数字数字电子技子技术中北大学中北大学Digital Electronics TechnologyNORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA21.1 1.1 数制和码制数制和码制1.2 1.2 逻辑代数概述逻辑代数概述1.3 1.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.4 1.4 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则1.5 1.5 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1.6 1.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA理解理解 BCD BCD 码的含义，掌握码的含义，掌握 8421BCD 8421BCD 码码，了解其他常用了解其他常用 BCD BCD 码。码。主要要求：主要要求： 掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。了解八进制和十六进制。了解八进制和十六进制。1.11.1数制和码制数制和码制第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (一一) ) 十进制十进制 ( (Decimal) ) (xxx)10 或或 (xxx)D 例如例如( (3176.54) )10 或或( (3176.54) )D 数码：数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、91101 1100 510- -1 110- -2权权 权权 权权 权权 数码所处位置不同时，所代表的数值不同数码所处位置不同时，所代表的数值不同 ( (11.51) )10 进位规律：逢十进一，借一当十进位规律：逢十进一，借一当十10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称系数十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式 (3176.54)10 = 3103 + 1102 + 7101 + 6100 + 510- -1 + 410- -2一、数制一、数制第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (二二) ) 二进制二进制 ( (Binary) ) 例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1 (xxx)2 或或 (xxx)B 例如例如 (1011.11)2 或或 (1011.11)B 数码：数码：0、1 进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二 权：权：2i 基数：基数：2 系数：系数：0、1 按权展开式表示按权展开式表示 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12- -1 + 12- -2 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 (1011.11)2 = (11.75)10 = 11.75 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12- -1 + 12- -2第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (三三) ) 八进制和十六进制八进制和十六进制 例如例如 (437.25)8 = 482 + 381 + 780 + 28- -1 + 58- -2 = 256 + 24 + 7 + 0.25 + 0.078125 = (287.328125)10 进制进制数的表示数的表示计数规律计数规律 基数基数 权权 数码数码八进制八进制 ( (Octal) ) (xxx)8 或或(xxx)O逢八进一，借一当八逢八进一，借一当八 8 0 7 8i 十六进制十六进制( (Hexadecimal) ) (xxx)16 或或(xxx)H 逢十六进一，借一当十六逢十六进一，借一当十六 16 0 9、A、B、C、D、E、F 16i例如例如(3BE.C4)16 = 3162 + 11161 + 14160 + 1216- -1 + 416- -2 = 768 + 176 + 14 + 0.75 + 0.015625 = (958.765625)10 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA二、不同数制间的关系与转换 对同一个数的不同计数方法对同一个数的不同计数方法 ( (一一) ) 不同数制间的关系不同数制间的关系 二、不同数制间的关系与转换二、不同数制间的关系与转换 不同数制之间有关系吗？不同数制之间有关系吗？十进制、二进制、八进制、十六进制对照表十进制、二进制、八进制、十六进制对照表770111766011065501015440100433001132200102 11000110000000 十六十六八八二二 十十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A12101010 9111001981010008 十六十六八八二二 十十第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (二二) ) 不同数制间的转换不同数制间的转换 例例 将十进制数将十进制数 (26.375)10 转换成二进制数转换成二进制数 1. 各种数制转换成十进制各种数制转换成十进制 2. 十进制转换为二进制十进制转换为二进制 0 1一直除到商为一直除到商为 0 为止为止 按权展开求和按权展开求和整数和小数分别转换整数和小数分别转换 整数部分：除整数部分：除 2 取余法取余法 小数部分：乘小数部分：乘 2 取整法取整法 26 6 1 3 01 122222 余数余数 13 0读读数数顺顺序序1.500 1 整数整数0.750 0 2 21.000 10.375 2读读数数顺顺序序(26 )10 = (11010 ) 2 .375 .011第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 一位十六进制数对应四一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制位二进制数，因此二进制数四位为一组。数四位为一组。3. 二进制和十六进制间的相互转换二进制和十六进制间的相互转换 (3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2 (10011111011.111011)2 = ( ? )16 每位十六进制数用四位二进每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。制数代替，再按原顺序排列。二进制二进制十六进制十六进制 : 从小数点开始，整数部分向左从小数点开始，整数部分向左( (小数部分向右小数部分向右) ) 四位一组四位一组，最后，最后不不足四位的加足四位的加 0 0 补足补足四位，再按顺序四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数写出各组对应的十六进制数 。(10011111011.111011)2= (4FB.EC)16 第 1 章逻辑代数基础补补 010011111011.11101100 4FBEC0 补补 010011111011 111011十六进制十六进制二进制二进制 :NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA例如例如 ：用四位二进制数码表示十进制数：用四位二进制数码表示十进制数 0 90000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 40101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9将若干个二进制数码将若干个二进制数码 0 和和 1 按一定规则排列起来按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码制码。