第四讲（一）第四讲（一）第三章第三章 静态电磁场静态电磁场主要内容：主要内容：p 静态电场的基本问题静态电场的基本问题p 带电导体系的作用力带电导体系的作用力p 静态电场的能量静态电场的能量p 静态磁场基本问题静态磁场基本问题p 静态磁场的能量静态磁场的能量3.1 静电场及其方程1 1 电位函数及其方程电位函数及其方程 对于静电场，Maxwell方程为 这说明静电场是有散无旋矢 量场，可以表示为某个标量 场的梯度。VSn引入电位函数 ，令得到 满足的方程如果 ，变为Lap lace方程 问题：静电场与电位函数是不是一一对应 关系，这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的？（Poisson方程） 电位函数方程的求解，必需知道位函数 在区域边界上的状态，即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程。2 边界条件n 3 导体的边界条件 导体内部存在大量可自由移动的电子宏观上呈现电中性E+达到静电平衡状态导体内部电场为零附加场没有外加电场电场中的导体：电场中的导体： 导体内部电场为零，导体为等势体；导体内部电场为零，导体为等势体； 导体边界面上电场的切向分量为零；导体边界面上电场的切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面电荷只分布在导体的表面4 4 静电场的定解问题静电场的定解问题 均匀介质空间均匀介质空间中的静中的静 电场为确定边界条件下电场为确定边界条件下 PoissonPoisson方程的解，即方程的解，即【例3-1】电偶极子由相距一 小距离L的两个等值异号的 点电荷所组成的电荷体系， 其方向由负电荷指向正电 荷，大小为： 。求 电偶极子在远处的电场。q-qMr2r15 静电场的能量和能量密度 静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。 根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和 第一个小电荷元自从无穷远处移到r1，外界克服电场力做功为零 第二个小电荷元自从无穷远处移到r2点时，外力克服电场力作功为：第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点时，外力克服电场力作功为：第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力克服电场力作功为：另一方面：另一方面：静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。能量密度函数两者都可作为静电场能量计算公式但意义不同能否作为能量密度函数将静电场能量公式应用到导体系，由于导体的电位为常数，从而得到导体系的能量为 导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量6 带电体系的静电作用力虚功原理如下：设一定空间结构的带电体系，静电能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的移 ,变化后体系的静电能为We， 静电力作的虚功为： 该虚功等于电荷体系能量的减少 将上式应用于电荷保持不变导体系： 结合导体系能量表达式，静电力为 单位导体表面积受到的静电力是： 为系统总电荷在导体表面处产生的电场 （含受力面元本身的电荷在内）问题：根据库仑定律按照虚功原理得到： 将上式应用于电位保持不变导体系： 导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。 xld【例例】 平行板电容器宽长度为l，宽度为b， 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 为V0 的直流电源，求电容器的储能；求介质 板在拉出时受到的作用力。忽略平行板的边缘效应，两板极之间的电场为 3.4 恒定电流的磁场1 1 恒定电流磁场的矢势恒定电流磁场的矢势 恒定电流产生的磁场满足的方程是： 引入矢量函数 ，磁感应强度可表示为 称矢量函数 为磁矢势。但存在的问题是： 造成磁矢势不是唯一的原因是： 旋度由 确定 而 的散度没有唯一确定。 为使 A 与 B 之间是唯一对应关系，对磁 矢势附加条件，才能够则唯一确定。 令磁矢势满足这是一个矢量Poisson方程，包含三个标量Poisson方程，是求恒定电流磁场的基本方程 利用磁场在两介质边界上满足的条件 导出磁矢势的边界条件： 2 边界条件 由于电流分布的轴对称性，磁矢势以z为对 称轴，与 无关。3 小电流环磁偶极矩的磁场小电流环磁偶极矩的磁场 在有传导电流分布的区域 上，磁场的旋度不为零。 然而，在没有传导电流分 布的区域内，磁场的旋度 为零。具有静态电场的特 点。 因此在电流分布区 域以外的空间上磁场也可 以为某个标量场的散度。无源区无源区源区源区4 磁场的标量磁位 称为磁标位。必须注意的是，磁标位只能称为磁标位。必须注意的是，磁标位只能在没有传导电流的空间区域引入。这一方法在没有传导电流的空间区域引入。这一方法对于讨论介质中磁场的求解方程方便。对于讨论介质中磁场的求解方程方便。引入标量函数 ，在无电流区域上磁场可以表示为：利用磁感应强度无散特性和磁场定义，得到：定义假想的磁荷密度为：外加磁场外加磁场介质磁化的效果介质磁化的效果用等效磁荷描述用等效磁荷描述介质中磁标位满足的方程及其边界条件是： 电位和标量磁位之间的比较电位和标量磁位之间的比较 介质介质1介质介质2 证：下标1代表磁性介质，2代表真空由磁场的边界条件得到： H10【例例】证明 的磁性介质为等磁位体 3.5 3.5 电感与磁场的能量电感与磁场的能量1 1、自感与互感现象、自感与互感现象线圈线圈C上电流发生变化时上电流发生变化时,它所激发的它所激发的磁场也发生变化磁场也发生变化, 通过闭合曲线通过闭合曲线C所对所对应的曲面的磁通量也发生变化。必将应的曲面的磁通量也发生变化。必将在在闭合线圈闭合线圈C上产生感应电动势。这种上产生感应电动势。这种由于闭合线圈由于闭合线圈C自身电流变化而激发的自身电流变化而激发的电动势的现象称为自感现象。电动势的现象称为自感现象。C1C2I1I2互感现象互感现象 电流环C1在空间产生磁场，该磁场对以回路C2为 边界的曲面的磁通量（又称为磁通匝链数）为： 2、自感与互感系数、自感与互感系数是一个与空间介质的磁导率、C1和C2的几何结构有关的常量。这说明，电流环C1产生的磁场在以C2为边界的任意曲面上的磁通量与C1上的电流强度之比值与C1上的电流强度无关，该常量描述了载流线圈上单位电流强度在空间某回路为边界的曲面上产生磁通量的能力，称电感系数。它与电容、电阻一起构成了电路的基本参量。 C1中的电流在其自身边界的曲面上产生磁通量与C1上的电流强度之比为自感系数，记为L，使C2 C1 C，得到： C2 C1C1中的电流在C2为边界的曲面上产生的磁通量与C1中的电流强度之为互感系数，记为M12 C2 C13 3、磁场的能量、磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。电流环磁场力线dt时间内，电源对回路 j 所作的功为 dt电源对整个回路系统作的功为 ， 恒定电流磁场的能量由电流的分布唯一确定问题：不能代表磁场能量密度？磁场能量密度