W Y第五章第五章插值法插值法（上）（上）（上）（上）5-1阜师院数科院第五章 插值法W Y第五章第五章目录目录11拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）插值插值插值插值1.11.1插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性1.21.2插值多项式的误差估计插值多项式的误差估计插值多项式的误差估计插值多项式的误差估计1.31.3LagrangeLagrange插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式22牛顿（牛顿（牛顿（牛顿（NewtonNewton）插值插值插值插值2.12.1差商差商差商差商2.22.2NewtonNewton插值方式插值方式插值方式插值方式2.32.3差分差分差分差分2.42.4差距节点的插项公式差距节点的插项公式差距节点的插项公式差距节点的插项公式33HermiteHermite插值插值插值插值3.13.1HermiteHermite插值插值插值插值3.23.2误差估计误差估计误差估计误差估计3.33.3HermiteHermite插值的一般方式插值的一般方式插值的一般方式插值的一般方式44多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷4.14.1多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷4.24.2分段多项式插值分段多项式插值分段多项式插值分段多项式插值55样条函数样条函数样条函数样条函数5.15.1样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念5.25.2三次样条函数三次样条函数三次样条函数三次样条函数2阜师院数科院第五章 插值法W Y插值法概述插值法概述函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量数量数量数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点得到的一些数据，这些数据只是某些离散点得到的一些数据，这些数据只是某些离散点得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 x xi i上的值（上的值（上的值（上的值（包括函数值包括函数值包括函数值包括函数值f f( (x xi i) )，导数值导数值导数值导数值f f ( (x xi i) )等等等等, ,i i=0,1,2,=0,1,2,n n), ),虽然其函虽然其函虽然其函虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。3阜师院数科院第五章 插值法W Y插值法概述插值法概述(续续1）如行星在太空中的定位问题：如行星在太空中的定位问题：如行星在太空中的定位问题：如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，当行星在空间运行时，当行星在空间运行时，当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间可通过精密观测仪器在不同的时间可通过精密观测仪器在不同的时间可通过精密观测仪器在不同的时间t ti i( (i i=1,2,=1,2,) )观测到行观测到行观测到行观测到行星所在位置星所在位置星所在位置星所在位置S S( (t ti i) )，无论花费多少人力物力，所得到的只无论花费多少人力物力，所得到的只无论花费多少人力物力，所得到的只无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据是一批离散数据是一批离散数据是一批离散数据( (t ti i, ,S S( (t ti i),),i i=1,2,)=1,2,)，而行星是在作连续运而行星是在作连续运而行星是在作连续运而行星是在作连续运动，它在任一时间动，它在任一时间动，它在任一时间动，它在任一时间t t（与（与（与（与t ti i不同）的位置不同）的位置不同）的位置不同）的位置S S( (t t) )，我们只能再我们只能再我们只能再我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据( (t ti i, ,S S( (t ti i) )构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（用它可求任何时间的函数值（用它可求任何时间的函数值（用它可求任何时间的函数值（称为插值称为插值称为插值称为插值），对这个近似），对这个近似），对这个近似），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。解析表达式也能求导，讨论其各种性质。解析表达式也能求导，讨论其各种性质。解析表达式也能求导，讨论其各种性质。又如：又如：又如：又如：据资料记载，某地区每隔据资料记载，某地区每隔据资料记载，某地区每隔据资料记载，某地区每隔1010年进行一次人口普查，年进行一次人口普查，年进行一次人口普查，年进行一次人口普查，自自自自19301930年到年到年到年到19901990年的统计结果如下：年的统计结果如下：年的统计结果如下：年的统计结果如下：4阜师院数科院第五章 插值法W Y插值法概述（续插值法概述（续2）另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分如在积分如在积分如在积分中，当中，当中，当中，当f f( (x x) )很复杂，要计算很复杂，要计算很复杂，要计算很复杂，要计算积分积分积分积分I I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分使之离散化能上机计算求出积分使之离散化能上机计算求出积分使之离散化能上机计算求出积分I I，都要用到插值逼近。都要用到插值逼近。都要用到插值逼近。都要用到插值逼近。 年年年年 份份份份:1930194019501960197019801990:1930194019501960197019801990人口人口人口人口 （百万）（百万）（百万）（百万）:123132151180203227252:123132151180203227252 通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这六十年期间任何一年（例如六十年期间任何一年（例如六十年期间任何一年（例如六十年期间任何一年（例如19651965年）的人口总数，或者预年）的人口总数，或者预年）的人口总数，或者预年）的人口总数，或者预测测测测20002000年该地区的人口数量年该地区的人口数量年该地区的人口数量年该地区的人口数量 。利用插值方法就可以解决。利用插值方法就可以解决。利用插值方法就可以解决。利用插值方法就可以解决这一类问题。这一类问题。这一类问题。这一类问题。5阜师院数科院第五章 插值法W Y代数插值代数插值解决上述问题的方法有解决上述问题的方法有解决上述问题的方法有解决上述问题的方法有两类两类两类两类：一类一类一类一类是对于一组离是对于一组离是对于一组离是对于一组离散点散点散点散点( (x xi i, ,f f( (x xi i) ) ( (i i=0,1,2,=0,1,2,n n) )，选定一个便于计算选定一个便于计算选定一个便于计算选定一个便于计算的函数形式的函数形式的函数形式的函数形式 ( (x x) )，如多项式，分段线性函数，有理如多项式，分段线性函数，有理如多项式，分段线性函数，有理如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求式，三角函数等，要求式，三角函数等，要求式，三角函数等，要求 ( (x x) )通过点通过点通过点通过点 ( (x xi i)=)=f f( (x xi i)()(i i=0,12,0,12,n n), ),由此确定函数由此确定函数由此确定函数由此确定函数 ( (x x) )作为作为作为作为f f( (x x) )的近似。这就的近似。这就的近似。这就的近似。这就是是是是插值法插值法插值法插值法。另。另。另。另一类方法一类方法一类方法一类方法在选定近似函数的形式后，不在选定近似函数的形式后，不在选定近似函数的形式后，不在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为这些点上的总偏差最小。