用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码 三、二进制代码三、二进制代码 （即可表示数值信息，也可表示文字（即可表示数值信息，也可表示文字和符号信息）和符号信息）常用二进制代码常用二进制代码 自然二进制码自然二进制码 二二 - - 十进制码十进制码 格雷码格雷码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII 码码 ( (美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码) ) 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础例如：用三位自然二进制码表示十进制数例如：用三位自然二进制码表示十进制数 0 7： 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 ( (一一) ) 自然二进制码自然二进制码 按自然数顺序排按自然数顺序排列的二进制码列的二进制码 ( (二二) ) 二二- -十进制代码十进制代码 表示十进制数表示十进制数 0 9 十十个数码的二进制代码个数码的二进制代码 ( (又称又称 BCD 码码 即即 Binary Coded Decimal) ) 1 位十进制数需用位十进制数需用 4 位二进制数表示，位二进制数表示，故故 BCD 码为码为 4 位。位。 4 位二进制码有位二进制码有 16 种组合，表示种组合，表示 0 9十个数十个数可有多种方案，所以可有多种方案，所以 BCD 码有多种码有多种。 NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA常用二常用二 - - 十进制代码表十进制代码表 1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十十 进进 制制 数数1100101110101001100001110110010101000011余余 3 码码2421( (B) )2421( (A) ) 5421 码码 8421 码码无权码无权码 有有 权权 码码1001100001110110010101000011001000010000权为权为 8、4、2、1比比 8421BCD 码多余码多余 3取四位自然二进制数的前取四位自然二进制数的前 10 种组合，种组合，去掉后去掉后 6 种组合种组合 1010 1111。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA用用 BCD 码表示十进制数举例码表示十进制数举例： (36)10 = ( )8421BCD (4.79)10 = ( )8421BCD (01010000)8421BCD = ( )10 注意区别注意区别 BCD 码与数制：码与数制： (150)10 = (000101010000)8421BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 6 0110 3 0011 4. 0100.7 01119 10010101 50000 0第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础 ( (三三) ) 可靠性代码可靠性代码 奇偶校验码奇偶校验码 组成组成 信信 息息 码码 ： 需要传送的信息本身。需要传送的信息本身。 1 位校验位：取值为位校验位：取值为 0 或或 1，以使整个代码，以使整个代码 中中“1”的个数为奇数或偶数。的个数为奇数或偶数。 使使“1”的的个个数数为为奇奇数数的的称称奇奇校校验验，为为偶偶数数的的称称偶偶校验。校验。 NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础 8421 奇偶校验码奇偶校验码 01 0 0 111 0 0 1911 0 0 001 0 0 0810 1 1 100 1 1 1700 1 1 010 1 1 0600 1 0 110 1 0 1510 1 0 000 1 0 0400 0 1 110 0 1 1310 0 1 000 0 1 0210 0 0 100 0 0 1100 0 0 010 0 0 00校校 验验 码码信信 息息 码码校校 验验 码码信信 息息 码码8421 偶偶 校校 验验 码码8421 奇奇 校校 验验 码码十进制数十进制数NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础格雷码格雷码(Gray (Gray 码，又称循环码码，又称循环码) ) 0110最低位以最低位以 0110 为循环节为循环节次低位以次低位以 00111100 为循环节为循环节第三位以第三位以 0000111111110000 为循环节为循环节.011001100110001111000011110000001111111100000000000011111111特点特点:相邻项或对称项只有相邻项或对称项只有一位一位不同不同典型格雷码构成规则典型格雷码构成规则 ：NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础 通常，人们可通过键盘上的字母、符号和数值通常，人们可通过键盘上的字母、符号和数值向计算机发送数据和指令，每一个键符可用一个二向计算机发送数据和指令，每一个键符可用一个二进制码表示，进制码表示，ASCII就是其中的一种。它是用就是其中的一种。它是用7位二位二进制码表示的，可以表示进制码表示的，可以表示128个符号，任何符号和个符号，任何符号和控制功能都由高控制功能都由高3位位b6b5b4和低和低4位位b3b2b1b0确定。确定。 例如对所有控制符有例如对所有控制符有b6b5=00，而对其它符号有而对其它符号有b6b5=01、10、11。ASCIIASCII码（美国标准信息交换码）码（美国标准信息交换码）比如字母比如字母 a： b6b5b4b3b2b1b0=1100001 字母字母 A： b6b5b4b3b2b1b0 =1000001NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA主要要求：主要要求： 理解理解逻辑值 1 和和 0 的含的含义。1.2 1.2 逻辑代数概述逻辑代数概述理解理解逻辑体制的含体制的含义。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑指事物因果关系的规律。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻逻辑辑变变量量和和逻逻辑辑函函数数的的取取值值都都只只有有两两个个，通常用通常用 1和和 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处运算规律有很多不同。运算规律有很多不同。 一、逻辑代数一、逻辑代数第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管导通为晶体管导通为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 截止为截止为 0 低为低为 0二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA主要要求：主要要求： 掌握掌握逻辑代数的常用运算逻辑代数的常用运算。理解并初步掌握理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。逻辑函数的建立和表示的方法。 1.3 1.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 掌握真值表、逻辑式、逻辑图和波形图的特点及其掌握真值表、逻辑式、逻辑图和波形图的特点及其相互转换的方法相互转换的方法。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA一、基本逻辑函数及运算一、基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB 若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 与门与门 ( (AND gate) )第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。2.2.或逻辑或逻辑 决决定定某某一一事事件件的的诸诸条条件件中中，只只要要有有一一个个或或一个以上具备时，该事件就发生。一个以上具备时，该事件就发生。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门 ( (OR gate) ) 1 3.3.