第4章 振动和波动 本章内容：本章内容：4.1 4.1 机械振动机械振动 4.2 4.2 机械波机械波振动有各种不同的形式：振动有各种不同的形式：机械振动机械振动振振动动物物理理系系统统受受到到外外界界扰扰动动时时，系系统统状状态态在在平平衡衡态态附附近近往往复复变化。变化。电磁振动电磁振动微观振动微观振动(如晶格点阵上原子的振动如晶格点阵上原子的振动)etc4.1 4.1 机械振动机械振动机机械械运运动动 广义振动还包括一切具有周期性的运动现象。广义振动还包括一切具有周期性的运动现象。如：心脏跳动、行星运动如：心脏跳动、行星运动etc. 4.1.1简谐振动简谐振动最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动 表达式：表达式： x(t)=Acos( t+ ) “位移位移”可为线量、角量可为线量、角量etc.为常量式中式中kxmxo1.1.简谐振动的特征及其运动方程简谐振动的特征及其运动方程. . 弹簧振子的运动弹簧振子的运动取平衡位置为坐标原点m 受力线性恢复力受力线性恢复力F= -kxF= -kxm 受力线性恢复力受力线性恢复力振动方程振动方程：取振子振动状态由振子振动状态由 m 的位置和速度表征的位置和速度表征速度速度振动方程（振动式）振动方程（振动式）加速度加速度为积分常数，由初始条件决定速度速度加速度加速度位移位移 x(t)=Acos( t+ )2.2. 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量振幅振幅 A代表物体位移的最大值。代表物体位移的最大值。x(t)=x(t+T )周期周期T 和频率和频率 v周期周期T 谐振动某状态重复一次（谐振动某状态重复一次（ 全振动全振动）所需要的时间）所需要的时间v(t)=v(t+T )弹簧振子周期弹簧振子周期频率频率相位（位相）相位（位相）(1) ( t + + )是是 t 时刻的位相时刻的位相 (2) 是是t =0时刻的位相时刻的位相 初位相初位相因因 决定于谐振子性质，谐振动主要由初位相确定。决定于谐振子性质，谐振动主要由初位相确定。约定：约定： x(t)=Acos( t+ )初始条件确定初始条件确定 A 和和 ： 注意：注意： 由上式和由上式和 共同确定。共同确定。3. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法解析法解析法曲线法曲线法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T由由 x=Acos( t+ )已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知 A、T、 表达式表达式 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线旋转矢量法旋转矢量法 t+ xxt = tt = 0 x = A cos( t + ) .o矢量长度矢量长度 = A；以以 为角速度绕为角速度绕o点逆时针旋转；点逆时针旋转；t = 0时矢量与时矢量与x轴的夹角为轴的夹角为 矢量端点在矢量端点在x轴上的投影轴上的投影为为SHM。例例4.14.1如图如图4.44.4所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数物体的质量物体的质量 （1）把物体从平衡位置向右拉到）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程处停下后再释放，求简谐运动方程（2）求物体从初始位置运动到第一次经过）求物体从初始位置运动到第一次经过处时的速度处时的速度（3）如果物体在）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度处时速度不等于零，而是具有向右的初速度求其运动方程求其运动方程。解解（1）要求物体的简谐运动方程，就需要确定角频率）要求物体的简谐运动方程，就需要确定角频率振幅振幅A和初相和初相三个物理量。三个物理量。角频率角频率已知振幅初相，根据已知条件作相应的旋转矢量如图， 可得所以，运动方程为：x0.05m cos（6.0t） （2）欲求处的速度。需先求出物体从初位置运动到第一次抵达因处的相位。 ，由，得初位置第一次运动到时的相位将A、和的值代入速度公式，可得负号表示速度的方向沿0x轴负方向。（3）因，故振幅和初相分别为或可知则简谐运动方程为(1) 动能动能4.4.振动的能量振动的能量(2) 势能势能(3) 机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒!图7-12图7-13例例4.2设地球是一个半径为设地球是一个半径为R的均匀球体，密度的均匀球体，密度。现假定沿。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明）证明此质点的运动是简谐振动；（此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。）计算其周期。解：（l）取图所示坐标。当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即令，则质点受力所以，质点作简谐运动所以，质点作简谐运动（2）质点振动的周期为例例4.3某振动质点的某振动质点的xt曲线如图所示，试求：（曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（）运动方程；（2）点）点P对应的相位；（对应的相位；（3）到达点）到达点P相应位置所需要的时间。相应位置所需要的时间。解：（1）质点振动振幅A=0.10m。而由振动曲线可画出t=0和t=4s时旋转矢量，如图所示。由图可见初相或则运动方程为（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。对应的旋转矢量图如图所示。当初相取时，点P的相位为（3）由旋转关量图可得则例例4.4质量为质量为0.10kg的物体，以振幅的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度作简谐运动，其最大加速度为为，求：，求：（1)振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置时动能；）通过平衡位置时动能； （3）总能量；）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？）物体在何处其动能和势能相等？