这类方法称为这些点上的总偏差最小。这类方法称为这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）曲线（数据）曲线（数据）曲线（数据）拟合法拟合法拟合法拟合法，将在下一章介绍。，将在下一章介绍。，将在下一章介绍。，将在下一章介绍。本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差其误差其误差其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。6阜师院数科院第五章 插值法W Y代数插值（续代数插值（续1）用多项式作为研究插值的工具，称为用多项式作为研究插值的工具，称为用多项式作为研究插值的工具，称为用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值代数插值代数插值代数插值，其，其，其，其基本问题是：基本问题是：基本问题是：基本问题是：已知函数已知函数已知函数已知函数f f( (x x) )在区间在区间在区间在区间 a a, ,b b 上上上上n n+1+1个不同点个不同点个不同点个不同点x x0 0, ,x x1 1,x xn n处的处的处的处的函数值函数值函数值函数值y yi i=f f( (x xi i)()(i i=0,1,=0,1,n n), ),求一个次数不超过求一个次数不超过求一个次数不超过求一个次数不超过n n的多的多的多的多项式：项式：项式：项式： 使其满足在给定点处与使其满足在给定点处与使其满足在给定点处与使其满足在给定点处与f f( (x x) )相同，即满足相同，即满足相同，即满足相同，即满足插值条件插值条件插值条件插值条件： n n( (x x) )称为称为称为称为插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式，x xi i( (i i=0,1,2,=0,1,2,n n) )称为称为称为称为插值节点插值节点插值节点插值节点， a a, ,b b 称为称为称为称为插值区间插值区间插值区间插值区间。7阜师院数科院第五章 插值法W Y代数插值（续代数插值（续2）从几何上看（如图从几何上看（如图从几何上看（如图从几何上看（如图5-15-1所示），所示），所示），所示），n n次多项式插值就是次多项式插值就是次多项式插值就是次多项式插值就是过过过过n n+1+1个点个点个点个点y yi i=f f( (x xi i)( )(i i=0,1,=0,1,n n) )，作一条多项式曲线作一条多项式曲线作一条多项式曲线作一条多项式曲线y y= ( (x x) )近似曲线近似曲线近似曲线近似曲线y y=f f( (x x):):y yx xy0yny2x0x1x2xny1（图（图（图（图5-15-1）因此，所谓插值，即是在因此，所谓插值，即是在因此，所谓插值，即是在因此，所谓插值，即是在x x0 0, ,x x1 1,x xn n中任意插入一个中任意插入一个中任意插入一个中任意插入一个x x，要求对应的要求对应的要求对应的要求对应的f f( (x x) )，具体做法是按上述方法构造具体做法是按上述方法构造具体做法是按上述方法构造具体做法是按上述方法构造 n n( (x x) )以以以以 n n( (x x) )近似近似近似近似f f( (x x) )。 -8阜师院数科院第五章 插值法W Y代数插值（续代数插值（续3）插值法是插值法是插值法是插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-25-2所示。所示。所示。所示。 假定假定假定假定 ： 设计给出的节点为设计给出的节点为设计给出的节点为设计给出的节点为x xi i=2,4,6,8,10=2,4,6,8,10，施工设施工设施工设施工设计拱架点为计拱架点为计拱架点为计拱架点为x xi i=1.5,3.5,5.5,8,10,=1.5,3.5,5.5,8,10,部分节点不重合，部分节点不重合，部分节点不重合，部分节点不重合，此时此时此时此时y y=f f ( (x xi i) )如何求？这就是如何求？这就是如何求？这就是如何求？这就是插值问题插值问题插值问题插值问题。246810xy（图（图（图（图5-25-2）9阜师院数科院第五章 插值法W Y又如又如在软土地区修建铁路，公路，将不可在软土地区修建铁路，公路，将不可避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进行严格控制。行严格控制。通过对已建成路基面标高（路肩）进行测通过对已建成路基面标高（路肩）进行测量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分析（包括作插值），可推算出：析（包括作插值），可推算出：某一时刻路基沉降（如某一时刻路基沉降（如3年，年，5年）的沉年）的沉降值；降值；不同时期路基沉降速率；不同时期路基沉降速率；最终沉降值。最终沉降值。代数插值应用举例代数插值应用举例10阜师院数科院第五章 插值法W Y代数插值应用举例（续）代数插值应用举例（续）插值用于数码相机增加图像的分辩率：插值用于数码相机增加图像的分辩率：如果要将一幅数码图像放大，也就是使如果要将一幅数码图像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出来的像素原本其具有更多的像素，而多出来的像素原本是不存在的是不存在的,需要根据周围像素的色值计算需要根据周围像素的色值计算出来，这个计算的过程即为出来，这个计算的过程即为插值插值。11阜师院数科院第五章 插值法W Y1拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值1.11.1插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件（5-25-2）的插值多次式的插值多次式的插值多次式的插值多次式 n n( (x x) )是否存在？如果存在，是否唯一？是否存在？如果存在，是否唯一？是否存在？如果存在，是否唯一？是否存在？如果存在，是否唯一？n n次次次次多项式多项式多项式多项式 n n(x)(x)有有有有n n+1+1个待定系数，利用给出的个待定系数，利用给出的个待定系数，利用给出的个待定系数，利用给出的n n+1+1个不同的个不同的个不同的个不同的节点节点节点节点x x0 0, ,x x1 1,x xn n，由插值条件（由插值条件（由插值条件（由插值条件（5-25-2）可得关于系数）可得关于系数）可得关于系数）可得关于系数a0,a1,an的的的的n n+1+1个方程个方程个方程个方程 ：12阜师院数科院第五章 插值法W Y插值多项式的存在性和唯一性（续）插值多项式的存在性和唯一性（续）其系数行列式其系数行列式其系数行列式其系数行列式 ：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：13阜师院数科院第五章 插值法W Y关于唯一性证明的几点说明关于唯一性证明的几点说明1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误差也一样。一定会相同，当然误差也一样。一定会相同，当然误差也一样。一定会相同，当然误差也一样。2：n n+1+1组节点只能确定一个不超过组节点只能确定一个不超过组节点只能确定一个不超过组节点只能确定一个不超过n n次的多项式，若次的多项式，若次的多项式，若次的多项式，若 n n次，如设为次，如设为次，如设为次，如设为 n n+1+1( (x x) )，则有则有则有则有n n+2+2有待定参数有待定参数有待定参数有待定参数a a0 0, ,a a1 1,a an n, ,a an n+1+1需确定，而需确定，而需确定，而需确定，而n n+1+1个组节点，只构成个组节点，只构成个组节点，只构成个组节点，只构成n n+1+1个插值条个插值条个插值条个插值条 件，即件，即件，即件，即构成构成构成构成n n+1+1个方程，只能确定个方程，只能确定个方程，只能确定个方程，只能确定n n+1+1个变量的方程组。个变量的方程组。个变量的方程组。个变量的方程组。3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以以以以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。