第二课时函数奇偶性的应用第二课时函数奇偶性的应用( (习题课习题课) )目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.会根据函数奇偶性求函数会根据函数奇偶性求函数值值或解析式或解析式. .2.2.能利用函数的奇偶性与能利用函数的奇偶性与单调单调性分析、解决性分析、解决较简单较简单的的问题问题. .素养达成素养达成通通过对过对本本节节内容的学内容的学习习, ,使学生养成使学生养成严谨严谨的分析、解决的分析、解决问题问题的的习惯习惯, ,提高学生提高学生逻辑逻辑推理、数学分析的能力推理、数学分析的能力. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成自我检测自我检测1.1.( (奇偶性与单调性奇偶性与单调性) )下列函数中既是偶函数又在下列函数中既是偶函数又在(0,+)(0,+)上是增函数的是上是增函数的是( ( ) )(A)y=x(A)y=x3 3 (B)y=|x|+1 (B)y=|x|+1(C)y=-x(C)y=-x2 2+1+1 (D)y=2x+1 (D)y=2x+1B B 2.2.( (奇偶性与单调性奇偶性与单调性) )已知偶函数在已知偶函数在(-,0)(-,0)上单调递增上单调递增, ,则则( ( ) )(A)f(1)f(2)(A)f(1)f(2)(B)f(1)f(2)(B)f(1)0x0时时, ,f(xf(x)=x)=x2 2+ ,+ ,则则f f(-1)(-1)等于等于( ( ) )(A)-2(A)-2 (B)0 (B)0(C)1(C)1 (D)2 (D)24.4.( (最值最值) )若奇函数若奇函数f(xf(x) )在区间在区间3,73,7上是增函数上是增函数, ,在区间在区间3,63,6上的最大值上的最大值为为8,8,最小值为最小值为-1,-1,则则2f(-6)+f(-3)2f(-6)+f(-3)的值为的值为. .A A答案答案: :-15-15题型一题型一利用奇偶性求函数值利用奇偶性求函数值课堂探究课堂探究素养提升素养提升解析解析: :因为因为f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(0)=2f(0)=20 0+2+20+b=0,0+b=0,解得解得b=-1,b=-1,所以当所以当x0x0时时,f(x)=2,f(x)=2x x+2x-1,+2x-1,又因为又因为f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(-1)=-f(1)=-(2+2f(-1)=-f(1)=-(2+21-1)=-3.1-1)=-3.故选故选D.D.【例例1 1】 (2017(2017江西自主招生江西自主招生) )设设f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时, , f(x)=2f(x)=2x x+2x+b(b+2x+b(b为常数为常数),),则则f(-1)f(-1)等于等于( () )(A)3(A)3 (B)1 (B)1 (C)-1 (C)-1(D)-3(D)-3误区警示误区警示 本题中当本题中当x0x0时时, ,函数解析式含参数函数解析式含参数b,b,因此需利用奇函数在因此需利用奇函数在原点处有定义原点处有定义, ,则则f(0)=0f(0)=0的性质的性质, ,求出求出b b的值的值, ,然后根据奇函数性质求然后根据奇函数性质求f(-f(-1)1)的值的值. .即时训练即时训练1 1- -1:1:设设f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数上的奇函数, ,且且f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),当当0x 0x 11时时,f(x)=x,f(x)=x,则则f(7.5)=f(7.5)=. .解析解析: :由由f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),得得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5) f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5) =f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案答案: :-0.5-0.5【备用例备用例1 1】 (2018(2018浙江省慈溪联考浙江省慈溪联考) )已知函数已知函数f(x),g(x)f(x),g(x)都是都是R R上的奇函上的奇函数数, ,且且F(x)=f(x)+3g(x)+5.F(x)=f(x)+3g(x)+5.若若F(a)=b,F(a)=b,则则F(-a)F(-a)等于等于( () )(A)-b+10(A)-b+10 (B)-b+5 (B)-b+5(C)b+5(C)b+5 (D)b+10 (D)b+10解析解析: :依题意有依题意有F(a)=f(a)+3g(a)+5=b,F(a)=f(a)+3g(a)+5=b,所以所以f(a)+3g(a)=b-5.f(a)+3g(a)=b-5.所以所以F(-a)=f(-a)+3g(-a)+5=-f(a)+3g(a)+5=-(b-5)+5=-b+10.F(-a)=f(-a)+3g(-a)+5=-f(a)+3g(a)+5=-(b-5)+5=-b+10.故选故选A.A.题型二题型二 利用奇偶性求函数利用奇偶性求函数f(x)f(x)的解析式的解析式【例例2 2】(1)(1)已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x-3,-2x-3,求求f(x)f(x)的解析式的解析式; ;(2)(2)已已知知f(x)f(x)是是定定义义在在R R上上的的偶偶函函数数, ,当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+1,+x+1,求求f(x)f(x)的的解解 析析式式. .方法技巧方法技巧 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项利用函数奇偶性求解析式时的注意事项: :(1)(1)求哪个区间上的解析式求哪个区间上的解析式, ,就在哪个区间上取就在哪个区间上取x.x.(2)(2)然后要利用已知区间的解析式写出然后要利用已知区间的解析式写出f(-x).f(-x).(3)(3)利用利用f(x)f(x)的奇偶性把的奇偶性把f(-x)f(-x)写成写成-f(x)-f(x)或或f(x),f(x),从而解出从而解出f(x).f(x).(4)(4)要注意要注意R R上的奇函数定有上的奇函数定有f(0)=0.f(0)=0.若是求整个定义域内的解析式若是求整个定义域内的解析式, ,各区间内解析式不一样时其结果一般为分各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式段函数的形式, ,此点易忽略此点易忽略. .即时训练即时训练2 2- -1:1:f(x)f(x)是定义在是定义在(-,+)(-,+)上的偶函数上的偶函数, ,且且x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+x2 2, ,则则当当x0x0时时,f(x)=,f(x)=. .解析解析: :当当x0x0,f(-x)=(-x),-x0,f(-x)=(-x)3 3+(-x)+(-x)2 2=-x=-x3 3+x+x2 2. .