自动控制理论自动控制理论玉林师范学院电子与通信玉林师范学院电子与通信工程学院工程学院 测控技术与仪器测控技术与仪器第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型内容提要：本章重点: a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用 第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第一节 控制系统的时域数学模型第二节 控制系统的复数域数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第三节 控制系统的结构图与信号流图问题：第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类? 常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型上一目录第二章自动控制系统的数学模型u解析法：解析法：依据系统及元件各变量之间所遵依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。达式，并实验验证。u实验法：实验法：对系统或元件输入一定形式的信对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等）号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处，根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型理而辨识出系统的数学模型。第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型第二章自动控制系统的数学模型（1）确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：根据各根据各环节所遵循的基本物理所遵循的基本物理规律，律，分分别列写出相列写出相应的微分方程的微分方程组。（2 2）建立初始微分方程建立初始微分方程组将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立第一节控制系统的时域数学模型ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1 1 RLCRLC电路电路(page 21)(page 21)输入量：输入量：输出量出量：(1) 确定输入量和输出量(2) 建立初始微分方程组(3) (3) 消除中间变量，使式子标准化消除中间变量，使式子标准化根据基尔霍夫定律得：微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RLC电路是二路是二阶常系数常系数线性微分方程。性微分方程。第一节控制系统的时域数学模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur= R i + ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22机械位移系统系系统组成：成：质量弹簧弹簧阻尼器输入量入量弹簧系数簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t)输出量出量x(t)(2) 初始微分方程组F=ma根据牛根据牛顿第二定律第二定律系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t)F1(t)F2(t)=ma中间变量关系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=k x(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+ kx(t)=F(t)+消除中间 变量得:第一节控制系统的时域数学模型3电枢控制直流电动机(page 21)Ua系系统组成：成：直流直流电机机负载输入:电枢电压励磁励磁电流流Ia电磁磁转矩矩Mm负载转矩矩Mc摩擦摩擦转矩矩Tf工作原理：工作原理：电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型由图，直流电动机的运动方程由三部分组成：1、电枢回路电压平衡方程：2、电磁转矩方程：3、电动机轴上的转矩平衡方程第一节控制系统的时域数学模型消除中间变量得到直流电动机的微分方程第一节控制系统的时域数学模型 由于由于电枢枢电感感较小，通常可忽略不小，通常可忽略不计，上式，上式可可简化化为：(page 22 2-6)式中：式中：如果忽略如果忽略和和，上式可，上式可进一步一步简化化为：第一节控制系统的时域数学模型 比比较: R-L-C电路运路运动方程与方程与 M-S-D机械系机械系统 运运动方程方程 相似系相似系统：揭示了不同物理：揭示了不同物理现象之象之间的相似关系。的相似关系。便于用便于用简单系系统去研究相似的复去研究相似的复杂系系统。四、线性微分方程式的求解工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求求解解拉氏反变换微分方程的解第一节控制系统的时域数学模型1 1拉氏变换的定义如果有一函数如果有一函数满足下列条件：足下列条件：(1)t 0 时 f(t)=0 (2) t0 时时 f(t)是分段连续的是分段连续的 0(3) f(t)e dt =mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn)根轨迹增益传递函数的极点传递函数的零点第二节控制系统的复数域数学模型二、传递函数的零点和极点及其对输出的影响第二节控制系统的复数域数学模型 将将传递函数的函数的零、极点表示在复零、极点表示在复平面上的平面上的图形称系形称系统的的零、极点零、极点图。零点用零点用“O”表示表示极点用极点用“”表示表示零、极点分布零、极点分布图（零、极点（零、极点图）第二节控制系统的复数域数学模型传递函数另一种表示形式函数另一种表示形式为：式中，式中，、称称为时间常数；常数；为传递系数或增益。系数或增益。不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。