齐鲁名师联盟2025届高三年级第一次诊断考试数学试卷本试卷共4页，19题.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理与概率统计.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 若集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 函数在区间上的最大值是（ ）A 9B. 16C. 16D. 93. 若正数，满足，则的最小值为（ ）A. 2B. C. 3D. 4. 从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（ ）A B. C. D. 5. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）A. 48B. 32C. 24D. 166. 令，则当时，a除以15所得余数为（ ）A. 4B. 1C. 2D. 07. 不等式恒成立，则实数最大值为（ ）A. B. C. 1D. 28. 已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，99；三位回文数有90个：101，111，121，191，202，999.下列说法正确的是（ ）A. 四位回文数有45个B. 四位回文数有90个C. （）位回文数有个D. （）位回文数有个10. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，则D. 若，则11. 已知函数是的导函数，则（ ）A. “”是“为奇函数”的充要条件B. “”是“为增函数”的充要条件C. 若不等式的解集为且，则的极小值为D. 若是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为_.13. 已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是_14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.51894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为_.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数，其中.（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.16. 已知函数.（1）求函数的单调区间和极值;（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.17. 某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？18. 已知函数（1）在定义域内单调递减，求的范围；（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（3）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，定义随机变量的信息量，和的“距离”（1）若，求；（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为（）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）（）记随机变量和分别发出信号和收到信号，证明：第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司