因为因为f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以所以f(x)=-xf(x)=-x3 3+x+x2 2. .答案答案: :-x-x3 3+x+x2 2【备用例备用例2 2】 已知函数已知函数f(x)f(x)是定义域为是定义域为R R的奇函数的奇函数, ,当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x.-2x.(1)(1)求出函数求出函数f(x)f(x)在在R R上的解析式上的解析式; ;解解: :(1)(1)由于函数由于函数f(x)f(x)是定义域为是定义域为R R的奇函数的奇函数, ,则则f(0)=0;f(0)=0;当当x0x0,-x0,因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)=-f(-x)=-(-x)f(x)=-f(-x)=-(-x)2 2-2(-x)=-x-2(-x)=-x2 2-2x,-2x,综上综上,f(x)=,f(x)=(2)(2)画出函数画出函数f(x)f(x)的图象的图象. .解解: :(2)(2)图象如图图象如图. .题型三题型三 函数的奇偶性与单调性的综合函数的奇偶性与单调性的综合(2)(2)解不等式解不等式f(t-1)+f(2t)0.f(t-1)+f(2t)0.变式探究变式探究1:1:若本例将定义域若本例将定义域(-1,1)(-1,1)改为改为R R, ,其他条件不变其他条件不变, ,则不等式则不等式f(t-1)+ f(t-1)+ f(2t)0f(2t)f)f(x(x2 2) )或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )的形式的形式, ,再利用单调性脱掉再利用单调性脱掉“f f ”求解求解. .(2)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致在对称区间上根据奇函数的单调性一致, ,偶函数的单调性相反偶函数的单调性相反, ,列出不列出不等式或不等式组等式或不等式组, ,求解即可求解即可, ,同时要注意函数自身定义域对参数的影响同时要注意函数自身定义域对参数的影响. .即时训练即时训练3 3- -1:1:设函数设函数f(x)f(x)在在R R上是偶函数上是偶函数, ,且在区间且在区间(-,0)(-,0)上递增上递增, ,且且f(2af(2a2 2+a+1)f(2a+a+1)f(2a2 2-2a+3),-2a+3),求求a a的取值范围的取值范围. .题型四题型四 抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性 【例例4 4】 定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数a,ba,b都有都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)f(b)成立成立, ,且且f(0)0.f(0)0.(1)(1)求求f(0)f(0)的值的值; ;(2)(2)试判断试判断f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性. .解解: :(1)(1)令令a=b=0,a=b=0,则则f(0)+f(0)=2f(0)f(0)+f(0)=2f(0)f(0),f(0),即即f(0)=ff(0)=f2 2(0).(0).因为因为f(0)0,f(0)0,所以所以f(0)=1.f(0)=1.(2)(2)令令a=0,b=x,a=0,b=x,则则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).f(x).因为因为f(0)=1,f(0)=1,所以所以f(x)+f(-x)=2f(x).f(x)+f(-x)=2f(x).所以所以f(x)=f(-x).f(x)=f(-x).所以所以f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数. .方法技巧方法技巧 利用函数奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法利用函数奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法, ,如如本例中本例中, ,恰当地给恰当地给a,ba,b赋值赋值, ,是解题的关键是解题的关键. .即时训练即时训练4 4- -1:1:已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D=x|xD=x|xR R且且x0,x0,且满足对于任意且满足对于任意的的x x1 1,x,x2 2DD都有都有f(xf(x1 1x x2 2)=f(x)=f(x1 1)+f(x)+f(x2 2).).(1)(1)求求f(1)f(1)及及f(-1)f(-1)的值的值; ;(2)(2)判断判断f(x)f(x)的奇偶性并证明的奇偶性并证明. .解解: :(1)(1)令令x x1 1=x=x2 2=1,=1,得得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=f(1)+f(1),所以所以f(1)=0,f(1)=0,令令x x1 1=x=x2 2=-1,=-1,得得f(1)=ff(1)=f(-1)+f(-1)=0,(-1)+f(-1)=0,所以所以f(-1)=0.f(-1)=0.(2)f(x)(2)f(x)是偶函数是偶函数. .令令x x1 1=x,x=x,x2 2=-1,=-1,得得f(-x)=f(x)+f(-1),f(-x)=f(x)+f(-1),即即f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),故故对任意的对任意的x0x0都有都有f(-x)=f(x).f(-x)=f(x).所以所以f(x)f(x)是偶函数是偶函数. .【备用例【备用例3 3】 若函数若函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是R R, ,且对任意且对任意x,yx,yR R, ,都有都有f(x+y)=f(x)+ f(x+y)=f(x)+ f(y)f(y)成立成立. .(1)(1)试判断试判断f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性; ;解解: :(1)(1)在在f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)中中, ,令令x=y=0,x=y=0,得得f(0+0)=f(0)+f(0),f(0+0)=f(0)+f(0),所以所以f(0)=0.f(0)=0.再令再令y=-x,y=-x,得得f(x-x)=f(x)+f(-x),f(x-x)=f(x)+f(-x),即即f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(-x)=0,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),故故f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .(2)(2)若若f(8)=4,f(8)=4,求求f(- )f(- )的值的值. .