空间空间“角度角度”问题问题(1)03 九月九月 2024空间空间“距离距离”问题问题1. 空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题【温故知新温故知新】2、向量法求点到平面的距离、向量法求点到平面的距离：abCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为a a的的法向量法向量3. 异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，( (课本第课本第107107页练习页练习2)2)如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直两点，直线线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACDAPDCBMNzxy解：如图解：如图,以以D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则，则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )1.异面直线所成角异面直线所成角lm若两直线若两直线 所成的所成的角为角为 , 则则复习引入复习引入1.1.两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(3)向量求法向量求法:设直线设直线a、b的方向向量为的方向向量为 ,其夹角其夹角为为 ,则有则有空间三种角的向量求解方法空间三种角的向量求解方法(4)注意注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角应取其补角作为两异面直线所成的角.(1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直作直线线a a, b b,则则a , b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所成的角所成的角.(2)范围范围:2. 2. 线面角线面角设设直直线线l的的方方向向向向量量为为 ，平平面面 的的法法向向量量为为 ，且且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ( ),则则而利用而利用 可求可求 ，从而再求出从而再求出 或或2.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围范围:(3)向量求法向量求法:设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ,平面平面 的法的法向量为向量为 ,直线与平面所成的角为直线与平面所成的角为 , 与与 的夹的夹角为角为 ,则有则有l 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的夹角。如图，设二面角的夹角。如图，设二面角 的大小为的大小为其中其中AB 3 3、二面角、二面角DCBA方向向量法方向向量法： 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 注意法向量的方向：同注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向一出，二面角等于法向量夹角量夹角l3 3、二面角、二面角若二面角若二面角 的的大小为大小为 , 则则法向量法法向量法(3)二面角的向量求法二面角的向量求法:若若AB、CD分别是二面角分别是二面角 的两的两个面内与棱个面内与棱l垂直的异面直线垂直的异面直线,则二面角的则二面角的大小就是向量大小就是向量 与与 的夹角的夹角(如图如图(1)设设 是二面角是二面角 的两个面的两个面 的法向量的法向量,则向量则向量 与与 的夹角的夹角(或其或其补角补角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小(如图如图(2)BDCA(1)(2)(2)范围范围:3.3.二面角二面角(1)定义定义:从二面角棱上任取一点从二面角棱上任取一点O，在二面角的两个半平面内分，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线别作棱的垂线OA、OB，则称，则称 为二面角的平面角。为二面角的平面角。例例1、如图，点、如图，点M、N分别是正方体分别是正方体 的棱的棱 和和 的中点，求：的中点，求：(1)MN和和 所成的角的大小所成的角的大小.(2) MN和和AD与与所成的角的大小所成的角的大小.【典例典例剖析剖析】 例2 (2013新课标理， 18)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)证明：ABA1C； (2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.解析解析：(1) 取取AB重点重点O，连接，连接CO，A1B，A1O，是正三角形是正三角形例2 (2013新课标理， 18)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.yzx解析解析：(2) 由由(1)知知两两相互垂直两两相互垂直以以O为坐标原点，为坐标原点，正交基底建立空间直角坐标系正交基底建立空间直角坐标系O-xyz则则设设 是平面是平面 的法向量的法向量 则则 即即直线直线 与平面与平面 所成交的正弦值为所成交的正弦值为可取可取小结：小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角：关键：观察二面角的范围