2 2 线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算 3 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量11 线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义66线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核8 8 若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介9 9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式77不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第七章第七章 线性变换线性变换5 5 对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵一、一、不变子空间的概念不变子空间的概念 二二、线性变换在不变子空间上的限制、线性变换在不变子空间上的限制7.7 线性变换的定义线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间设设 是数域是数域P上线性空间上线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的 的子空间，若的子空间，若 有有则称则称W是是的不变子空间的不变子空间，简称为，简称为 子空间子空间. V的平凡子空间（的平凡子空间（V及零子空间）对于及零子空间）对于V的任意一的任意一个变换个变换 来说，都是来说，都是 子空间子空间. 一、不变子空间1、定义、定义注：注： 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间1）两个子空间的交与和仍是子空间两个子空间的交与和仍是子空间.2）设设 则则W是是 子空间子空间证：证： 显然成立显然成立.任取任取 设设 则则 故故W为为 的不变子空间的不变子空间.2、不变子空间的简单性质、不变子空间的简单性质由于由于 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间1）线性变换线性变换 的值域的值域 与核与核 都是都是 的的不变子空间不变子空间.证：证： 有有 故故 为为 的不变子空间的不变子空间.又任取又任取 有有3、一些重要不变子空间、一些重要不变子空间也为也为 的不变子空间的不变子空间. 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间2）若若 则则 与与 都是都是 子空间子空间. 证：证： 对存在对存在 使使于是有，于是有， 为为 的不变子空间的不变子空间. 其次，由其次，由 对对 有有 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间于是于是 故故 为的不变子空间为的不变子空间. 的多项式的多项式 的值域与核都是的值域与核都是 的不变子空间的不变子空间.这里为这里为 中任一多项式中任一多项式.注：注： 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间4）线性变换线性变换 的特征子空间的特征子空间 是是 的不变子空间的不变子空间. 有有 5）由由 的特征向量生成的子空间是的特征向量生成的子空间是 的不变子空间的不变子空间. 证：设证：设 是的分别属于特征值是的分别属于特征值 的特征向量的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换的不变子空间任何子空间都是数乘变换的不变子空间. 任取任取设设则则 为为 的不变子空间的不变子空间. 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间事实上，若事实上，若 则则 为为 的一组基的一组基.因为因为W为为 子空间子空间，即必存在即必存在 使使是是 的特征向量的特征向量. 特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一个一维个一维 子空间子空间. 反过来，一个一维反过来，一个一维 子空间子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间. 注：注： 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间二、二、 在不变子空间在不变子空间W引起的线性变换引起的线性变换定义：定义：不变子空间不变子空间W上的限制上的限制 . 记作记作 在不变子空间在不变子空间W上引起的线性变换上引起的线性变换，或称作在，或称作在 设是线性空间设是线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的一个的一个的 不变子空间不变子空间. 把把 看作看作W上的一个线性变换，称作上的一个线性变换，称作 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间 当当 时，时， 任一线性变换在它核上引起的线性变换是零任一线性变换在它核上引起的线性变换是零 变换，即变换，即即有即有 注：注：当当 时，时， 无意义无意义. 在特征子空间在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，上引起的线性变换是数乘变换， 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间1、设是维线性空间设是维线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V 的的子空间，子空间， 为为W的一组基，把它扩允为的一组基，把它扩允为V的一组基：的一组基：若若 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 ，则，则 在基在基 下的矩阵具有下列形状下的矩阵具有下列形状: 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间反之，若反之，若 则由则由 生成的子空间必为生成的子空间必为 的的不变子空间不变子空间. 事实上，因为事实上，因为W是是V的不变子空间的不变子空间. 即，即， 均可被均可被线性表出线性表出. 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间从而，从而， 设设 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为 若若 ，则，则 为为V的一组基，且在这组基下的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵的矩阵为准对角阵 2、设设 是是 维线性空间维线性空间V的的线性变换，线性变换， 都是都是 的不变子空间，而的不变子空间，而 是是 的一组基，且的一组基，且 （1） 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间的子空间的子空间 为为 的不变子空间，且的不变子空间，且V具有直和分解：具有直和分解： 由此即得：由此即得：下的矩阵为准对角矩阵下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由生成则由生成 V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和可分解为一些的不变子空间的直和.反之，若反之，若 在基在基 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间定理定理12：设：设 为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换， 是是 四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解是是 的特征多项式的特征多项式. 若若 具有分解式：具有分解式： 再设再设则都是的不变则都是的不变 子空间；且子空间；且V具有直和分解具有直和分解： 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间证：令证：令则则 是是 的值域，的值域，是是 的不变子空间的不变子空间. 又又 （2） 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间下证分三步：下证分三步： 证明证明 存在多项式存在多项式 使使 于是于是 对对 有有 证明是直和证明是直和. 证明证明 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间这里这里 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间其中其中（也即，），（也即，），则则 存在存在 使使 于是于是 (3) 即证，若即证，若证明是直和证明是直和. . 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间用用 作用作用（3）的两端，得的两端，得 又又 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间从而从而 所以是直和所以是直和. . 有多项式有多项式 ，使，使 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间证明证明:首先由首先由(2)，有有即即 其次，任取设其次，任取设即即 令令 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间由由（2）, 有有 从而有从而有又又 又又由由 ， 是直和，它的零向量分解式是直和，它的零向量分解式即即唯一唯一. 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间 综合综合 ，即有，即有于是于是 故故 即有即有 是是 的不变子空间，且的不变子空间，且 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间练习：练习：设设3维线性空间维线性空间V的线性变换在基的线性变换在基下的矩阵为下的矩阵为 证明：证明： 是的不变子空间是的不变子空间. 证：令证：令 由由 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间有有 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间即即 故故W为的不变子空间为的不变子空间. 7.77.7 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间