的方法。的方法。的方法。14阜师院数科院第五章 插值法W Y1.2插值多项式的误差估计插值多项式的误差估计插值多项式与被插函数之间的差：插值多项式与被插函数之间的差：插值多项式与被插函数之间的差：插值多项式与被插函数之间的差： 称为称为称为称为截断误差截断误差截断误差截断误差，又称为，又称为，又称为，又称为插值余项插值余项插值余项插值余项。假定假定假定假定f f ( (x x) )在区间在区间在区间在区间 a a, ,b b 上上上上n n+1+1次连续可导，对次连续可导，对次连续可导，对次连续可导，对 a a, ,b b 上任意点上任意点上任意点上任意点x x，且且且且x x x xi i( (i i=0,1,=0,1,n n) )，构造辅助函数：构造辅助函数：构造辅助函数：构造辅助函数： 15阜师院数科院第五章 插值法W Y插值多项式的误差估计（续）插值多项式的误差估计（续）在（在（在（在（a a, ,b b）内至少有一个零点，设为内至少有一个零点，设为内至少有一个零点，设为内至少有一个零点，设为 ，即：，即：，即：，即： 因为因为因为因为 n n(t)(t)为至多为至多为至多为至多n n次多项，次多项，次多项，次多项， n n+1+1( (t t) )为最高次项系数为为最高次项系数为为最高次项系数为为最高次项系数为1 1的的的的n n+1+1次多项式，因而：次多项式，因而：次多项式，因而：次多项式，因而：又由插值条件（又由插值条件（又由插值条件（又由插值条件（5-25-2），），），），R Rn n( (x xi i)=0)=0( (i i=0,1,=0,1,n n) )，故函数故函数故函数故函数 ( (t t) )在区间在区间在区间在区间 a a, ,b b 内至少有内至少有内至少有内至少有n n+2+2个零点个零点个零点个零点x x, ,x x0 0, ,x x1 1,x xn n。由罗尔由罗尔由罗尔由罗尔（RolleRolle）中值定理，函数中值定理，函数中值定理，函数中值定理，函数在在在在( (a a, ,b b) )内至少有内至少有内至少有内至少有n n +1+1个个个个零点零点零点零点。反复使用。反复使用。反复使用。反复使用RolleRolle中值定理，可以得出：中值定理，可以得出：中值定理，可以得出：中值定理，可以得出：16阜师院数科院第五章 插值法W Y插值多项式的误差估计（续）插值多项式的误差估计（续）于是有：于是有：于是有：于是有：所以：所以：所以：所以：当当当当x x= x xi i ( (i i=0,1,=0,1,n n) )，时，上式自然成立，因此，上式时，上式自然成立，因此，上式时，上式自然成立，因此，上式时，上式自然成立，因此，上式对对对对 a a, ,b b 上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。17阜师院数科院第五章 插值法W Y插值插值余项定理余项定理定理定理定理定理5.15.1设设设设x x0 0, , x x1 1, x xn n是区间是区间是区间是区间 a a, ,b b 上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点， n n( (x x) )是是是是过过过过这组节点的这组节点的这组节点的这组节点的n n次插值多项式。如果次插值多项式。如果次插值多项式。如果次插值多项式。如果f f ( (x x) )在在在在 a a, ,b b 上上上上n n+1+1次连续可导，则对次连续可导，则对次连续可导，则对次连续可导，则对 a a, ,b b 内任意点内任意点内任意点内任意点x x，插值余项为：插值余项为：插值余项为：插值余项为： 观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（TaylorTaylor）余项有相似之外。事实上，插值余项（余项有相似之外。事实上，插值余项（余项有相似之外。事实上，插值余项（余项有相似之外。事实上，插值余项（5-45-4）的导出过程与）的导出过程与）的导出过程与）的导出过程与TaylorTaylor余项余项余项余项的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研究用多项式近似一个函数的误差。只是究用多项式近似一个函数的误差。只是究用多项式近似一个函数的误差。只是究用多项式近似一个函数的误差。只是TaylorTaylor多项式多项式多项式多项式要求要求要求要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不同点上函数值相等。同点上函数值相等。同点上函数值相等。同点上函数值相等。 18阜师院数科院第五章 插值法W Y插值余项定理（续）插值余项定理（续） 另外，从余项另外，从余项另外，从余项另外，从余项R Rn n(x)(x)中的中的中的中的 n+1n+1(x)(x)知，当点知，当点知，当点知，当点x x位于位于位于位于x x0 0, , x x1 1, x xn n的的的的中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度要差一点；若要差一点；若要差一点；若要差一点；若x x位于位于位于位于x x0 0, , x x1 1, x xn n的外部，一般称为外插，的外部，一般称为外插，的外部，一般称为外插，的外部，一般称为外插，此时精度一般不理想，使用时必须注意。此时精度一般不理想，使用时必须注意。此时精度一般不理想，使用时必须注意。此时精度一般不理想，使用时必须注意。为更好理解误差估计式（为更好理解误差估计式（为更好理解误差估计式（为更好理解误差估计式（5-45-4），来看一下，若），来看一下，若），来看一下，若），来看一下，若f f ( (x x) )为一为一为一为一个个个个n n次多项式，对于区间次多项式，对于区间次多项式，对于区间次多项式，对于区间 a a, ,b b ，从上选取从上选取从上选取从上选取n n+1+1个点个点个点个点x xi i( (i i=0,1,2=0,1,2,n n) )，由，由，由，由y yi i=f f ( (x xi i) )可得一组点可得一组点可得一组点可得一组点( (x xi i, ,y yi i) )( (i i=0,1,2,=0,1,2,n n) )，由它们按由它们按由它们按由它们按插值条件（插值条件（插值条件（插值条件（5-25-2）构成一个）构成一个）构成一个）构成一个n n次插多项式次插多项式次插多项式次插多项式 n n( (x x) )，问，问，问，问f f( (x x) )（n n次次次次多项式）与多项式）与多项式）与多项式）与 n n( (x x) )之间相差多少之间相差多少之间相差多少之间相差多少( ( n n( (x x) ) f f( (x x) )？ 19阜师院数科院第五章 插值法W Y1.3Lagrange插值多项式插值多项式对对对对( (x xi i, ,y yi i)(i=0,1,2,)(i=0,1,2,n n) )按插值条件（按插值条件（按插值条件（按插值条件（5-25-2）构造）构造）构造）构造n n次插次插次插次插值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下面从最简单的情形开始。面从最简单的情形开始。面从最简单的情形开始。面从最简单的情形开始。n n=1=1时，只有两个节点，时，只有两个节点，时，只有两个节点，时，只有两个节点，x x0 0, , x x1 1，对应于对应于对应于对应于y y0 0, , y y1 1，由前所由前所由前所由前所述，插值多项式应设为述，插值多项式应设为述，插值多项式应设为述，插值多项式应设为 1 1( (x x)=)=a a0 0+ +a a1 1x x，且满足插值条件且满足插值条件且满足插值条件且满足插值条件 ：所以，所以，所以，所以，n n=1=1时两个节点的插值多项式为：时两个节点的插值多项式为：时两个节点的插值多项式为：时两个节点的插值多项式为：（紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）20阜师院数科院第五章 插值法W YLagrange插值多项式（续插值多项式（续1）其几何意义，就是以过两点其几何意义，就是以过两点其几何意义，就是以过两点其几何意义，就是以过两点( (x x0 0, , y y0 0) )，( (x x1 1, , y y1 1) )的直线的直线的直线的直线y = y = 1 1(x)(x)近似曲线近似曲线近似曲线近似曲线y y=f f( (x x) )，故这种插值又称为故这种插值又称为故这种插值又称为故这种插值又称为线性插值线性插值线性插值线性插值，如图如图如图如图5-35-3所示所示所示所示 ：x图图图图5-35-3 x x0 0x x1 1由于由于由于由于 1 1( (x)x)为直线，由过两点的直线的点斜式可得：为直线，由过两点的直线的点斜式可得：为直线，由过两点的直线的点斜式可得：为直线，由过两点的直线的点斜式可得：21阜师院数科院第五章 插值法W YLagrange插值多项式（续插值多项式（续2）显然，显然，显然，显然， 1 1( (x)x)，N N1 1(x)(x)与与与与L L1 1( (x x) )都是同一条直线，应相同，都是同一条直线，应相同，都是同一条直线，应相同，都是同一条直线，应相同，也可以验证也可以验证也可以验证也可以验证 1 1( (x)x)，N N1 1( (x x) )和和和和L L1 1( (x x) )满足插值条件（满足插值条件（满足插值条件（满足插值条件（5-25-2）。）