Ch21-Ch21-带状线带状线(I)(I)同轴线同轴线同轴线同轴线扁带同轴线扁带同轴线扁带同轴线扁带同轴线带状线带状线带状线带状线一、带状线的特性阻抗 带带线线传传输输TEMTEM波波，特特性性阻阻抗抗是是研研究究的的主主要要问问题题，其其求解框图如下求解框图如下: :其中其中v v是传输线中的光速，一般有是传输线中的光速，一般有 是是所所填填充充的的介介质质，于于是是一一般般的的特特性性阻阻抗抗问问题题可可转化为求电容转化为求电容C C的问题的问题。图图 21-2 21-2 带线电容带线电容带线电容分成板间电容带线电容分成板间电容C Cp p和边缘电容和边缘电容C Cf f。 W Wb b愈大，愈大，C C愈大，特性阻抗愈大，特性阻抗Z Z0 0愈小。愈小。 W Wb b愈大，愈大，C Cf f影响愈小。影响愈小。 带线研究的主要内容如下框图带线研究的主要内容如下框图一、带状线的特性阻抗带线研究的主要问题带线研究的主要问题一、带状线的特性阻抗特性阻抗特性阻抗衰减衰减功率容量功率容量尺寸设计尺寸设计二、保角变换和Schwarz变换1. 1. 变换变换(Transform)(Transform)和不变性和不变性 变变换换已已经经为为大大家家所所熟熟悉悉。但但是是，对对于于不不变变性性可可能能不不被被人人们们重重视视。事事实实上上，变变换换中中的的不不变变性性是是非非常常重重要要的的科科学学思思想想，2020世世纪纪的的数数学学王王子子Hilbert(Hilbert(希希尔尔伯特伯特) )其早期的主要业绩之一是对不变量的研究。其早期的主要业绩之一是对不变量的研究。 坐坐标标旋旋转转时时，任任一一矢矢量量 的的长长度度不不变变，更更一一般般的的表表述述： 内内积积不不变变，相相对对论论中中LorentzLorentz变变换换进进一一步推广成步推广成x x2 2y y2 2z z2 2c c2 2t t2 2 = constant= constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现。四维空间的长度不变，也是光速不变的体现。图图 21-3 21-3 坐标旋转坐标旋转 坐坐标标旋旋转转时时，任任一一矢矢量量 的的长长度度不不变变，更更一一般般的的表表述述： 内内积积不不变变，相相对对论论中中LorentzLorentz变变换换进进一一步步推推广成广成二、保角变换和Schwarz变换x x2 2y y2 2z z2 2c c2 2t t2 2 = constant= constant四维空间的长度不变，也是光速不变的体现四维空间的长度不变，也是光速不变的体现 2. 2. 保角变换概念保角变换概念 保角变换是复变保角变换是复变( (解析解析) )函数变换函数变换w w = = f f( (z z) = ) = u ujvjvZ-planeZ-planeW-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换 它它的的物物理理概概念念表表示示由由某某一一图图形形从从z z平平面面变变到到w w平平面面，其其中中w=fw=f( (z z) )是是解解析析函函数数。在在电电磁磁保保角角变变换换中中，w w称称为为复复位位 w w = = u ujvjv其中，若其中，若u u表示等位线，则表示等位线，则v v表示力线；反之，表示力线；反之，u u表示力表示力线，则线，则v v表示等位线。表示等位线。 性质性质1 1解析函数解析函数w=u+jvw=u+jv满足满足(21-1)二、保角变换和Schwarz变换证明证明 解析函数满足解析函数满足Cauchy-RiemanCauchy-Rieman条件条件性质性质2 2W=u+jvW=u+jv是解析函数，则等位线是解析函数，则等位线 u u( (x, yx, y)=)=c c1 1和力线和力线v v( (x, yx, y)=)=c c2 2在在z z平面必须相互正交。平面必须相互正交。证明证明 正交条件是正交条件是(21-2) 二、保角变换和Schwarz变换由图由图21-521-5可见：可见：图图 21-5 21-5Z-planeZ-planeW-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换现在现在而根据而根据u u( (x, yx, y)=)=c c1 1，有，有二、保角变换和Schwarz变换同理可得同理可得于是于是 上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，变换时变换时u, vu, v正交即正交即保角保角。二、保角变换和Schwarz变换 性性质质3 3保保角角变变换换把把z z平平面面上上一一个个由由力力线线和和等等位位线线构构成成的的一一个个区区域域变变换换到到w w平平面面的的一一个个力力线线和和等等位位线线构构成成的的对对应区域，两者之间电容相等。