数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论9/3/20241数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动9/3/20242数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令代入边界条件1、 求两端固定的弦自由振动的规律9/3/20243数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 9/3/20244数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/20245数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/20246数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/20247数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 9/3/20248数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：9/3/20249数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：9/3/202410数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202411数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202412数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202413数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：例2求下列定解问题9/3/202414数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202415数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202416数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法初始条件9/3/202417数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例3 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为9/3/202418数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为这些特故原问题的解为9/3/202419数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例4 求下列定解问题令代入方程：解：9/3/202420数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202421数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202422数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202423数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202424数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：9/3/202425数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由例由例4知，以上特征值问题的知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是得到一系列分离变量形式于是得到一系列分离变量形式的特解的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202426数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令例5 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为9/3/202427数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离于是得到一系列分离变量形式的特解变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为加原理，设原问题的解为9/3/202428数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例6 求下列定解问题解：令9/3/202429数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202430数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解9/3/202431数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为若9/3/202432数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量流程图9/3/202433数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为9/3/202434数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202435数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202436数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例7 求下列定解问题解：由例由例6中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为9/3/202437数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202438数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202439数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例8 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为9/3/202440数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202441数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题9/3/202442数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题9/3/202443数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法(欧拉方程) 令周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为9/3/202444数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202445数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例10 求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题9/3/202446数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202447数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其他为零9/3/202448数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为（自然边界条件）9/3/202449数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）9/3/202450数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为9/3/202451数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202452数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令9/3/202453数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解法二：令由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为9/3/202454数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为9/3/202455数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常用特征值问题周期特征值问题9/3/202456数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考9/3/202457数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由线性方程的叠加原理，令：9/3/202458数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令：为什么？非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法9/3/202459数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题9/3/202460数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题其特征值和特征函数为9/3/202461数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202462数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为9/3/202463数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202464数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题9/3/202465数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题9/3/202466数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法9/3/202467数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202468数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例16 求定解问题周期特征值问题9/3/202469数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法9/3/202470数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202471数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法五 非齐次边界条件的处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取取其中辅助函数满足其中辅助函数满足9/3/202472数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法9/3/202473数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。9/3/202474数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。9/3/202475数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若若f(x,t)和非齐次边界条和非齐次边界条件都与件都与t无关，则此时无关，则此时W仅是仅是x的函数的函数W(x)此方法在使得非齐次边界此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？到两者同时齐次化？若能从中求出若能从中求出W(x,t)，就，就可以实现两者同时齐次化。可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出但一般很难求出!9/3/202476数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例18 求下列定解问题解：令请与例请与例17比较，研究其优缺点。比较，研究其优缺点。9/3/202477数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例19 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。9/3/202478数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。9/3/202479数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例21 求定解问题解：令9/3/202480数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题的步骤9/3/202481数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1. 存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2. 所有特征值均不为负。3. 任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4. 特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。9/3/202482