。）。）。线性插值多项式的上述几种形式中，式（线性插值多项式的上述几种形式中，式（线性插值多项式的上述几种形式中，式（线性插值多项式的上述几种形式中，式（5-65-6）与式）与式）与式）与式（5-75-7）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到n n+1+1个节点的一般情况，分别得到个节点的一般情况，分别得到个节点的一般情况，分别得到个节点的一般情况，分别得到牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式牛顿插值多项式N Nn n(x)(x)和和和和拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式L Ln n(x)(x)。 为了将两点插值公式为了将两点插值公式为了将两点插值公式为了将两点插值公式L L1 1( (x x) )推广到一般情况，引入推广到一般情况，引入推广到一般情况，引入推广到一般情况，引入插值基函数插值基函数插值基函数插值基函数l l0 0( (x x) )，l l1 1( (x x) )，则：则：则：则：L L1 1( (x x) )是两个函数值的线性是两个函数值的线性是两个函数值的线性是两个函数值的线性组合，组合系数为组合，组合系数为组合，组合系数为组合，组合系数为两个插值基函数：两个插值基函数：两个插值基函数：两个插值基函数：22阜师院数科院第五章 插值法W Y式（式（式（式（5-75-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值多项式表示为插值节点多项式表示为插值节点多项式表示为插值节点多项式表示为插值节点x x0 0，x x1 1对应的函数值对应的函数值对应的函数值对应的函数值y y0 0，y y1 1的线性组的线性组的线性组的线性组合，而组合系数就是插值基函数合，而组合系数就是插值基函数合，而组合系数就是插值基函数合，而组合系数就是插值基函数l l0 0( (x x),),l l1 1( (x x) )。所以插值问所以插值问所以插值问所以插值问题可分解为基函数的插值问题。题可分解为基函数的插值问题。题可分解为基函数的插值问题。题可分解为基函数的插值问题。插值基函数插值基函数这里，这里，这里，这里，l l0 0( (x x), ),l l1 1( (x x), ),l l2 2( (x x) )是二次插值基函数，应满足插值是二次插值基函数，应满足插值是二次插值基函数，应满足插值是二次插值基函数，应满足插值条件：条件：条件：条件：当当当当n n=2=2时，已知函数表如下，时，已知函数表如下，时，已知函数表如下，时，已知函数表如下，, ,求满足插值条件求满足插值条件求满足插值条件求满足插值条件L L2 2( (x xi i)=)=y yi i( (i i=0,1,2,)=0,1,2,)的二次的插值多项式的二次的插值多项式的二次的插值多项式的二次的插值多项式L L2 2( (x x) )xx0x1x2y(x)y0y1y223阜师院数科院第五章 插值法W Y插值基函数插值基函数（n n=2=2）（续（续1）按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，由于由于由于由于x x1 1, ,x x2 2为为为为l l0 0( (x x) )的两个零点，故可设：的两个零点，故可设：的两个零点，故可设：的两个零点，故可设： 同理可得：同理可得：同理可得：同理可得：24阜师院数科院第五章 插值法W Y插值基函数（续插值基函数（续2）所以：所以：所以：所以：L L2 2( (x x)=)=l l0 0( (x x) )y y0 0+ + l l1 1( (x x) )y y1 1+ + l l2 2( (x x) )y y2 2满足插值条件满足插值条件满足插值条件满足插值条件（5-25-2）由多项式插值的唯一性知，）由多项式插值的唯一性知，）由多项式插值的唯一性知，）由多项式插值的唯一性知，L L2 2( (x x) )即为所求的二即为所求的二即为所求的二即为所求的二次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线L L2 2( (x x) )近似近似近似近似曲线曲线曲线曲线y y=f f( (x x) )，如图如图如图如图5-45-4所示，故又称为抛物插值。所示，故又称为抛物插值。所示，故又称为抛物插值。所示，故又称为抛物插值。将上述利用插值基函数将上述利用插值基函数将上述利用插值基函数将上述利用插值基函数求插值多项式的方法推广到求插值多项式的方法推广到求插值多项式的方法推广到求插值多项式的方法推广到一般情况，当节点增多到一般情况，当节点增多到一般情况，当节点增多到一般情况，当节点增多到n n+1+1个时，对个时，对个时，对个时，对( (x xi i, ,y yi i)(i=0,1,2,)(i=0,1,2,n n) ) 设设设设n n次插值多项式：次插值多项式：次插值多项式：次插值多项式：xx1x2x0y图图图图5-45-425阜师院数科院第五章 插值法W Y插值基函数（续插值基函数（续3）即即即即l li i( (x x) )有有有有n n个零点个零点个零点个零点x xj j ( (j j=0,1,=0,1,n n, ,j j i i) )且且且且l li i( (x xi i)=1)=1，故它必定是以下形式：故它必定是以下形式：故它必定是以下形式：故它必定是以下形式：其中其中其中其中l li i( (x x) )为插值基函数为插值基函数为插值基函数为插值基函数( (i i =0,1,2,=0,1,2,n n) )，它们的次数不超过它们的次数不超过它们的次数不超过它们的次数不超过n n，且满足：且满足：且满足：且满足：26阜师院数科院第五章 插值法W YLagrange插值多项式插值多项式代入（代入（代入（代入（5-95-9）式，得）式，得）式，得）式，得: :27阜师院数科院第五章 插值法W YLagrange插值多项式（续）插值多项式（续）事实上，因为每个插值基函数事实上，因为每个插值基函数事实上，因为每个插值基函数事实上，因为每个插值基函数 l li i（x)x)( (i i=0,1,=0,1,n n) )都是都是都是都是n n次多项式，次多项式，次多项式，次多项式，故故故故L Ln n( (x x) )是至多是至多是至多是至多n n次多项式，由次多项式，由次多项式，由次多项式，由: :即即即即L Ln n( (x x) )满足插值条件（满足插值条件（满足插值条件（满足插值条件（5-25-2），称式（），称式（），称式（），称式（5-105-10）为）为）为）为Lagrange插值多项式插值多项式，具优点是形式对称，含义直观，具优点是形式对称，含义直观，具优点是形式对称，含义直观，具优点是形式对称，含义直观，便于在计算机上实现，式（便于在计算机上实现，式（便于在计算机上实现，式（便于在计算机上实现，式（5-45-4）为插值余项。）为插值余项。）为插值余项。）为插值余项。 28阜师院数科院第五章 插值法W Y插值插值举例举例例例例例1 1 已知函数已知函数已知函数已知函数 y y=lnln x x的函数表如下：的函数表如下：的函数表如下：的函数表如下： 2.63912.63912.56492.56492.48492.48492.39792.39792.30262.3026y=y=lnxlnx14141313121211111010x x解解线性插值线性插值线性插值线性插值。取两个节点。