第二十四章第二十四章 数学活动数学活动 活动活动2 探究四点共圆的条件探究四点共圆的条件九年级上册九年级上册五峰县五峰镇中学 黄学芳人民教育出版社说教材说教法、学法说学情说教学过程说教学设计反思说预期的教学效果 本本节节课课是是新新人人教教版版九九年年级级上上册册第第24章章圆圆数数学学活活动动2探探究究四四点点共共圆圆的的条条件件，是是在在学学生生学学习习了了经经过过一一个个点点的的圆圆、经经过过两两个个点点的的圆圆、经经过过不不在在同同一一直直线线上上的的三三个个点点的的圆圆、三三角角形形与与圆圆的的关关系系、圆圆内内接接四四边边形形后后，对对经经过过任任意意三三点点都都不不在在同同一一直线上的四点共圆的条件的探究。直线上的四点共圆的条件的探究。 通通过过本本节节课课的的活活动动探探究究，让让学学生生对对四四点点共共圆圆的的问问题题有有了了个个初初步步的的认认识识，对对某某些些不不是是圆圆的的平平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。说教材说教材 地位和作用地位和作用： 学学习习目目标标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；件；能力目标：通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体能力目标：通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验验情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。学习重点：四点共圆的条件的探究（学习重点：四点共圆的条件的探究（根据本节课的内根据本节课的内容和教学目标确定）容和教学目标确定）学习难点：学习难点： 反证法证明命题反证法证明命题. .（学生用反证法证明几何学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）说教材说教材说学情说学情 经过学生从七年级以来对几何的性质和判定经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。教法展示任务驱动，实践讲练结合教学法观察法类比法归纳法转化法学法设计引导学生画图，分析，类比回顾旧知说教法、学法学生操作，猜想验证教教学学流流程程图图探究猜想探究猜想验证猜想验证猜想学以致用学以致用归纳反思归纳反思复习回顾复习回顾说教学过程说教学过程能力延伸能力延伸1、怎样确定一个圆？、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？、圆内接四边形有什么性质？1复习回顾复习回顾 设计意图：一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促设计意图：一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新温故而知新”的教学原理。的教学原理。二是为本节课探究猜想作好垫铺。二是为本节课探究猜想作好垫铺。1 1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？一个圆吗？2 2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？2探究猜想探究猜想设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。让学生先思考，思考后在操作来验证自己思考的是否正确。分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形的四个顶点能否作一个圆形的四个顶点能否作一个圆, ,你是怎样确定这四点共圆的你是怎样确定这四点共圆的？ 2探究猜想探究猜想ABCDABCDABCDABCD 设计意图：让学生动手操作，进一步明确不是所有的四边形都有外接圆，四点共圆是要有条件的，你是怎样确定这四点共圆？启发学生深层次的思考，对矩形，正方形有外接圆找理论依据。最基本的方法：最基本的方法： 若能够找一点使得它到已知四点的距离相若能够找一点使得它到已知四点的距离相等，则这四点肯定共圆等，则这四点肯定共圆. 如图，如图，ACB、ADB均为直角三角形，均为直角三角形， ACB= ADB=90. 求证：求证：A、B、C、D四点共圆四点共圆.设计意图：引导学生找四点共圆的条件，让学生进一步学会用数学思维解决数学问题，遇到数学问题，首先想到用定义来试着解决问题。并利用一个经典例题来强化学生的思维。 同学们在草稿纸上任意画一个四边形同学们在草稿纸上任意画一个四边形,尝试尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形的四个顶点共圆一部分四边形的四个顶点共圆.问题：具有什么特点的四边形的四个顶点共圆问题：具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢？呢？2探究猜想探究猜想设计意图：从特殊的图形转化到一般的图形，让学生进一步理解特殊到一般的数学思想，通过学生画图操作，讨论交流，几何画板演示，让学生认知，只有一少部分四边形有外接圆，并引发深层次的思考，到底具备什么样条件的四点共圆呢？四边形的哪些四边形的哪些元素元素决定了过它的四个顶点是否可以决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？作一个圆？角角 对角线对角线2探究猜想探究猜想ABCDO边边 我们知道我们知道圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补，由此可以，由此可以猜想，对角互补的四边形的四个顶点可能在同一猜想，对角互补的四边形的四个顶点可能在同一个圆上个圆上.2探究猜想探究猜想四边形的哪些四边形的哪些元素元素决定了过它的四个顶点是否可以决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？作一个圆？