应区域，两者之间电容相等。图图 21-6 21-6二、保角变换和Schwarz变换证明因为电容定义证明因为电容定义(21-3)而变换时等位线和力线一一对应，即而变换时等位线和力线一一对应，即于是于是Cz=Cw所所以以，保保角角变变换换的的实实质质是是希希望望利利用用变变换换中中电电容容的的不不变变性性，把把难难于于计计算算的的复复杂杂区区域域电电容容变变成成便便于于计计算算的的简简单区域电容。单区域电容。二、保角变换和Schwarz变换从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件 保保角角变变换换必必须须是是二二维维问问题题符符合合LaplaceLaplace方方程程(TEM(TEM波传输线波传输线) ) 必必须须在在等等位位问问题题( (注注意意到到导导体体是是等等位位的的) )和和一定的力线区域内计算一定的力线区域内计算 通过某种变换，有可能变成简单区域通过某种变换，有可能变成简单区域3. Schwarz3. Schwarz多角形变换多角形变换 这是在实际工程中应用最为广泛的一种变这是在实际工程中应用最为广泛的一种变换。换。 二、保角变换和Schwarz变换(21-4)上面所及即标准的上面所及即标准的Schwarz-ChrictoffelSchwarz-Chrictoffel变换。变换。 Z-planeZ-planeW-planeW-plane二、保角变换和Schwarz变换三、零厚度带线的特性阻抗Z0 问题的提法：根据问题的提法：根据 ，把求特性阻抗的问题，把求特性阻抗的问题转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解 ，见图，再按两倍电容计算。，见图，再按两倍电容计算。图图 21-8 21-8 由由z z平面变换到平面变换到t t平面平面ztzt平面保角变换平面保角变换对应点对应点复平面复平面ABCDEFAz00t101a2三、零厚度带线的特性阻抗Z0其中其中k k1 1。图图 21-9 21-9 z-tz-t平面的保角变换平面的保角变换根据根据SchwarzSchwarz多角形变换，有多角形变换，有(21-5)三、零厚度带线的特性阻抗Z0 2. 2. t t平面向平面向w w平面变换平面变换t-wt-w平面保角变换平面保角变换对应点复平面ABCDEFAt101wjKK+jKK0KK+jKjKa三、零厚度带线的特性阻抗Z0 又根据又根据SchwarzSchwarz变换变换(21-6)其中其中K K是第一类完全椭圆积分。定义是是第一类完全椭圆积分。定义是(21-7)对于对于(21-6)(21-6)式，根据式，根据D D点的边界条件点的边界条件B2=0三、零厚度带线的特性阻抗Z0又根据又根据E E点的边界条件点的边界条件则可知则可知A A2 2。再根据再根据F F点的边界条件点的边界条件三、零厚度带线的特性阻抗Z0我们设，我们设， 称称k k为为k k的余模数。的余模数。三、零厚度带线的特性阻抗Z0于是于是可可见见，K K( (k k) )也也是是第第一一类类完完全全椭椭圆圆积积分分，只只是是模模数数换换成成k k的余模数的余模数k k。3. 3. 电容电容C C计算计算 根根据据保保角角变变换换关关于于电电容容C C的的不不变变性性，可可以以直直接接由由w w平面算出平面算出三、零厚度带线的特性阻抗Z0(21-8)复原到带线全平面复原到带线全平面C=2CW最后特性阻抗最后特性阻抗(21-9)三、零厚度带线的特性阻抗Z0(21-10)在微波工程实际上，有一个精度很高的近似式在微波工程实际上，有一个精度很高的近似式(21-11) 采采用用上上述述公公式式可可避避免免计计算算椭椭圆圆积积分分，近近似似度度高高于于8/100008/10000。三、零厚度带线的特性阻抗Z0 附 录APPENDIX的证明的证明的证明的证明从从z-tz-t变换可知变换可知见数学手册见数学手册P263P263可以知道可以知道z-tz-t变换的对应点关系变换的对应点关系 附 录123 附 录 在在这这个个变变换换中中，共共有有三三个个待待定定常常数数A A1 1，B B1 1和和k k，正正好上面有三个独立的对应点条件。求出好上面有三个独立的对应点条件。求出A A1 1，B B1 1和和k k。 根据根据2 2，3 3条件条件于是得到于是得到 附 录 也即也即如果考虑中间步骤有如果考虑中间步骤有 附 录PROBLEMS 21PROBLEMS 21 若理想三端环行器的特性是若理想三端环行器的特性是13211321试写出试写出其其S S散射矩阵。散射矩阵。一一已知魔已知魔T T特性如图特性如图二二求：求：(1) 3(1) 3端口输入时的输出情况。端口输入时的输出情况。 (2) 4 (2) 4端口输入时的输出情况。端口输入时的输出情况。 结束结束