取两个节点。取两个节点。取两个节点x x0 0=11=11，x x1 1=12=12，插值基函数为插值基函数为插值基函数为插值基函数为: :分别用分别用分别用分别用LagrangeLagrange线性插值和抛物线插值求线性插值和抛物线插值求线性插值和抛物线插值求线性插值和抛物线插值求ln11.5ln11.5的近似值的近似值的近似值的近似值，并估计截断误差。，并估计截断误差。，并估计截断误差。，并估计截断误差。29阜师院数科院第五章 插值法W Y例例1(续）续）抛物线插值抛物线插值抛物线插值抛物线插值。取。取。取。取x x0 0=11=11，x x1 1=12=12，x x2 2=13=13，插值多项式为插值多项式为插值多项式为插值多项式为: :30阜师院数科院第五章 插值法W Y插值插值举例（续）举例（续）例例例例2 2 证明证明证明证明 上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为均为均为均为1 1。 显然，函数显然，函数显然，函数显然，函数f f( (x x) ) 1 1在这在这在这在这n n+1+1个节点取值为个节点取值为个节点取值为个节点取值为1 1，即，即，即，即y yi i= =f f( (x xi i) ) 1(1(i i=0,1,=0,1,n n) )由式（由式（由式（由式（5-105-10）知，它的）知，它的）知，它的）知，它的n n次次次次LagrangeLagrange插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：对任意对任意对任意对任意x x，插值余项为：插值余项为：插值余项为：插值余项为：所以：所以：所以：所以：31阜师院数科院第五章 插值法W Y2牛顿（牛顿（Newton）插值插值 LagrangeLagrange插值多项式是从直线的对称式出发，利用插插值多项式是从直线的对称式出发，利用插插值多项式是从直线的对称式出发，利用插插值多项式是从直线的对称式出发，利用插值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点斜式（斜式（斜式（斜式（5-65-6）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计算简单的插值公式呢？算简单的插值公式呢？算简单的插值公式呢？算简单的插值公式呢？32阜师院数科院第五章 插值法W Y牛顿（牛顿（Newton）插值（续插值（续1）这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况如果能推广到如果能推广到如果能推广到如果能推广到n n次多项式次多项式次多项式次多项式N Nn n( (x x) )，则，则，则，则N Nn n( (x x) )可写作为：可写作为：可写作为：可写作为： 上述插值多项式的系数上述插值多项式的系数上述插值多项式的系数上述插值多项式的系数a a0 0, ,a a1 1,a an n如何求，是否如何求，是否如何求，是否如何求，是否有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件： 33阜师院数科院第五章 插值法W Y牛顿（牛顿（Newton）插值（续插值（续2）34阜师院数科院第五章 插值法W Y2.1差商差商定义定义定义定义5.15.1 类似于类似于类似于类似于高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数的定义，称的定义，称的定义，称的定义，称一阶差商的差商一阶差商的差商一阶差商的差商一阶差商的差商: :为为为为f f( (x x) )关于点关于点关于点关于点x xi i, ,x xj j, ,x xk k的的的的二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商，记为，记为，记为，记为f f x xi i, ,x xj j, ,x xk k 。 称为称为称为称为f f( (x x) )关于点关于点关于点关于点x x0 0, ,x x1 1,x xk k的的的的k k阶差商阶差商阶差商阶差商。一般地：一般地：一般地：一般地：35阜师院数科院第五章 插值法W Y差商计算差商计算36阜师院数科院第五章 插值法W Y差商的性质差商的性质（1 1）各阶差商均具有线性性质，即若各阶差商均具有线性性质，即若各阶差商均具有线性性质，即若各阶差商均具有线性性质，即若f f( (x x)=)=a a ( (x x)+)+b b ( (x x) )，则对任意常数则对任意常数则对任意常数则对任意常数k k，都有：都有：都有：都有： （2 2）k k阶差商阶差商阶差商阶差商f f x x0 0, ,x x1 1,x xk k 可表成可表成可表成可表成f f ( (x x0 0), ),f f( (x x1 1),),f f( (x xk k) )的线性组合：的线性组合：的线性组合：的线性组合：37阜师院数科院第五章 插值法W Y差商的性质（续）差商的性质（续）（3 3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变，如差商值不变，如差商值不变，如差商值不变，如: :（4 4）若若若若f f( (x x) )是是是是n n次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商f f x x, ,x xi i 是是是是n n 1 1次多项式。次多项式。次多项式。次多项式。事实上，如果事实上，如果事实上，如果事实上，如果f f( (x x) )是是是是n n次多项式，则次多项式，则次多项式，则次多项式，则p p( (x x)=)=f f( (x x) ) f f ( (x xi i) )也是也是也是也是n n次多项式，且次多项式，且次多项式，且次多项式，且p p( (x xi i)=0,)=0, x xi i为其零点为其零点为其零点为其零点p p( (x x) )可分解为可分解为可分解为可分解为p p( (x x)=()=(x x x xi i) ) p pn n 1 1( (x x) )， 其中其中其中其中p pn n 1 1( (x x) )为为为为n n 1 1次多项式，次多项式，次多项式，次多项式，所以：所以：所以：所以：为为为为n n 1 1次多项式。次多项式。次多项式。次多项式。38阜师院数科院第五章 插值法W Y差商表的计算差商表的计算计算各阶差商，可以按照下表进行：计算各阶差商，可以按照下表进行：计算各阶差商，可以按照下表进行：计算各阶差商，可以按照下表进行： 表表表表5-15-1x xi if f ( (x xi i) )一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商四阶差商四阶差商x x0 0f f ( (x x0 0) ) x x1 1f f ( (x x1 1) )f f x x0 0, ,x x1 1 x x2 2f f ( (x x2 2) )f f x x1 1, ,x x2 2 f f x x0 0, ,x x1 1, ,x x2 2 x x3 3f f ( (x x3 3) )f f x x2 2, ,x x3 3 f f x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3 f f x x0 0, ,x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3 x x4 4f f ( (x x4 4) )f f x x3 3, ,x x4 4 f f x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4 f f x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4 f f x x0 0, ,x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4 x x5 5f f ( (x x5 5) )f f x x4 4, ,x x5 5 f f x x3 3, ,x x4 4, ,x x5 5 f f x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,x x5 5 f f x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,x x5 5 39阜师院数科院第五章 插值法W Y2.2Newton插值公式插值公式由各阶差商的由各阶差商的由各阶差商的由各阶差商的定义，依次可定义，依次可定义，依次可定义，依次可得得得得: :记：记：记：记：（紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）40阜师院数科院第五章 插值法W YNewton插值多项式及其余项插值多项式及其余项显然，显然，显然，显然，N Nn n( (x x) )是至多是至多是至多是至多n n次的多项式。