三、 典型环节的传递函数第二节控制系统的复数域数学模型c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍数放大倍数取拉氏取拉氏变换:得得传递函数函数:1比例环节微分方程微分方程:R(s)C(s)G(s)=K比例比例环节方框方框图KR(S)C(S)K1SC(s)=R(s)=1S单位位阶跃响响应：拉氏反变换得:c(t)=K单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第二节控制系统的复数域数学模型K= -R1R2比例环节实例(page 33)(a)uruc-+R1R2运算放大器(b) 线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第二节控制系统的复数域数学模型单位位阶跃信号作用下的响信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2惯性环节微分方程微分方程: +c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性性环节的的传递函数函数:R(s)C(s)G(s)=KTs + 1=惯性性环节方框方框图R(S)C(S)1+Ts1拉氏反变换得:c(t)=K(1e tT-)单位位阶跃响响应曲曲线设K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第二节控制系统的复数域数学模型uruc-+R2R1C惯性环节实例(a) 运算放大器R2Cs+1R2/R1G(s)=(b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)s+1G(s)=第二节控制系统的复数域数学模型R(s)C(s)G(s)=1TsTsC(s)=R(s) = r(t)dc(t)dtT微分方程：微分方程：时间常数常数3积分环节传递函数：函数：拉氏拉氏变换：积分分环节方框方框图R(S)C(S)Ts1单位位阶跃响响应：1TS1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型如当如当输输入量入量为为常常值值 A A 时时，输出量须经过时间输出量须经过时间T T才能达到输入量在才能达到输入量在t = 0t = 0时的值时的值A A。！改善系！改善系统统的的稳态稳态性能性能！具有明显的滞后作用！具有明显的滞后作用积分分环节实例例(a)运算放大器运算放大器uc-+RCur1RCsG(s)=(b) 直流伺服直流伺服电机机+-UdMsKG(s)=第二节控制系统的复数域数学模型4微分环节R(S)C(S)Ts理想微分理想微分环节微分方程：微分方程：微分微分时间常数常数微分微分环节方框方框图单位位阶跃响响应：c (t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)= TsTS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反拉氏反变换得得:c(t)=T(t)单位位阶跃响响应曲曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构运算放大器构成的微分成的微分环节-+RucCurG(s)=RC s第二节控制系统的复数域数学模型+-uc+-CRurRC电路构成的路构成的实用微分用微分环节RCsRCS+1 G(s)=TsTs+1=理想微分理想微分环节实际中是中是难以以实现的，的，实际中常用含有中常用含有惯性的性的实用微分用微分环节。传递函数函数:单位位阶跃响响应:1sTsTs+1G(s)=1s+1/T c(t)=e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。第二节控制系统的复数域数学模型采用运算放大器构成的比例微分采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+传递函数：函数：单位位阶跃响响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1)单位位阶跃响响应曲曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节控制系统的复数域数学模型5. 振荡环节微分方程：微分方程： + c (t) = r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2时间常数常数阻尼比阻尼比T传递函数：函数：1T2S2 + 2T S+ 1=R(s)C(s)G(s)=G(s)=T 21T 21T 2S2 +S+n2n2nS2+2S+=T1n =无阻尼自然振无阻尼自然振荡频率率振振荡环节方框方框图S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位位阶跃响响应：c(t)=1-1-2Sin(dt+)e单位位阶跃响响应曲曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节控制系统的复数域数学模型1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常常见振振荡环节的的实例：例：(1) (1) 机械位移系统机械位移系统(2) (2) 他激直流电动机他激直流电动机(3) RLC(3) RLC电路电路1/Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=第二节控制系统的复数域数学模型动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第三节 控制系统的结构图和信号流图 一、 系统结构图的组成和绘制q系系统的的动态结构构图由若干基本符号构成。由若干基本符号构成。构成构成动态结构构图的基本符号有四种，即信的基本符号有四种，即信号号线、方框、方框、综合点和引出点。合点和引出点。第三节控制系统的结构图和信号流图1.信号信号线 带有箭有箭头的直的直线，箭，箭头表示表示信号的信号的传递方向，直方向，直线旁旁标记信信号的号的时间函数或象函数。函数或象函数。第三节控制系统的结构图和信号流图2.信号引出点信号引出点/测量点量点 表示信号引出或表示信号引出或测量的位置和量的位置和传递方向。同方向。同一信号一信号线上引出的信号，其性上引出的信号，其性质、大小完全一、大小完全一样。