专题专题 1.1 集合集合【核心素养分析核心素养分析】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力。【知识梳理知识梳理】知识点知识点 1：元素与集合：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和。(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。知识点知识点 2：集合间的基本关系：集合间的基本关系(1)子集：若对任意 xA，都有 xB，则 AB 或 BA。(2)真子集：若 AB，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB 或 BA。(3)相等：若 AB，且 BA，则 AB。 (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。知识点知识点 3.集合的基本运算集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为 U，则集合A 的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且 xA知识点知识点 4.集合的运算性质集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA。(2)AAA，AA，ABBA。(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A。【特别提醒】1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有 2n1 个。2.子集的传递性：AB，BCAC。3.ABABAABBUAUB。4. U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)。【典例剖析典例剖析】高频考点一高频考点一 集合的基本概念集合的基本概念例 1、（河南省平顶山一中 2019-2020 年模拟）已知集合 Ax|xZ，且Z，则集合 A 中的元32x素个数为()A2 B3C4 D5【答案】C【解析】因为Z，32x所以 2x 的取值有3，1，1，3，又因为 xZ，所以 x 的值分别为 5，3，1，1，故集合 A 中的元素个数为 4.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】 （湖南省郴州二中 2019-2020 年模拟）设集合 A0，1，2，3，Bx|xA，1xA，则集合 B 中元素的个数为()A1 B2C3 D4【答案】A【解析】若 xB，则xA，故 x 只可能是 0，1，2，3，当 0B 时，101A；当1B 时，1(1)2A；当2B 时，1(2)3A；当3B 时，1(3)4A，所以 B3，故集合 B 中元素的个数为 1.【举一反三】 （山西省晋中一中 2019-2020 年模拟）设 a，bR，集合1，ab，a，则0，ba，bba()A1 B1C2 D2【答案】C【解析】因为1，ab，a，a0，所以 ab0，则 1，所以 a1，b1.所以0，ba，bbaba2.【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么本例(1)集合 B 中的代表元素为实数 pq.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾高频考点二：集合间的基本关系高频考点二：集合间的基本关系例 2、（吉林长春市实验中学 2019-2020 年模拟）(1)已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为()A1 B2C3 D4(2)已知集合 Ax|1x3，Bx|mx0 时，因为 Ax|1x3当 BA 时，在数轴上标出两集合，如图，所以所以 0m1.m 1，m 3，m 0，Bx|x2 或 x2 或 x0x|xR.故选 B.55【举一反三】 （福建莆田一中 2019-2020 年模拟）已知集合 Ax|x22x30，xN*，则集合 A 的真子集的个数为()A7 B8C15 D16【答案】A【解析】方法一：Ax|1x3，xN*1，2，3，其真子集有：，1，2，3，1，2，1，3，2，3共 7 个方法二：因为集合 A 中有 3 个元素，所以其真子集的个数为 2317(个)高频考点三：集合的运算高频考点三：集合的运算例 3、(2019高考全国卷)已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 BUA()A1，6 B1，7C6，7 D1，6，7【答案】C【解析】依题意得UA1，6，7，故 BUA6，7故选 C。【规律方法】如何解集合运算问题 (1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键。(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决。(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图。(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决。【变式探究】（河南郑州 2019-2020 年质检）设全集 UR，集合 Ax|3x1，Bx|x10，则U(AB)()Ax|x3 或 x1 Bx|x1 或 x3Cx|x3 Dx|x3【答案】D【解析】因为 Bx|x1，Ax|3x3，所以U(AB)x|x3故选 D.【举一反三】(2019高考天津卷)设集合 A1，1，2，3，5，B2，3，4，CxR|1x3，则(AC)B()A2B2，3C1，2，3 D1，2，3，4【答案】D【解析】方法一：因为 AC1，2，B2，3，4，所以(AC)B1，2，3，4故选 D。方法二：因为 B2，3，4，所以(AC)B 中一定含有 2，3，4 三个元素，故排除 A，B，C，故选D。【方法技巧】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图。高频考点四：利用集合的运算求参数高频考点四：利用集合的运算求参数例 4、 （江西金溪一中 2019-2020 年模拟）已知集合 Ax|x24，Bm若 ABA，则 m 的取值范围是()A(，2) B2，)C2，2 D(，22，)【答案】D【解析】因为 ABA，所以 BA，即 mA，得 m24，解得 m2 或 m2。【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)【变式探究】 （河南新乡一中 2019-2020 年模拟）设集合 A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若 ABB，则实数 a 的取值范围是_【解析】因为 A0，4，ABB，所以 BA，分以下三种情况：当 BA 时，B0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根，由根与系数的关系，得解得 a1；4（a1）24（a21）0，2（a1）4，a210，)当 B且 BA 时，B0或 B4，并且 4(a1)24(a21)0，解得 a1，此时 B0满足题意；当 B时，4(a1)24(a21)0，解得 a1。综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11。【答案】 (，11高频考点五：集合的新定义问题高频考点五：集合的新定义问题例 5、（广东执信中学 2019-2020 年模拟）如果集合 A 满足若 xA，则xA，那么就称集合 A 为“对称集合”已知集合 A2x，0，x2x，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集，则 AB_【解析】由题意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而当 x0 时不符合元素的互异性，所以舍去当 x3 时，A6，0，6，所以 AB0，6【答案】0，6【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用。(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的。【变式探究】 （辽宁辽阳第一中学 2019-2020 年模拟）定义集合的商集运算为x|x ，mA，nB已知集合 A2，4，6，Bx|x 1，kA，则集合 B 中的元素个数ABmnk2BA为()A6 B7C8 D9【答案】B【解析】由题意知，B0，1，2， 0，1， ，则 B0，1，2，共有 7 个BA12141613BA12141613元素，故选 B。【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质