非逻辑非逻辑决决定定某某一一事事件件的的条条件件满满足足时时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA二、常用复合逻辑运算二、常用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 与非与非逻辑逻辑( (NAND) )先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑或非逻辑 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 110 0YA B00 101 0与或非逻辑与或非逻辑 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即00 001 1YA B10 111 0异或逻辑异或逻辑 ( (Exclusive OR) )若相异出若相异出 1若相同出若相同出 0同或逻辑同或逻辑 ( (Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 010 011 1YA B00 101 0第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础注意注意：“异或异或”和和“同或同或”逻辑运算都是两个变量进行的运逻辑运算都是两个变量进行的运算，不能想当然地推广到多个变量。算，不能想当然地推广到多个变量。 00110101100110101100YCBA011000001111例如例如 Y= =ABCNORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。第 1 章逻辑代数基础Y2解：解：Y1Y3NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA三、逻辑符号对照三、逻辑符号对照 国家标准国家标准曾用标准曾用标准美国标准美国标准第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA四、逻辑函数及其表示方法四、逻辑函数及其表示方法 逻辑函数描述了某种逻辑关系。逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图、逻辑图和波形图常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图、逻辑图和波形图等表示。等表示。1. 真值表真值表 列列出出输输入入变变量量的的各各种种取取值值组组合合及及其其对对应输出逻辑函数值的表格称真值表。应输出逻辑函数值的表格称真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 4 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA2. 逻辑函数式逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 ABC例如例如 1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。真值表真值表逻辑式逻辑式第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA3. 3. 逻辑图逻辑图 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 根据逻辑式画逻辑图的方法根据逻辑式画逻辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 例如例如 画画 的逻辑图的逻辑图 反变量用非门实现反变量用非门实现 与项用与门实现与项用与门实现 相加项用或门实现相加项用或门实现 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础4. 4. 波形图波形图 将输入变量的取值与相应的逻辑函数值按照将输入变量的取值与相应的逻辑函数值按照时间顺序依次排列起来画成的时间波形。时间顺序依次排列起来画成的时间波形。 Y2解：解：Y1Y3NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA1.41.4逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则 主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本公式和基本定律基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则了解逻辑代数的重要规则。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA一、基本公式一、基本公式 逻辑常量运算公式逻辑常量运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量与常量的运算公式 0 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA二、常用公式二、常用公式 ( (一一) ) 与普通代数相似的公式与普通代数相似的公式 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA111111111100 例例 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解：真值表法真值表法0000A B CA + BC(A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (二二) ) 逻辑代数的特殊公式逻辑代数的特殊公式吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B 吸收律吸收律 A + AB = A 推广公式：推广公式： ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，则，则 B = C 吗？吗？ 推广公式：推广公式：反演律反演律( (又称摩根定律又称摩根定律 ) ) 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，则，则 B = C 吗？吗？ 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA三、重要规则三、重要规则 ( (一一) ) 代入规则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替利用代入规则能扩展基本公式的应用。利用代入规则能扩展基本公式的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同一将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。个逻辑函数替代，等式仍然成立。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。号保持不变。 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。利用反演规则或摩根定律。 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y Y，将，将“”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数则得到原逻辑函数的反函数。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和常用公式扩展。应用对偶规则可将基本公式和常用公式扩展。 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序第 1 章逻辑代数基础A + AB = A A (A + B) = A NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA主要要求：主要要求： 了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。 掌握逻辑函数的掌握逻辑函数的代数化简法代数化简法。1.5 1.5 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 理解理解最简与最简与 - - 或式或式的标准。的标准。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 逻辑式有多种形式，采用何种形式视逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。需要而定。