而由：次的多项式。而由：次的多项式。而由：次的多项式。而由：即得即得即得即得f f ( (x xi i)=)= N Nn n( (x xi i)()(i i=0,1,=0,1,n n) )。这表明这表明这表明这表明N Nn n( (x x) )满足插满足插满足插满足插值条件（值条件（值条件（值条件（5-25-2），因而它是），因而它是），因而它是），因而它是f f ( (x x) )的的的的n n次插值多项式。这次插值多项式。这次插值多项式。这次插值多项式。这种形式的插值多项式称为种形式的插值多项式称为种形式的插值多项式称为种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。所需插值多项式。所需插值多项式。所需插值多项式。所需差商为表差商为表差商为表差商为表5-15-1第一条斜线上的含第一条斜线上的含第一条斜线上的含第一条斜线上的含x x0 0的各阶差商。的各阶差商。的各阶差商。的各阶差商。Newton插值的优点是插值的优点是：每增加一个节点，插每增加一个节点，插每增加一个节点，插每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即：值多项式只增加一项，即：值多项式只增加一项，即：值多项式只增加一项，即： 因此便于递推运算。而且因此便于递推运算。而且因此便于递推运算。而且因此便于递推运算。而且NewtonNewton插值的计算量小于插值的计算量小于插值的计算量小于插值的计算量小于LagrangeLagrange插值。插值。插值。插值。41阜师院数科院第五章 插值法W YNewton插值多项式及其余项（续）插值多项式及其余项（续）由插值多项式的唯一性可知，由插值多项式的唯一性可知，由插值多项式的唯一性可知，由插值多项式的唯一性可知，n n次次次次NewtonNewton插值多项插值多项插值多项插值多项式与式与式与式与n n次次次次LagrangeLagrange插值多项式是相等的，即插值多项式是相等的，即插值多项式是相等的，即插值多项式是相等的，即N Nn n( (x x)=)= L Ln n( (x x) )，它们只是表示形式不同。因此它们只是表示形式不同。因此它们只是表示形式不同。因此它们只是表示形式不同。因此NewtonNewton余项与余项与余项与余项与LagrangeLagrange余项也是相等的，即：余项也是相等的，即：余项也是相等的，即：余项也是相等的，即：由此可得由此可得由此可得由此可得差商与导数的关系差商与导数的关系差商与导数的关系差商与导数的关系：42阜师院数科院第五章 插值法W YNewton插值多项式的计算插值多项式的计算表表表表5-25-2 NewtonNewton插值多项式可按表插值多项式可按表插值多项式可按表插值多项式可按表5-25-2计算。计算。计算。计算。 x xi iy yi i= = f f ( (x xi i) )一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商n n阶差商阶差商阶差商阶差商 x x0 0y y0 0 1 1x x1 1y y1 1f f x x0 0, ,x x1 1 x x- -x x0 0x x2 2y y2 2f f x x1 1, ,x x2 2 f f x x0 0, ,x x1 1, ,x x2 2 x x3 3y y3 3f f x x2 2, ,x x3 3 f f x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3 x xn ny yn nf f x xn n- -1 1, ,x xn n f f x xn n-2-2, ,x xn n- -1 1, ,x xn n f f x x0 0, ,x x1 1,x xn n n n次次次次NewtonNewton插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式N Nn n( (x x) )为表为表为表为表5-25-2中对角线上的差商值中对角线上的差商值中对角线上的差商值中对角线上的差商值与右端因子乘积的和。与右端因子乘积的和。与右端因子乘积的和。与右端因子乘积的和。 43阜师院数科院第五章 插值法W YNewton插值公式计算举例插值公式计算举例例例例例3 3用用用用NewtonNewton插值公式计算例插值公式计算例插值公式计算例插值公式计算例1 1中的中的中的中的ln11.5ln11.5。 解解解解 如果仍取点如果仍取点如果仍取点如果仍取点x x0 0=11,=11, x x1 1=12,=12, x x2 2=13,=13,作抛物线插值，作抛物线插值，作抛物线插值，作抛物线插值，按表按表按表按表5-25-2计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下： x xi iy yi i= = lnlnx xi i一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商 11112.39792.3979 1 112122.48492.48490.08700.0870 x x-11-1113132.56492.56490.08000.0800-0.0035-0.0035( (x x-11)(-11)(x x-12)-12)44阜师院数科院第五章 插值法W YNewton插值公式计算例插值公式计算例3续续 若加节点若加节点若加节点若加节点x x=10,14,=10,14,lnln10=2.3026,10=2.3026,lnln14=2.639114=2.6391，用，用，用，用lnln x x的的的的四次四次四次四次NewtonNewton插值多项式近似插值多项式近似插值多项式近似插值多项式近似, ,则则则则: :x xi iy yi i= = f f ( (x xi i) )一阶差商一阶差商一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商四阶差商四阶差商 10102.30262.3026 1 111112.39792.39790.09530.0953 x x-10-1012122.48492.48490.08700.0870-0.00415-0.00415 ( (x x-10)(-10)(x x- -11)11)13132.56492.56490.08000.0800-0.00350-0.003500.000220.00022 14142.63912.63910.07420.0742-0.00290-0.002900.000200.00020-0.00005-0.00005 按表按表按表按表5-25-2计算结果如下计算结果如下计算结果如下计算结果如下: :45阜师院数科院第五章 插值法W Y2.3差分差分上面讨论的是节点任意分布的上面讨论的是节点任意分布的上面讨论的是节点任意分布的上面讨论的是节点任意分布的NewtonNewton插值公式，但在插值公式，但在插值公式，但在插值公式，但在实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，这时，点之差（称为步长）为常数，这时，点之差（称为步长）为常数，这时，点之差（称为步长）为常数，这时，NewtonNewton插值公式插值公式插值公式插值公式的的的的形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。 