河海大学理学院高等数学高高 等等 数数 学学 ( (下下) )河海大学理学院高等数学第七章 常微分方程 高等数学（上）高等数学（上）河海大学理学院高等数学第三节 可降阶的二阶微分方程河海大学理学院高等数学一、一、 型型例例1 求求 的经过点的经过点 M ( 0，1 ) 且且在此点在此点与直线与直线 相切的积分曲线相切的积分曲线 .解解由由 得得因此因此过过 M ( 0，1 )解法解法:积分积分n次次.注注:具体求解时具体求解时,及时代入定解条件及时代入定解条件,确定任意常数确定任意常数C.河海大学理学院高等数学代入原方程代入原方程, , 得得解法：解法：特点：特点：不含未知函数不含未知函数 积分可得通解积分可得通解. .二、二、 型型这是关于这是关于 x，P（x）的一个一阶微分方程，求出的一个一阶微分方程，求出它的通解它的通解 ，因此，因此河海大学理学院高等数学例例2 求求 过点（过点（1，1），且在），且在此点与此点与 相切的积分曲线相切的积分曲线 .解解代入原方程代入原方程, , 得得分离变量分离变量, , 得得所以所以河海大学理学院高等数学由由 y (1) = 1 得得因此因此 , 所求曲线方程为所求曲线方程为河海大学理学院高等数学解解代入原方程代入原方程分离变量分离变量, ,得得两端积分两端积分, ,得得原方程通解为原方程通解为例例3河海大学理学院高等数学求得其解为求得其解为这是一个可分离变量方程这是一个可分离变量方程 .特点：特点：解法：解法：三、三、 型型代入原方程代入原方程, , 得到得到 的一个一阶微分方程：的一个一阶微分方程：河海大学理学院高等数学解解代入原方程得代入原方程得 例例4分离变量分离变量, , 得得河海大学理学院高等数学原方程通解为原方程通解为积分积分,得得河海大学理学院高等数学可降阶的二阶微分方程小结一、一、 型型三、三、 型型二、二、 型型解法解法:积分积分n次次.