共 55 页1第二十六讲平面向量的应用第二十六讲平面向量的应用共 55 页2回回归课本本共 55 页31.向量向量应用的常用用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件符号表示符号表示:a bab=0.坐坐标表示表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a bx1x2+y1y2=0.共 55 页4 (2)两个向量平行的充要条件两个向量平行的充要条件符号表示符号表示:若若a b,b0,则a=b.坐坐标表示表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b(x1,y1)=(x2,y2),即即或或x1y2-x2y1=0.(3)夹角公式角公式cos= (0180).(4)模模长公式公式|a|= (a=(x,y).(5)数量数量积性性质|a b|a| |b|.共 55 页52.向量向量应用的分用的分类概述概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等是以函数和不等式式为背景的一种向量描述背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本运它需要掌握向量的概念及基本运算算,并能根据并能根据题设条件构造合适的向量条件构造合适的向量,利用向量的利用向量的“数数” “形形”两重性解决两重性解决问题.共 55 页6 (2)平面向量与三角函数的整合平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角仍然是以三角题型型为背景的背景的一种向量描述一种向量描述,它需要根据向量的运算性它需要根据向量的运算性质将向量将向量问题转化化为三角函数的相关知三角函数的相关知识来解答来解答,三角知三角知识是考是考查的主体的主体.(3)平面向量在解析几何中的平面向量在解析几何中的应用用,是以解析几何中的坐是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述背景的一种向量描述,它主要它主要强调向量的坐向量的坐标运算运算,将向量将向量问题转化化为坐坐标问题,进而利用直而利用直线和和圆锥曲曲线的位置关系的位置关系的相关知的相关知识来解答来解答,坐坐标的运算是考的运算是考查的主体的主体.共 55 页7 (4)平面向量在平面几何中的平面向量在平面几何中的应用用,是以平面几何中的基本是以平面几何中的基本图形形(三角形平行四三角形平行四边形菱形等形菱形等)为背景背景,重点考重点考查平面向量平面向量的几何运算的几何运算(三角形法三角形法则平行四平行四边形法形法则)和几何和几何图形的基形的基本性本性质.(5)平面向量在物理力学等平面向量在物理力学等实际问题中的中的应用用,是以是以实际问题为背景背景,考考查学科知学科知识的的综合及向量的方法合及向量的方法.共 55 页8注意注意:(1)在解决三角形形状在解决三角形形状问题时,回答要全面准确回答要全面准确,处理四理四边形形问题时,要根据平行四要根据平行四边形或矩形菱形正方形及梯形形或矩形菱形正方形及梯形的性的性质处理理.(2)用向量用向量处理物理理物理问题时,一般情况下一般情况下应画出几何画出几何图形形,结合合向量运算与物理向量运算与物理实际进行解决行解决.共 55 页9考点陪考点陪练共 55 页10答案答案:B共 55 页11共 55 页12答案答案:D共 55 页13共 55 页14答案答案:A共 55 页154.若直若直线2x-y+c=0按向量按向量a=(1,-1)平移后与平移后与圆x2+y2=5相切相切,则c的的值为( )A.8或或-2B.6或或-4C.4或或-6D.2或或-8解析解析:直直线2x-y+c=0,按按a=(1,-1)平移后得直平移后得直线2(x-1)-(y+1)+c=0,即即2x-y-3+c=0,由由d=r,得得得得c=8或或-2.答案答案:A共 55 页165.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和和为Sn,若若a2 +a2009 ,且且A B C三点共三点共线(该直直线不不过点点O),则S2010等等于于( )A.1005B.1010C.2010D.2015解析解析:由由题意知意知A B C三点共三点共线,则a2+a2009=1. S2010= =10051=1005.故故选A.