第十一章 静不定结构概概述述已有的基础：已有的基础： 什么是超静定；什么是超静定；什么是超静定；什么是超静定； 求解超静定问题的基本方法；求解超静定问题的基本方法；求解超静定问题的基本方法；求解超静定问题的基本方法； 超静定结构的性质。超静定结构的性质。超静定结构的性质。超静定结构的性质。现在的问题是：现在的问题是： 怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？能量原理如何应用能量原理如何应用能量原理如何应用能量原理如何应用: : : :-用于写变形协调方程，求方程中的位移量？用于写变形协调方程，求方程中的位移量？用于写变形协调方程，求方程中的位移量？用于写变形协调方程，求方程中的位移量？ 能量原理在求解能量原理在求解能量原理在求解能量原理在求解超静定问题上的应用超静定问题上的应用超静定问题上的应用超静定问题上的应用11-1超静定问题的解法超静定问题的解法静定问题静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定静定结构。结构。一.一.静定与超静定的概念静定与超静定的概念超静定问题：超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题超静定问题或静不定问题静不定问题.引例引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。多余约束：多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力多余约束反力（B固端约束） 由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁桥梁桥梁桥梁等）应用非常广泛。超静定次数：超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数相应的结构称超静定结构超静定结构或静不定结构静不定结构。PACRABRB根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类：根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类：二、二、超静定超静定问题分类分类、外力超静定结构外部约束存在多余约束。、外力超静定结构外部约束存在多余约束。 如：如：为一一次次外外力超静定力超静定ABP3、内内、外超静定外超静定结构构、内力超静定结构仅在内部存在多余约束。、内力超静定结构仅在内部存在多余约束。 如：封闭刚架在一般的横截面上有三种如：封闭刚架在一般的横截面上有三种 内部约束力内部约束力N N、Q Q及及M M。内力超静定内力超静定结构构ABmP三、三、 拉（压）杆超静定问题的解法：拉（压）杆超静定问题的解法：1. 1. 比较变形法比较变形法把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力解解：例例1.杆上段为铜，下段为钢杆，杆上段为铜，下段为钢杆，杆的两端为固支杆的两端为固支,求两段的轴力。求两段的轴力。FCBA（3）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。（2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移FCBA解:(1) 画A结点受力图，建立平衡方程F未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一次超静定。2. 几何分析法几何分析法例2. 结构如图结构如图，F解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件-即满足变形相容条件。A123A在F力作用下，求各杆内力。1、2杆抗拉刚度为xyA213(3)代入物理关系，建立补充方程(2)如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知(4)联立、求解：三. 拉（压拉（压）杆超静定问题解法的讨论杆超静定问题解法的讨论1、解拉（压解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构超静定问题必须正确地画出结构 的变形图，的变形图，2 2、然后分析结构特点，找出结构变形前后的不、然后分析结构特点，找出结构变形前后的不 变量或者等量关系，变量或者等量关系，3 3、再用数学方法刻画它、再用数学方法刻画它, ,从而给出补充方程。从而给出补充方程。观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。1.1.比较变形法比较变形法常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且计算也较为简单的问题。计算也较为简单的问题。2. 2. 几何法分析变形几何法分析变形是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。1 11 12 2 用力法解静不定系用力法解静不定系统力法是一种力法是一种直接求解未知反力直接求解未知反力的方法。的方法。基本思想基本思想: 是以是以未知约束反力未知约束反力X（反力偶反力偶M）为未知数建立为未知数建立 变形方程变形方程。变形比较法变形比较法: 是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立补充方补充方程程的方法。的方法。1、对于弹性体，变形量与外力成正比、对于弹性体，变形量与外力成正比2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X （M）倍。