各种形式间可以相互变换。 一、逻辑函数式的几种常见形式和变换一、逻辑函数式的几种常见形式和变换 例如例如 与或表达式与或表达式 或与表达式或与表达式 与非与非 - - 与非表达式与非表达式 或非或非 - - 或非表达式或非表达式 与或非表达式与或非表达式 转换方法举例转换方法举例 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 第 1 章逻辑代数基础与或式与或式 与非式与非式 或与式或与式 或非式或非式 与或非式与或非式 NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA二、逻辑函数式化简的意义与标准二、逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与最简与 - - 或式，然后通过变换得到所需最简式。或式，然后通过变换得到所需最简式。 最简与最简与 - - 或式标准或式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA三、代数化简法三、代数化简法 运用逻辑代数的公式对逻辑式运用逻辑代数的公式对逻辑式进行化简。进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，消去多余的与项。消去多余的与项。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA消去法消去法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA配项法配项法 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA主要要求：主要要求： 掌握掌握最小项的概念与编号最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。 1.61.6逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA代数代数化简法化简法 优点：对变量个数没有限制。优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。 卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简。易判断结果是否最简。 缺点：适合变量个数较少的情况。缺点：适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。一般用于四变量以下函数的化简。 一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积个乘积项，这些乘积项均具有下列项，这些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，包含全部变量，且每个变量在该乘积项中且每个变量在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。出现一次。这样的乘积项称为这这样的乘积项称为这 n 个变量的最小个变量的最小项，也称为项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。变量逻辑函数的最小项。1. 1. 最小项的定义和编号最小项的定义和编号 ( (一一) )最小项的概念与性质最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA如何编号如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项合写出相应最小项？例如例如: :3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 1 的代以原的代以原变量，取值变量，取值为为 0 0 的代以的代以反变量，则反变量，则得相应最小得相应最小项。项。 简记符号简记符号ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA2. 2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对于变量的任一组取值，两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，两个最小项的乘积为 0。( (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例如例如ABC+ABC=AB3. 3. 相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。 ( (二二) ) 最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图表示 将将 n 变量的变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。简称为变量卡诺图。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量二二变变量量卡卡诺诺图图AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3AB010 10 00 11 01 10 00 1ABAAB BABABABAB三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD0001111000 01 11 10第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原变量取原变量取 1，反变量取，反变量取 0。1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或表达式。因此，或表达式。因此，下面先介绍标准与下面先介绍标准与 - - 或式。或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准与任何形式的逻辑式都可以转化为标准与- -或式，或式，而且逻辑函数的标准与而且逻辑函数的标准与 - - 或式是唯一的。或式是唯一的。 ( (一一) ) 逻辑函数的标准与逻辑函数的标准与 - - 或式或式 三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式或逻辑式称为标准与称为标准与 - - 或式，又称最小项表达式。或式，又称最小项表达式。 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA如何将如何将逻辑逻辑式转化式转化为为 标准与标准与- -或式呢或式呢 ？ 例例 将逻辑式将逻辑式 化为标准与或式。化为标准与或式。( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小项。，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。AB+ +( (2) ) 利用配项法化为标准与或式。利用配项法化为标准与或式。= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA( (二二) ) 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 例例 试画出函数试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图的卡诺图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对对应的方格填应的方格填 1，其，其余不填。余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA已已知知真真值值表表画画函函数数卡卡诺诺图图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：( (1) ) 画画 3 变量卡诺图。变量卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1，其余不填。，其余不填。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为与或式将逻辑式转化为与或式( (2) ) 作变量卡诺图作变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。AB+ +ABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根据与或式填图根据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。BCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A = 0，D = 1的方格。的方格。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA四、用卡诺图化简逻辑函数四、用卡诺图化简逻辑函数 化化简规律律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。，化简结果为相同变量的与。消消异异存存同同 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础最小项相邻的几种情况最小项相邻的几种情况NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINAABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相与。化简结果为相同变量相与。8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，且必须成方形。方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但方格可重复圈，但须每圈有新须每圈有新 1；每个；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINAm15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。个相同变量相与。Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相与。个相同变量相与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与或式将各图化简结果逻辑加，得最简与或式第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)最简与或式最简与或式 Y=第 1 章逻辑代数基础ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1解：解：NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础找找 AB =11, C = 1 的公共区域的公共区域找找 A = 1, CD = 01 的公共区域的公共区域找找 B = 1, D = 1 的公共区域的公共区域解：解：( (1) )填卡诺图填卡诺图ABCD0001111000 01 11 10 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画要画吗？吗？Y =NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解：解： 0 方格很少且为相方格很少且为相邻项，故用圈邻项，故用圈 0 法先求法先求 Y 的最简与或式。的最简与或式。1111111111第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础合并合并0的两种情况：的两种情况： （1）当）当0的数目远远少于的数目远远少于1的数目时；的数目时； （2）需要将函数化简为最简与）需要将函数化简为最简与-或非式，或者或非或非式，或者或非-或非或非表达式。表达式。ABCD0001111000 01 11 10 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1圈圈1：圈圈0：NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例例 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该该卡卡诺诺图图还还有有其其他他画圈法画圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y =BC 1 1 1 1 1 1A0100 0111 10 第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为应函数值视为 1 或或 0 都可以，故称无关项。都可以，故称无关项。 不允许出现的不允许出现的无关无关项又称约束项；客观上不会又称约束项；客观上不会出现的出现的无关无关项又称随意项。又称随意项。 五、具有无关项的逻辑函数的化简五、具有无关项的逻辑函数的化简 合理利用无关项可使逻辑式更简单合理利用无关项可使逻辑式更简单 1. 1. 无关项的概念与表示无关项的概念与表示 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变变量取值组合或者量取值组合或者不允许出现不允许出现或者根本或者根本不会出现不会出现。 无关项在卡诺图和真值表中用无关项在卡诺图和真值表中用“ ”“”“ ”来标来标记，在逻辑式中则用字母记，在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。 例如例如 8421 码中，码中，1010 1111这这 6 种代码是不允许出现的。种代码是不允许出现的。 例如例如 A、B 为连动互锁开关，为连动互锁开关，设开为设开为 1 , 关为关为 0 , 则则 AB 只能取只能取值值 01 或或 10 , 不会出现不会出现 00 或或 11。 2. 利用无关项化简逻辑函数利用无关项化简逻辑函数 无关无关项的的取取值对逻辑函数函数值没有影响。化没有影响。化简时应视需要将无关需要将无关项方格看作方格看作 1 或或 0 ，使包，使包围圈圈最少而且最少而且最大，从而使结果最简。最大，从而使结果最简。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础将将 d10 看成看成 0,其余其余看成看成 1 解：解：( (1) )填卡诺图填卡诺图 例例 用卡诺图化简用卡诺图化简函数函数 Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1( (3) )写出最简与写出最简与 - - 或式或式最小项最小项( (2) )画包围圈画包围圈无关项无关项 1 0 NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA 例例 已知函数已知函数 Y 的的真值真值 表如下，求其最简表如下，求其最简 与与 - - 或式。或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：解：( (1) )填卡诺图填卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1( (3) )写出写出最简与最简与 - - 或式或式( (2) )画包围圈画包围圈 要画圈吗？要画圈吗？第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA解：解：( (1) )填卡诺图填卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (3) )求最简与求最简与 - - 或式或式( (2) )画包围圈画包围圈 1 1 1 1 求最简与非式基本方法是：求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。和摩根定律变换为最简与非式。 例例 求求函数函数 的最简与非式的最简与非式 1 1 ( (4) )求最简与非式求最简与非式分析题意分析题意称约束条件，表明与项称约束条件，表明与项 AB 和和 AC 对应的最小项不允许出现，因此对应的最小项不允许出现，因此 AB 和和 AC 对应的方格为无关项。对应的方格为无关项。第 1 章逻辑代数基础NORTH UNIVERSITY OF CHINANORTH UNIVERSITY OF CHINA第 1 章逻辑代数基础小小 结结 几几 种种 常常 用用 的的 数数 制制 ： 二二 进进 制制 、 十十 六六 进进 制制 和和 十十 进进 制以及相互间的转换制以及相互间的转换 码制部分：常用的码制部分：常用的BCD码码任意一个任意一个R进制数按权展开：进制数按权展开： 逻逻辑辑问问题题的的描描述述方方法法：真真值值表表、函函数数式式、逻逻辑辑图图、 卡诺图和波形图卡诺图和波形图 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数 逻辑函数的化简：逻辑代数法、卡诺图法逻辑函数的化简：逻辑代数法、卡诺图法