答案答案:A共 55 页17类型一型一利用向量解决平面几何利用向量解决平面几何问题解解题准准备:一般情况下一般情况下,用向量解决平面几何用向量解决平面几何问题,要用不共要用不共线的向量表示的向量表示题目所涉及的所有向量目所涉及的所有向量,再通再通过向量的运算法向量的运算法则和性和性质解决解决问题.共 55 页18用向量方法解决平面几何用向量方法解决平面几何问题的的“三步曲三步曲”:建立平面几何与向量的建立平面几何与向量的联系系,用向量表示用向量表示问题中涉及的几中涉及的几何元素何元素,将平面几何将平面几何问题转化化为向量向量问题;通通过运算运算,研究几何元素之研究几何元素之间的关系的关系,如距离、如距离、夹角等角等问题;把运算把运算结果果“翻翻译”成几何关系成几何关系.共 55 页19【典例【典例1】如】如图,正方形正方形OABC两两边AB BC的中点分的中点分别为D和和E,求求 DOE的余弦的余弦值.分析分析把把 DOE转化化为向量向量夹角角.共 55 页20共 55 页21共 55 页22解法二解法二:如如图建立直角坐建立直角坐标系系,设A(2,0),C(0,2),则D(2,1),E(1,2).共 55 页23共 55 页24 反思感悟反思感悟利用向量解几何利用向量解几何题,关关键是将有关是将有关线段段设为向量向量,不同的不同的设法可出法可出现不同的解法不同的解法;或者建立平面直角坐或者建立平面直角坐标系系,用坐用坐标法解之法解之.利用向量解平面几何有利用向量解平面几何有时特特别方便方便,但要注但要注意一点意一点,不宜搞得不宜搞得过难,因因为高考在高考在这方面要求不高方面要求不高.共 55 页25类型二型二向量在解析几何的向量在解析几何的应用用解解题准准备:向量与解析几何向量与解析几何结合的合的综合合题是高考命是高考命题的的热点点,解解题的关的关键是正确把握向量与坐是正确把握向量与坐标之之间的的转化和条件的运化和条件的运用用.常常见技巧有两个技巧有两个:一是以向量的运算一是以向量的运算为切入口切入口;二是二是结合合向量的几何意向量的几何意义及曲及曲线的有关定的有关定义作作转化化.共 55 页26【典例【典例2】在平面直角坐】在平面直角坐标系系xOy中中,点点P到两点到两点的距离之和等于的距离之和等于4,设点点P的的轨迹迹为C,直直线y=kx+1与与C交于交于A,B两点两点.(1)写出写出C的方程的方程;(2)若若求求k的的值;(3)若点若点A在第一象限在第一象限,证明明:当当k0时,恒有恒有共 55 页27 分析分析(1)由点由点P满足的条件列出等式足的条件列出等式,化化简可得可得C的方程的方程;(2)由由 这是解是解题的突破口的突破口;(3)证明的关明的关键是写出是写出再再结合合题的的条件即可求条件即可求证.共 55 页28 解解(1)设P(x,y),由由椭圆定定义可知可知,点点P的的轨迹迹C是以是以为焦点焦点,长半半轴为2的的椭圆.它的短半它的短半轴故曲故曲线C的方程的方程为x2+共 55 页29共 55 页30共 55 页31类型三型三向量在物理中的向量在物理中的应用用解解题准准备:用向量知用向量知识研究物理研究物理问题的基本思想和方法是的基本思想和方法是:(1)认真分析物理真分析物理现象象,深刻把握物理量之深刻把握物理量之间的相互关系的相互关系;(2)通通过抽象概括抽象概括,把物理把物理现象象转化化为与之相关的向量与之相关的向量问题;(3)利用向量知利用向量知识解决解决这个向量个向量问题,并并获得得这个向量的解个向量的解;(4)利用利用这个个结果果,对原物理原物理现象作出合理解象作出合理解释.即用向量知即用向量知识圆满解决物理解决物理问题.共 55 页32【典例【典例3】一条河的两岸平行】一条河的两岸平行,河河宽为d km,一艘船从一艘船从A处出出发航行到航行到对岸岸,已知船航行的速度已知船航行的速度为|v1| km/h,水流速度水流速度为|v2| km/h.要使船抵达要使船抵达B的上游的上游C处且且BC=d km,若取若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,则用用时多少多少?共 55 页33 解解作出位移平行四作出位移平行四边形形AGCF,如如图所示所示,则CF=AG=|tv2|,在在RtABF中中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式代入上式,得得84t2-16t-8=0,解得解得t0.418(h).共 55 页34类型四型四向量在三角形中的向量在三角形中的应用用解解题准准备:平面向量与解三角形的平面向量与解三角形的综合合题是高考中的一个是高考中的一个热点点.