倍。3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。基本原理：基本原理：简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析。简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析。例：例：一一 取基本结构（去多余约束，补多余反力）取基本结构（去多余约束，补多余反力）在基本结构中，在基本结构中，C点的挠度由点的挠度由q及及X1载荷产生。载荷产生。用叠加法：用叠加法：二二 求求C点的总变形点的总变形1）由外载荷）由外载荷q作用引起的沿作用引起的沿X1方向的位移方向的位移1 P符号中：第符号中：第1个下脚标个下脚标“1”表示该位移在表示该位移在X1 作用点处作用点处沿着沿着X1方向发生；第方向发生；第2个下脚标个下脚标“P”表示该位移是由表示该位移是由实际载荷实际载荷P引起的。引起的。2）由多余约束反力）由多余约束反力X1作用引起的沿作用引起的沿X1方向的位移方向的位移1 X1C点的总位移：点的总位移：1 P1 X11 X1需要寻找新算法。需要寻找新算法。符号中：第符号中：第1个下脚标个下脚标“1”表示该位移在表示该位移在X1 作用点处作用点处沿着沿着X1方向发生；第方向发生；第2个下脚标个下脚标“X1”表示该位移是由表示该位移是由多余约束反力多余约束反力X1引起的。引起的。若以若以1表示基本结构在外力表示基本结构在外力(q)及多余约束反力及多余约束反力(X1)的共同作用下的共同作用下C点沿点沿X1方向的位移。方向的位移。则则C点的总位移：点的总位移： 1 1 P1 X11 又由于又由于C点是绞支座，则点是绞支座，则1沿沿X1方向的实际位移为零：方向的实际位移为零：即：即： 1 1 P1 X10由于实际载荷由于实际载荷P已知，故已知，故1 P可用单位力法求出；可用单位力法求出；而多余约束反力而多余约束反力X1未知，故未知，故1 X1需要考虑如何计算。需要考虑如何计算。三三 计算计算1 X1(X1引起的沿引起的沿X1方向的位移方向的位移)直接计算直接计算1 X1较困难。较困难。先在先在X1作用处沿作用处沿X1方向假想施加一个单位力，求出仅在方向假想施加一个单位力，求出仅在该单位力作用下的变形该单位力作用下的变形11。即：即：1 X1 = 11 X1由：由：1 P1 X1 =0 式中，式中，11 及及1 P均可用单位力法求出，则均可用单位力法求出，则X1可求得。可求得。 1 P11 X1 =0 约束反力约束反力X1是单位力的是单位力的X1 倍。倍。可根据可根据“弹性体的变形与力成正比弹性体的变形与力成正比”这一特点考虑。这一特点考虑。根据根据“弹性体的变形与力成正比弹性体的变形与力成正比”这一特点：这一特点：单位力的单位力的X1 倍的约束反力倍的约束反力X1产生的变形产生的变形 1 X1也是也是11 的的X1倍。倍。1）1P（仅在外载荷作用下，中点的挠度）：仅在外载荷作用下，中点的挠度）：2）11 （仅在单位力作用下，中点的挠度）仅在单位力作用下，中点的挠度）1P5qL4/（384EI）1 P11 X1 =0 单位力的方向取单位力的方向取与与X1方向相同。方向相同。1 P11 X1 =0 力法的基本思想是：力法的基本思想是： 以以未知约束反力未知约束反力X（反力偶反力偶M）为未知数建立为未知数建立 变形方程变形方程。对于弹性体，变形量与外力成正比，未知力产生的对于弹性体，变形量与外力成正比，未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的变形量，是单位力产生变形量的X（M）倍。而单位倍。而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。力产生的变形量可用莫尔积分法求解。通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。力法可以写成标准形式的正则方程：力法可以写成标准形式的正则方程： 11 X1 +1 P=0 当未知力较多时，可以写成一个线性代数方程组，当未知力较多时，可以写成一个线性代数方程组，而解线性方程组的算法有很多，计算很容易。而解线性方程组的算法有很多，计算很容易。 所以：所以： 力法适合于解未知力较多的静不定结构。力法适合于解未知力较多的静不定结构。 特别适合于计算机求解特别适合于计算机求解参考例题：参考例题：三次静不定刚架三次静不定刚架一、取基本结构一、取基本结构二、分别计算载荷作用下的变形二、分别计算载荷作用下的变形三、变形计算三、变形计算1 =11 X1 12 X213 X3 1 P02=21 X1 22 X223 X3 2 P03=31 X1 32 X233 X3 3 P0X1 方向的变形：方向的变形：X2 方向的变形：方向的变形：X3 方向的变形：方向的变形：11 X1 12 X213 X3 1 P021 X1 22 X223 X3 2 P031 X1 32 X233 X3 3 P0成为三阶线性方程组：成为三阶线性方程组：写为矩阵形式：写为矩阵形式：由位移互等定理：由位移互等定理：ijji系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角线的对称矩阵。线的对称矩阵。先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可求出未知量列向量求出未知量列向量X。计算计算1 P：计算计算11 ：类推出其它系数。类推出其它系数。系数矩阵已知，非齐次项已知，未知量矩阵可得：系数矩阵已知，非齐次项已知，未知量矩阵可得：将将等计算量代入矩阵：等计算量代入矩阵： 超静定问题超静定问题 力法正则方程力法正则方程 例题例题悬臂梁悬臂梁AB如图所示，如图所示，A、B端固支。