定义定义定义定义5.25.2 设有等距节点设有等距节点设有等距节点设有等距节点x xk k = =x x0 0+ +khkh( (k k=0,1,=0,1,n n) )，步长步长步长步长h h为为为为常数，常数，常数，常数，f fk k=f f( (x xk k) )，称相邻两个节点称相邻两个节点称相邻两个节点称相邻两个节点x xk k, , x xk k+1+1处的函数值的处的函数值的处的函数值的处的函数值的增量增量增量增量f fk k+1+1 f fk k( (k k=0,1,=0,1,n n-1)-1)为函数为函数为函数为函数f f( (x x) )在点在点在点在点x xk k处以处以处以处以h h为步长为步长为步长为步长的一阶差分，记为的一阶差分，记为的一阶差分，记为的一阶差分，记为 f fk k，称为称为称为称为向前差分向前差分向前差分向前差分：46阜师院数科院第五章 插值法W Y定义定义5.2（续）（续）一般，以一般，以一般，以一般，以k k阶差分定义阶差分定义阶差分定义阶差分定义k k +1+1阶差分：阶差分：阶差分：阶差分：常用的差分还有两种常用的差分还有两种： 向后差分：向后差分：47阜师院数科院第五章 插值法W Y差分的其它种类差分的其它种类它们的它们的它们的它们的mm阶差分：阶差分：阶差分：阶差分：对向后差分对向后差分对向后差分对向后差分48阜师院数科院第五章 插值法W Y差分计算差分计算造表造表计算时可分别造表计算计算时可分别造表计算计算时可分别造表计算计算时可分别造表计算 ：表表表表5-35-3向前差分表向前差分表向前差分表向前差分表 x xk kf fk k=f=f( (x xk k) ) f fk k 2 2f fk k 3 3f fk k 4 4f fk kx x0 0f f0 0 x x1 1f f1 1 f f0 0 x x2 2f f2 2 f f1 1 2 2f f0 0 x x3 3f f3 3 f f2 2 2 2f f1 1 3 3f f0 0 x x4 4f f4 4 f f3 3 2 2f f2 2 3 3f f1 1 4 4f f0 0 49阜师院数科院第五章 插值法W Y差分计算差分计算造表（续造表（续1）表表表表5-45-4x xk kf fk k=f=f( (x xk k) ) f fk k 2 2f fk k3 3f fk k4 4f fk kx x0 0f f0 0x x1 1f f1 1f f1 1x x2 2f f2 2f f2 22 2f f2 2x x3 3f f3 3f f3 32 2f f3 33 3f f3 3x x4 4f f4 4f f4 42 2f f4 43 3f f4 44 4f f4 450阜师院数科院第五章 插值法W Y差分计算差分计算造表（续造表（续2）表表表表5-55-5 4 4f f2 2 3 3f f2 2 2 2f f3 3ff3 3f f4 4x x4 4 3 3f f1 1 2 2f f2 2ff2 2f f3 3x x3 3 2 2f f1 1ff1 1f f2 2x x2 2fff f1 1x x1 1f f0 0x x0 0 4 4 3 3 2 2 f fk k=f=f( (x xk k) )x xk k1 1| |2 21 1| |2 21 1| |2 21 1| |2 21 1| |2 21 1| |2 251阜师院数科院第五章 插值法W Y表表表表5-65-6差分计算举例差分计算举例例例例例4 4- -0.1053610.1053610.900.906 60.1177830.117783- -0.0157480.015748- -0.2231440.2231440.800.805 50.0048720.0048720.1335310.133531 - -0.0026780.002678- -0.0206200.020620- -0.3566750.3566750.700.704 40.0024250.0024250.0075500.0075500.1541510.154151 - -0.0035340.003534- -0.0051030.005103- -0.0281700.028170- -0.5108260.5108260.600.603 30.0059590.0059590.0126530.0126530.1823210.182321 - -0.0110620.011062- -0.0408230.040823- -0.6931470.6931470.500.502 20.0237150.0237150.2231440.223144 - -0.0645380.064538- -0.9162910.9162910.400.401 10.2876820.287682- -1.2039731.2039730.300.300 06 65 54 43 32 2lnxlnxi ix xi ii i向后线向后线向后线向后线中中中中心心心心差差差差线线线线0.0075500.007550 注注注注 ：（1 1）前差，后差，中心差之间是）前差，后差，中心差之间是）前差，后差，中心差之间是）前差，后差，中心差之间是紧密联系的，都在一个表中，差分值所在紧密联系的，都在一个表中，差分值所在紧密联系的，都在一个表中，差分值所在紧密联系的，都在一个表中，差分值所在的列数为差分的阶数。要确定某个差分值的列数为差分的阶数。要确定某个差分值的列数为差分的阶数。要确定某个差分值的列数为差分的阶数。要确定某个差分值是哪个点的差分，则：是哪个点的差分，则：是哪个点的差分，则：是哪个点的差分，则： 对向前差分对向前差分对向前差分对向前差分：要看左上斜线上函数值对应的自变量值：要看左上斜线上函数值对应的自变量值：要看左上斜线上函数值对应的自变量值：要看左上斜线上函数值对应的自变量值对向后差分对向后差分对向后差分对向后差分：要看左下斜线上函数值对应的自变量值：要看左下斜线上函数值对应的自变量值：要看左下斜线上函数值对应的自变量值：要看左下斜线上函数值对应的自变量值对中心差分对中心差分对中心差分对中心差分：要看左方水平线上的自变量值，若正好：要看左方水平线上的自变量值，若正好：要看左方水平线上的自变量值，若正好：要看左方水平线上的自变量值，若正好是空档，则是相邻两个自变量值的算术是空档，则是相邻两个自变量值的算术是空档，则是相邻两个自变量值的算术是空档，则是相邻两个自变量值的算术平均值。平均值。平均值。平均值。 作作作作y y=lnln x x的差分表，步长的差分表，步长的差分表，步长的差分表，步长h h=0.1=0.1向前线向前线向前线向前线52阜师院数科院第五章 插值法W Y差分的性质差分的性质差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：差分有一些重要性质，常用的有（与微分形式相似）：（2 2）各阶差分均可表成函数值的线性组合。各阶差分均可表成函数值的线性组合。各阶差分均可表成函数值的线性组合。各阶差分均可表成函数值的线性组合。（1 1）各阶差分均具有线性性，即若各阶差分均具有线性性，即若各阶差分均具有线性性，即若各阶差分均具有线性性，即若f f( (x x)=)=a a ( (x x)+)+b b ( (x x) )，则对任意正整数则对任意正整数则对任意正整数则对任意正整数mm，都有：都有：都有：都有：53阜师院数科院第五章 插值法W Y差分的性质（续差分的性质（续1）（3 3）各种差分之间可以互化，这由差分表即可看出。各种差分之间可以互化，这由差分表即可看出。各种差分之间可以互化，这由差分表即可看出。各种差分之间可以互化，这由差分表即可看出。向后差分与中心差分化成向前向后差分与中心差分化成向前向后差分与中心差分化成向前向后差分与中心差分化成向前 差分的公式如下：差分的公式如下：差分的公式如下：差分的公式如下： （4 4）可用可用可用可用差分表示差分表示差分表示差分表示差商。差商。差商。差商。 54阜师院数科院第五章 插值法W Y差分的性质（续差分的性质（续2）一般地有：一般地有： 结合式（结合式（5-14），可得），可得差分与导数的关系差分与导数的关系：55阜师院数科院第五章 插值法W Y如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值但在进行插值时，一般不可能将给出的所有点都作为插值点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被点，总是希望运用较少的点达到应有的精度，所以，当被插值点靠近数据表头时，当然考虑用插值点靠近数据表头时，当然考虑用插值点靠近数据表头时，当然考虑用插值点靠近数据表头时，当然考虑用表初的那些点作为插表初的那些点作为插表初的那些点作为插表初的那些点作为插值点值点值点值点，而当被插值点接近数据表尾时，应先选用，而当被插值点接近数据表尾时，应先选用，而当被插值点接近数据表尾时，应先选用，而当被插值点接近数据表尾时，应先选用表尾的那表尾的那表尾的那表尾的那些点作插值点些点作插值点些点作插值点些点作插值点，这样就有，这样就有，这样就有，这样就有NewtonNewton向前向前向前向前及及及及向后插值公式向后插值公式向后插值公式向后插值公式。