角角2探究猜想探究猜想ABCDABCDABCDA+ C=180 猜想：过对角互补的四边形猜想：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆的四个顶点能作一个圆 设计意图：通过问四边形哪些元素决定四点共圆，思考几何图形的性质与判定的关系，结合所作四点共圆的四边形的依据下，学生可以顺理成章的猜想到，对角互补的四边形四点共圆，强化了本节课的重点。已知：在四已知：在四边边形形 ABCD 中，中，B+D=180求求证证：过过点点 A、B、C、D 可作一个可作一个圆圆猜想：猜想：过对过对角互角互补补的四的四边边形的四个形的四个顶顶点能作一个点能作一个圆圆3验证猜想验证猜想 证证明：假明：假设过设过 A、B、C、D 四点不能作一个四点不能作一个圆圆过过 A、B、C 三点作三点作圆圆，若点，若点 D 在在圆圆外外设设 AD 与与圆圆交于点交于点 E，连连接接 CE，则则B+AEC=180AEC=D AEC=D+DCE，与与AEC=D 矛盾，故假矛盾，故假设设不成立不成立点点 D 在在过过点点 A、B、C 三点的三点的圆圆上上3验证猜想验证猜想已知：在四已知：在四边边形形 ABCD 中，中，B+D=180求求证证：过过点点 A、B、C、D 可作一个可作一个圆圆BCDAE设计意图：用反证法证明定理，是本节课的难点，引导学生分析，不在同一条直线上的三点共圆，那么第四个点与这个圆的位置就有可能有三种情况，在来分析第四个点不可能在圆外。在这里，要回顾反证法的步骤，引导学生利用反证法证明第四个点是不可能在圆外的情况。点点 D 在在圆圆内的情况，内的情况，请请同学同学们尝试证们尝试证明明3验证猜想验证猜想已知：在四已知：在四边边形形 ABCD 中，中，B+D=180求求证证：过过点点 A、B、C、D 可作一个可作一个圆圆BCDA结论结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆对角互补的四边形的四个顶点共圆设计意图：类比第四点不可能在圆外的情况，学生独立利用反证法证明第四点不可能在圆内的这种情况，并让学生用实物展示做题过程，进一步强化反证法，那么这样就只可能在圆上。1、在四边形、在四边形ABCD中，如果中，如果A= 115，B= 30，那那么当么当C=_时，四边形时，四边形ABCD能四点共圆能四点共圆。2、 如图如图 点点A、B、 C、D都是都是 O上的点上的点,则正确的选则正确的选项是（项是（ ）（A）1+ 2A (B) 1+ 2=A (C) 1+ 2A (D)不能确定不能确定65B4学以致用学以致用1 、如图如图7124，已知，已知ABCD为平行四边形，过点为平行四边形，过点A和和B的圆与的圆与 AD、BC分别交于分别交于 E、F求证：求证：C、D、E、F四点共圆四点共圆提示:连结EF由B+AEF=180，BC=180，可得AEF=C4学以致用学以致用证明证明 DEAB，DFAC，AEDAFD=180，即即A、E、D、F四点共圆，四点共圆，AEF=ADF又又ADBC，ADFCDF=90，CDFFCD=90，ADF=FCDAEF=FCD，BEFFCB=180，即即B、E、F、C四点共圆四点共圆2 、如图，在ABC中，ADBC， DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆4学以致用学以致用设计意图：通过一组从简单到复杂的应用，让学生进一步加强四点共圆的理解，达到四点共圆简单应用。猜猜 想想验验 证证归纳归纳操操 作作2.2.在数学活动中要勇于探究，大胆猜想，学会和同学合在数学活动中要勇于探究，大胆猜想，学会和同学合作交流，分享成功的喜悦作交流，分享成功的喜悦. .3.3.掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决生活中的问题生活中的问题. .通过本节课的活动，你有那些收获？通过本节课的活动，你有那些收获？1.数学探究活动的一般步骤：数学探究活动的一般步骤：5归纳反思归纳反思设计意图：通过归纳反思，让学生更加清楚数学探究活动的一般流程，以及在数学活动中应注意的问题，为学生以后进行数学探究活动提供方法和依据。让学生学会用数学的思维方式思考问题. 在这种图形中，在这种图形中，A A、B B、C C、D D四点能四点能共圆又需要满足什么条件呢？共圆又需要满足什么条件呢？6能力延伸能力延伸设计意图：让学生通过本节课的学习，试着用本节课学习的数学思维和数学思考的方法解决新的数学问题，让学生学为所用，提高学生的数学素养。 本节课通过教师的启法引导，学生操作，思考合作探究，预期达到以下效果： 1、学生理解了四点共圆的条件。 2、学生获得了数学探究活动的基本流程，积累数 学活动的经验 3、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化，分类的数学思想。 4、进一步掌握了用反证法证明数学问题。五、说教学预期效果五、说教学预期效果 在四点共在四点共圆圆的条件的探究的条件的探究过过程中，通程中，通过对过对特殊的四特殊的四边边形形（平行四平行四边边形、矩形、等腰梯形形、矩形、等腰梯形）、共斜、共斜边边的两个直的两个直角三角形的四个角三角形的四个顶顶点点组组成的四成的四边边形等四形等四边边形的探究，形的探究，发发现现一般的一般的规规律律（过对过对角互角互补补的四的四边边形的四个形的四个顶顶点能作一点能作一个个圆圆），体，体现现了特殊到一般的思想同了特殊到一般的思想同时时，在研究的，在研究的过过程中，程中，类类比将四比将四边边形形转转化成三角形来研究，从三点共化成三角形来研究，从三点共圆圆入手探究四点共入手探究四点共圆圆的条件，体的条件，体现现了了转转化的思想和方法化的思想和方法另外，学生另外，学生经历经历探究四点共探究四点共圆圆的条件的条件这这一数学活一数学活动动的全的全过过程，在程，在“做做”的的过过程和程和“思考思考”的的过过程中程中积积淀，有利于数淀，有利于数学活学活动经验动经验的的积积累累教学设计反思：教学设计反思： 学生为主体，老师为主导学生为主体，老师为主导 上课时要始终把握学生学在前，老师讲在学生思之后。根据学生思考和讨论，做的情况，进行启发，点拨，分析。要做到精讲精练。同时上课时还要重视老师评价和学生互评来完成本节课的学习。