1=1 x xi i 0 ( 0 ( i i = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7）