2.4等距节点插值公式等距节点插值公式设已知节点设已知节点设已知节点设已知节点x xk k = =x x0 0+ +khkh( (k k=0,1,2,=0,1,2,n n) )，将式（将式（将式（将式（5-155-15）代入插值公（代入插值公（代入插值公（代入插值公（5-125-12），得），得），得），得：56阜师院数科院第五章 插值法W YNewton向前插值公式向前插值公式式（式（5-17）称为）称为Newton向前插值公式向前插值公式，其余项为：，其余项为：若令若令x=x0+th，则上式又可变形为：则上式又可变形为：57阜师院数科院第五章 插值法W YNewton向后插值公式向后插值公式完全类似地，也可以用向后差分表示完全类似地，也可以用向后差分表示完全类似地，也可以用向后差分表示完全类似地，也可以用向后差分表示NewtonNewton插值公式。插值公式。插值公式。插值公式。令令令令x x = = x xn n+ +th th x x x x0 0, ,x xn n ，则有：则有：则有：则有：式（式（式（式（5-195-19）称为）称为）称为）称为NewtonNewton向后插值公式向后插值公式向后插值公式向后插值公式，其余项为：，其余项为：，其余项为：，其余项为： NewtonNewton向前向前向前向前、向后插值公式向后插值公式向后插值公式向后插值公式均是均是均是均是NewtonNewton插值公式插值公式插值公式插值公式在在在在等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将表等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将表等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将表等距节点时的变形。实际计算时，也可列表进行。将表5-75-7中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得中对角线上的差分值与对应行右端因子乘积求和即得NewtonNewton向前插值公式向前插值公式向前插值公式向前插值公式，而，而，而，而NewtonNewton向后插公式向后插公式向后插公式向后插公式则为最后的则为最后的则为最后的则为最后的节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。节点所在行的各阶差分值与对应列下端因子乘积之和。表表表表5-75-7见下屏：见下屏：见下屏：见下屏：58阜师院数科院第五章 插值法W Y表表表表5-75-7t t1 1 n nf f 0 0( ( n nf fn n) )33f f n n-3-3( ( 3 3f fn n) )22f f n n-2-2( ( 2 2f fn n) ) f f n n-1-1( ( f fn n) )f fn nx xn n33f f 0 0( ( 3 3f f3 3) ) 2 2f f 1 1( ( 2 2f f3 3) ) f f 2 2( ( f f3 3) )f f3 3x x3 322f f 0 0( ( 2 2f f2 2) ) f f 1 1( ( f f2 2) )f f2 2x x2 2t t f f 0 0( ( f f1 1) )f f1 1x x1 11 1f f0 0x x0 0n n阶阶差差分分阶阶差差分分三三阶阶差差分分三三阶阶差差分分二二阶阶差差分分二二阶阶差差分分一一阶阶差差分分一一阶阶差差分分y yi i=f=f( (x xi i) )x xi i59阜师院数科院第五章 插值法W YNewton向前、向后插值公式向前、向后插值公式举例举例例例例例5 5 已知已知已知已知f f( (x x)=)=SinSin x x的函数表如下，分别用的函数表如下，分别用的函数表如下，分别用的函数表如下，分别用NewtonNewton向前、向前、向前、向前、向后插值公式求向后插值公式求向后插值公式求向后插值公式求SinSin0.578910.57891的近似值：的近似值：的近似值：的近似值： x xSin xSin x0.40.40.389420.389420.50.50.60.60.70.70.479430.479430.564640.564640.644220.64422 解解解解 取取取取x x0 0=0.4,=0.4,x x1 1=0.5,=0.5,x x2 2=0.6,=0.6,x x3 3=0.7=0.7，按表按表按表按表5-65-6计算得计算得计算得计算得: : t t1 1- -0.000830.00083- -0.003630.003630.079580.079580.644220.644220.70.7- -0.004800.004800.085210.085210.564640.564640.60.6t t0.090010.090010.0479430.0479430.50.51 10.0389420.0389420.40.4三阶三阶三阶三阶差分差分差分差分二阶差分二阶差分二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分一阶差分一阶差分f fi i= =SinxSinxi ix xi i（紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）紧接下屏）60阜师院数科院第五章 插值法W YNewtonNewton向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式 举例（续举例（续举例（续举例（续1 1）NewtonNewton向前插值公式为：向前插值公式为：向前插值公式为：向前插值公式为：61阜师院数科院第五章 插值法W YNewtonNewton向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式 举例（续举例（续举例（续举例（续2 2）NewtonNewton向后插值公式为：向后插值公式为：向后插值公式为：向后插值公式为：由于用的是同一组节点，因此由于用的是同一组节点，因此由于用的是同一组节点，因此由于用的是同一组节点，因此NewtonNewton向前插值公式向前插值公式向前插值公式向前插值公式与与与与 NewtonNewton向后插值公式向后插值公式向后插值公式向后插值公式的结果是完全相同的。的结果是完全相同的。的结果是完全相同的。的结果是完全相同的。62阜师院数科院第五章 插值法W YNewtonNewton向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式向前、向后插值公式 举例（续举例（续举例（续举例（续3 3）如果被插值点如果被插值点如果被插值点如果被插值点x x在表中间，同样可以选择靠近在表中间，同样可以选择靠近在表中间，同样可以选择靠近在表中间，同样可以选择靠近x x的点的点的点的点, ,推出插值公推出插值公推出插值公推出插值公式式式式, ,等距节点插值公式有很多应用，例如，很多工程设计计算时需等距节点插值公式有很多应用，例如，很多工程设计计算时需等距节点插值公式有很多应用，例如，很多工程设计计算时需等距节点插值公式有很多应用，例如，很多工程设计计算时需要查各种函数表，用计算机求值时，就必须解决机器查表问题，如要查各种函数表，用计算机求值时，就必须解决机器查表问题，如要查各种函数表，用计算机求值时，就必须解决机器查表问题，如要查各种函数表，用计算机求值时，就必须解决机器查表问题，如果将整个函数表装入内存，势必占用很多单元，如果用解析表达式果将整个函数表装入内存，势必占用很多单元，如果用解析表达式果将整个函数表装入内存，势必占用很多单元，如果用解析表达式果将整个函数表装入内存，势必占用很多单元，如果用解析表达式近似函数，又可能精度达不到要求，这时一般都把较大表距的函数近似函数，又可能精度达不到要求，这时一般都把较大表距的函数近似函数，又可能精度达不到要求，这时一般都把较大表距的函数近似函数，又可能精度达不到要求，这时一般都把较大表距的函数值表存入，根据需要用插值公式求插值点上的函数值。值表存入，根据需要用插值公式求插值点上的函数值。值表存入，根据需要用插值公式求插值点上的函数值。值表存入，根据需要用插值公式求插值点上的函数值。63阜师院数科院第五章 插值法W Y第五章第五章结结（上）（上）（上）（上）束束5-64阜师院数科院第五章 插值法