端固支。问题为三次超静定。除掉问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。包含未知反力的静定结构，称为静定基。利用叠加原理，分别画出外载荷（图利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);支反力支反力X1和和X2（图图b和图和图c)单独作用图。单独作用图。式中，式中， 分别表示外载荷在静定基中分别表示外载荷在静定基中X1和和X2方向上产生的位移。方向上产生的位移。按照归一化要求，改写按照归一化要求，改写式中，式中， 为为Xi 方向上的总位移；方向上的总位移； 为外载荷为外载荷(P)在静定基中在在静定基中在Xi 方向上的位移；方向上的位移； 为未知反力为未知反力Xj =1在静定基中在静定基中作用在作用在Xi 方向上的位移；方向上的位移；上式称为上式称为力法正则方程力法正则方程， 称为柔度系数。称为柔度系数。利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为 提问提问 ：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢法，要作几次图乘？三次静不定问题呢? 提问提问 ：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 ij= ji例题例题悬臂梁悬臂梁AB如图所示，如图所示，A、B端固支。求支反力。端固支。求支反力。解：画解：画静定基静定基（图（图a),分别画弯矩图分别画弯矩图b-d;代入力法正则方程，得代入力法正则方程，得解联立方程组得，解联立方程组得，例题例题 内力为一次静不定桁架如图内力为一次静不定桁架如图6-15(a)所示，设各杆所示，设各杆EI相同，求相同，求两种情况下的各杆轴力：两种情况下的各杆轴力：(1) 在力在力P的作用下；的作用下；(2) P = 0，但杆但杆5升升温温 T，已知材料膨胀系数已知材料膨胀系数 。解解：(1) 断开杆断开杆5，加一对约束内力，加一对约束内力X1即得静定基如图即得静定基如图6-15(b)所示。所示。杆号 i杆长Li轴力Ni轴力N0i1aP2aP3a04aP50161(2) 仅有杆仅有杆5升温升温，正则方程为正则方程为 11 X1+ 1T = 0 1T = l5 T是因杆是因杆5升温而引起的相对位移升温而引起的相对位移 由表中数据计算，得到由表中数据计算，得到代入正则方程代入正则方程 11 X1+ 1P = 0 得得 ，其余各杆的内力请读者自行算之。，其余各杆的内力请读者自行算之。提问：在既受到外载荷作用，又有温度变化时，如何求解此问题？提问：在既受到外载荷作用，又有温度变化时，如何求解此问题？二、用卡氏定理解超静定二、用卡氏定理解超静定问题的方法：的方法：（）解除多余（）解除多余约束，代之以多余未知力束，代之以多余未知力X1，X2，Xm。（）（）将将应变能能U表示为原载荷表示为原载荷P1，P2Pn;及及多余未知力的函数多余未知力的函数U=U(P1,P2,Pn;X1,X2,Xm)。（）（）利用多余利用多余约束束处的位移条件及卡氏定的位移条件及卡氏定理得：理得：（Ci为Xi方向的广方向的广义位移，位移，i=1,2,m）三、有三、有时，利用，利用对称称、反反对称性称性可以可以简化超静定化超静定问题的的计算。算。结论：对对称称结构（几何构（几何图形形对称、称、约束束对称、称、刚度度对称）称）而言：而言：、若受、若受对称称载荷作用（指按荷作用（指按对称称轴对折后重合）折后重合）则在在对称截面上只有称截面上只有对称的内力，即只可能有称的内力，即只可能有M、N,而而Q0,Mt0、若受若受反反对称称荷荷载作用，作用，则在在对称截面上只有反称截面上只有反对称内力，即只可能有称内力，即只可能有Q和和Mt，而而N0，M0。、有、有时还可将可将问题分解成分解成对称、反称、反对称称问题求解，如：求解，如：aMMNN2Pa分解分解为PPa对称称QQPP反反对称称五、内力超静定系五、内力超静定系统的解法特点的解法特点相相对位移位移为0。例四：用能量法求例四：用能量法求图示示刚架架A、B、C三三处的的约束力。束力。已知各杆的已知各杆的EI相同相同(不不计N、Q的影响）的影响）解：此解：此为对称称结构受反构受反对称称荷荷载，因此在，因此在对称截面称截面C处只有反只有反对称内力称内力Qc，如如图（b）PABLLLLLLPC各段弯矩如下：各段弯矩如下：LCF段：段：QcFD段：段：DA段：段：由由得：得：解得：解得：PA对图(b)易求出A处的反力。再由图(a)的反对称性易求处B的反力(略）FDM=QCLM=QCL - PxC如系非对称问题要注意转化为对称与反对称问题。F213AFyFx=213A213AFy+3.解析法分析变形对于变形较为复杂，几何分析较为困难的问题可以把结构放到坐标系中，给出变形后各节点的坐标。根据约束条件，就重要节点的共线、共面、共圆以及直线和圆的共点等特征，用解析几何的方法刻画变形相容关系。Fx/2Fx/2（1）变形相容方程：（2）三角形的面积关系：以如图不对称结构为例，各点座标为：AO(xo,yo),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD)+=AAODBCAO、B 、 C 、D点共圆D0C0B0ab213Lxy6. 6. 有限元法解超静定问题有限元法解超静定问题对一些结构超静定次数很高的结构，只有借助有限元法利用计算机进行计算。这要等到以后再继续学习这方面的内容。5. 5. 用能量法解超静定问题用能量法解超静定问题对于较为复杂的结构来说，用能量法求解就会稍微容易些由于各杆的内力与变形方向一致,所以各杆的内力功之和必等于外载荷所做的功,补充方程为:谢谢谢谢大大家家!