其解其解题的基本思路是的基本思路是:(1)在在这些些问题中中,平面向量平面向量实际上主要呈上主要呈现为叙述叙述问题的一的一种种语言或者工具言或者工具,其考其考查要求并不高要求并不高,解解题时要要综合利用平合利用平面向量的几何意面向量的几何意义等将等将题中的条件翻中的条件翻译成成简单的数学的数学问题.共 55 页35(2)在解在解题时,既要考既要考虑三角形中的三角形中的边角关系性角关系性质的的应用用;又要又要考考虑向量的工具性作用向量的工具性作用,如利用向量的模与数量如利用向量的模与数量积转化化边长与与夹角角问题;还要注意三角形中要注意三角形中边角的向量关系式的表示角的向量关系式的表示形式形式.共 55 页36共 55 页37共 55 页38共 55 页39 反思感悟反思感悟三角形的三三角形的三边可与三个向量可与三个向量对应,这样就可以利就可以利用向量的知用向量的知识来解三角形了来解三角形了,解决此解决此类问题要注意内角与向要注意内角与向量的量的夹角之角之间的的联系与区系与区别,还要注意向量的数量要注意向量的数量积与三角与三角形面形面积公式之公式之间关系的关系的应用用.共 55 页40类型五型五向量在函数不等式中的向量在函数不等式中的应用用解解题准准备:借助向量的坐借助向量的坐标表示表示,将已知条件将已知条件实数化并数化并转化化为函数函数问题,利用函数的性利用函数的性质解之解之.向量主要是通向量主要是通过模与不等模与不等式式联系起来系起来,常用的工具有均常用的工具有均值不等式及不等式及|ab|a|b|.共 55 页41【典例【典例5】设0|a|2且函数且函数f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大的最大值为0,最小最小值为-4,且且a与与b的的夹角角为45,求求|a+b|.分析分析由于已知由于已知=45,故可求出故可求出|a|、|b|后再求后再求|a+b|.共 55 页42共 55 页43 反思感悟反思感悟由于已知由于已知f(x)的最的最值,故可故可结合二次函数的最合二次函数的最值确确定定|a|与与|b|的大小的大小,再再结合合=45,可求出可求出|a+b|.本本题充分充分体体现了函数与不等式思想在向量中的了函数与不等式思想在向量中的应用用.共 55 页44错源一源一错误地地认为|a b|=|a|b|【典例【典例1】已知向量】已知向量a,b,试比比较|a b|与与|a|b|的大小的大小.错解解|a b|=|a|b|.剖析剖析设向量向量a与与b的的夹角角为.则a b=|a|b|cos.(1)当当a b时,=90,a b=0,所以所以|a b|=0,但但|a|b|0,故有故有|a b|a|b|;共 55 页45 (2)当当a与与b同向或反向同向或反向时,cos0=1,cos180=-1,有有|a b|=|a|b|;(3)当当夹角角为锐角或角或钝角角时,|a b|=|a|b|cos|,|cos|1,故有故有|a b|a|b|.正解正解综合上述可知合上述可知,|a b|a|b|.共 55 页46错源二源二“共共线”运用出运用出错【典例【典例2】如】如图,半半圆的直径的直径AB=2,O为圆心心,C是半是半圆上不同上不同于于A,B的任意一点的任意一点,若若P为半径半径C上的上的动点点,则的最小的最小值是是_.共 55 页47共 55 页48 剖析剖析本本题的的错误在于忽在于忽视向量的方向向量的方向,导致了致了计算上的失算上的失误.向量向量虽然共然共线,但其方向相反但其方向相反,所以向所以向量运算量运算时,一定要看清方向一定要看清方向.共 55 页49共 55 页50技法一技法一整体思想整体思想共 55 页51 解解题切入点切入点解答本解答本题的关的关键是要是要结合合图形形,利用向量的三利用向量的三角形法角形法则找出向量之找出向量之间的关系的关系;或建立适当的坐或建立适当的坐标系系,利用利用向量的坐向量的坐标形式来解答形式来解答.共 55 页52 解解以直角以直角顶点点A为坐坐标原点原点,两直角两直角边所在直所在直线为坐坐标轴建建立平面直角坐立平面直角坐标系系,设B(b,0),C(0,c),所以所以b2+c2=a2,设P点坐点坐标为(x,y),则Q点坐点坐标为(-x,-y),且且x2+y2=a2,共 55 页53共 55 页54技法二技法二转化与化化与化归【典例【典例2】如】如图所示所示,若点若点D是是ABC内一点内一点,并且并且满足足AB2+CD2=AC2+BD2,求求证:AD BC.解解题切入点切入点借助向量的减法借助向量的减法,分分别表示出向量表示出向量,然后代入已然后代入已知条件知条件证明明.共 55 页55