第第4章章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程 在科学技术和经济管理等许多实际问题中，在科学技术和经济管理等许多实际问题中，系统中的变量间往往可以表示成一个（组）系统中的变量间往往可以表示成一个（组）微分方程微分方程或或差分方程差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量，它们是两类不同的方程，前者处理的量的离散变量，的离散变量，间隔时间周期作为统计的间隔时间周期作为统计的.动态动态是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值例如在经济变量的数据中就有很多以例如在经济变量的数据中就有很多以4.1 几类可降阶的高阶微分方程几类可降阶的高阶微分方程四、四、 小结小结一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法. . 二阶和二阶以上的微分方程统称为二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶高阶微分方程微分方程.有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数的的代换代换降低阶数，从而求出解来降低阶数，从而求出解来. .一、一、令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分, , 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 . .型的微分方程型的微分方程 变量代换变量代换 则则例例1解解 （此处（此处例例2 解微分方程解微分方程.解解 对方程两边积分得：对方程两边积分得：再对以上二阶方程积分得再对以上二阶方程积分得最后对以上一阶方程积分，得通解为最后对以上一阶方程积分，得通解为 型的微分方程型的微分方程 设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得则得再一次积分再一次积分, , 得原方程的通解得原方程的通解二、则则变量代换变量代换 例例3 求解求解解解 令令代入方程，得代入方程，得分离变量分离变量积分得积分得利用利用于是有于是有两端再积分得两端再积分得利用利用因此所求特解为因此所求特解为则则三、三、型的微分方程型的微分方程 令令故方程化为故方程化为设其通解为设其通解为即得即得分离变量后积分分离变量后积分, , 得原方程的通解得原方程的通解变量代换变量代换 则则代入方程得代入方程得两端积分得两端积分得( (一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程) )故所求通解为故所求通解为解解 设设则则 例例4 求解求解解解 令令代入方程，得代入方程，得积分得积分得利用初始条件利用初始条件, ,则则例例5 解初值问题解初值问题故所求特解为故所求特解为积分得积分得得得根据根据四、小结四、小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令则则则则思考与练习思考与练习1. 方程方程如何代换求解如何代换求解?答答: : 令令或或一般说一般说, , 用前者方便些用前者方便些. . 均可均可. . 有时用后者方便有时用后者方便. . 例如例如, ,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答: (1) 一般情况一般情况 , , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便. . (2) 遇到开平方时遇到开平方时, , 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号. .例例5练练 习习 题题练习题答案练习题答案作作 业业