第三节控制系统的结构图和信号流图3.3.比比比比较较点点点点/ /综综合点合点合点合点1.1.用符号用符号用符号用符号“ ”及相及相及相及相应应的信号箭的信号箭的信号箭的信号箭头头表示表示表示表示2.2.箭箭箭箭头头前方的前方的前方的前方的“+ +”或或或或“- -”表示加上此信号表示加上此信号表示加上此信号表示加上此信号或减去此信号或减去此信号或减去此信号或减去此信号第三节控制系统的结构图和信号流图4. 4. 方框方框方框方框/ /环节环节函数方函数方函数方函数方块块具有运算功能具有运算功能具有运算功能具有运算功能绘制动态结构图的一般步骤:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。第三节控制系统的结构图和信号流图第三节控制系统的结构图和信号流图例：如下图是一个电压测量装置，试绘制该系统的结构图第三节控制系统的结构图和信号流图解：系统的组成：比较电路、机械调制器、放大器、两相伺服电动机及指针机构。比较电路：调制器：放大器：第三节控制系统的结构图和信号流图两相伺服电动机：第三节控制系统的结构图和信号流图绳轮传动机构：测量电位器：五、闭环系统的传递函数1、系、系统的开的开环传递函数函数2、系、系统的的闭环传递函数函数3、系、系统的的误差差传递函数函数第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)1、系统的开环传递函数闭环控制系统的典型 结构：开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)= E(s)B(s) =G1(s)G2(s)H (s) =G(s)H(s) 第三节控制系统的结构图和信号流图2、系统的闭环传递函数1)给定信号R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)系统的典型 结构： 设 D (s)=0典型结构图 可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的闭环传递函数:R(s)C(s)(s)=1 +G(s)H(s)G(s)第三节控制系统的结构图和信号流图2)扰动信号D(s)作用设R(s) = 0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)系系统的典型的典型结构：构：+D(s)动态结构图 转换成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反反馈通道通道:闭环传递函数为：D(s)C(s)d(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第三节控制系统的结构图和信号流图_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)3、系统的误差传递函数1)给定信号R(s)作用误差差输出的出的动态结构构图:R(s)+D(s)前向通道前向通道:反反馈通道通道: 设D(s)=0E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1误差差传递函数函数为：R(s)E(s)er(s)=第三节控制系统的结构图和信号流图+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2)扰动信号D(s)作用R(s)R(s)作用下误差输出的动态 结构图: 前向通道前向通道:反反馈通道通道:R(s) = 0E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)ed(s)=误差差传递函数函数为：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)第三节控制系统的结构图和信号流图例例:R(s)C(s)R(s)+D(s)解解:G1G2G3H1H2_C(s)E(s)D(s) = 0结构构图变换为： G1G2G3H1/G3G2H2_C(s)E(s)R(s)求求1+G3G2H2G1G2G3=1+G3G2H2+G1G2H1 +G1G2G3G1G2G3R(s)C(s)=1+G3G2H2+G1G2H1G1G2G3H1/G31+G3G2H2G1G2G31+1+G3G2H2G1G2G3第三节控制系统的结构图和信号流图+D(s)C(s)R(s)G1G2G3H1H2-E(s)R(s)E(s)求求R(s)H1H2-G1G2-E(s)G3-结构构图变换为： 解解:D(s) = 0R(s)-G1G2-E(s)G3-H1H2/G1G1G2G31+G1G2H11+G1G2G31+G1G2H1H2/G1G1G2G31+G1G2H1=1+G1G2H1+G2G3H2G1G2G3E(s)R(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G31+G1G2H1+G2G3H2第三节控制系统的结构图和信号流图R(s)+D(s)G1G2G3H1H2_C(s)D(s)C(s)求求解解:R(s) = 0结构构图变换为 D(s)+G1G2-C(s)-H1-1H2G31+G1G2H1G1G2-(1+H2/G1)D(s)+-C(s)-H1-1G3G2G1H2/G1C(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G3(1+G1G2H1 )系统传递函数为：第三节控制系统的结构图和信号流图R(s)+D(s)G1G2G3H1H2_C(s)E(s)求求D(s)E(s)解解:结构构图变换为 R(s) = 0D(s)+G1G2-E(s)-H1H2-G3D(s)+-E(s)-H1H2/G1-G3G2G11+G1G2H1G1G2(1+H2/G1)E(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3-G3(1+G1G2H1 )系系统传递函数函数为：第三节控制系统的结构图和信号流图 总 结 自自动控制控制系系统建立微分建立微分方程方程系系统传递函数函数R(s)C(s)(s)=建立建立动态结构构图拉氏拉氏变换梅梅逊公式公式等效等效变换解析法解析法拉氏拉氏变换分析系分析系统性能性能时域法域法根根轨迹法迹法频率法率法第三章第三章第四章第四章第五章第五章性能校正性能校正第六章第六章第二章自动控制系统的数学模型