解解(1)因因故故得得(2)因通过平衡位置时速度为最大，故因通过平衡位置时速度为最大，故将已知数据代入，得将已知数据代入，得(3)总能量总能量(4)当当时时，由由得得 例例4.54.5已知已知SHMSHM，A A= 4 cm= 4 cm， = 0.5 = 0.5 HzHz，t t =1s=1s时时x x =-2cm=-2cm且向且向x x正向运动，写出振动表达式。正向运动，写出振动表达式。 t = 0A 3 x = 4cos( t + ) cm解：由题意，解：由题意，T = 2 s由图，由图， = /3xt = 1s时矢量位置时矢量位置A1t=1s 时的振动矢量如图所示。时的振动矢量如图所示。t=0s 时的振动矢量方向应为时的振动矢量方向应为A1 矢量前矢量前1s时的旋转矢量。时的旋转矢量。 （即半个周期前）（即半个周期前）与与 A1 矢量夹角为矢量夹角为 ，如图。，如图。例例4.6 由由x-t曲线求振动方程。曲线求振动方程。136tox(cm)解：设解：设x=Acos( t+ )4.1.2简谐振动的合成简谐振动的合成振动叠加原理振动叠加原理-当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质当质点同时受到多个弹性力时，可以认为质 点的运动是几个运动的叠加点的运动是几个运动的叠加主要讨论两种叠加形式：主要讨论两种叠加形式：（1）平行简谐振动叠加平行简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率（2）垂直简谐振动叠加）垂直简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率1. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1).合振动合振动 :合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 x =A cos( t+ )x2=A2cos( t+ 2)设设 x = x1+ x2x =A cos( t+ )AA1A2 y x o 1 2 AxAyAx = A1cos 1 + A2cos 2由图知：由图知： Ay = A1sin 1 + A2sin 2A2 = Ax2 + Ay2由：由：tg =AyAx.两种特殊情况两种特殊情况 若两分振动同相若两分振动同相 2 1=0（ 2k ，k=0,1,2,） 若两分振动反相若两分振动反相 2 1= （ (2k+1) ， k=0,1,2,）如如 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱如如 A1=A2 , 则则 A=2A1合振动合振动但当但当 2 1时，时， 2- 1 2+ 1x = x1+ x22. 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成分振动分振动 x1=Acos 1 t x2=Acos 2 t其其中中随随缓变缓变随随快变快变合振动可看作振幅缓变的合振动可看作振幅缓变的“简谐振动简谐振动”合振动不是简谐振动。合振动不是简谐振动。xtx2tx1t. 拍拍拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数.合振动的强弱合振动的强弱A2(t)随随 t 变化的现象拍变化的现象拍(beat)设拍周期为设拍周期为Tb实例：实例：双簧口琴双簧口琴、双簧管双簧管(oboe)、钢琴钢琴(piano)调音调音(钢琴与标准音叉钢琴与标准音叉声波形成拍声波形成拍拍频越小，说明钢琴的音越准拍频越小，说明钢琴的音越准)。振动合成振动合成拍拍3.3.垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .注意注意：对对 2 - 1 = 0， ，/2等等 特殊情形下的轨迹要熟记。特殊情形下的轨迹要熟记。4.4.垂直方向不同频率简谐振动的合成垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2- 1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而位相差位相差随随缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 (Lissajous figures) x y=3 2 2=0, 1= /4yxA1A2o-A2- A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比不同频率垂直简谐振动的合成不同频率垂直简谐振动的合成 （李萨如图）（李萨如图）ENDx:y y- x=0例例4.7有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.20m，合振动，合振动的相位与第一个振动的相位差为的相位与第一个振动的相位差为 ，第一个振动的振幅为，第一个振动的振幅为0.173m。求。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。第二个振动的振幅及两振动的相位差。解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量A1沿沿Ox轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A与与A1之间的夹角之间的夹角根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为由于由于A1、A2、A的量值恰好满足勾股定理，故的量值恰好满足勾股定理，故A1与与A2垂直，即第二个振动与垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为第一个振动的相位差为1. 阻尼振动阻尼振动4.1.3阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动：阻尼振动：振幅随时间减小的振动振幅随时间减小的振动阻尼种类阻尼种类： 摩擦阻尼摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼 电磁阻尼电磁阻尼原因：原因：振动受到阻力的影响，由于克服阻力做功，振动系统的能量减少，振动受到阻力的影响，由于克服阻力做功，振动系统的能量减少，振幅将逐渐减小振幅将逐渐减小1. 阻尼振动阻尼振动当物体以不太大的速率在粘性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动当物体以不太大的速率在粘性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动的速率成正比，方向与运动方向相反，即的速率成正比，方向与运动方向相反，即-C叫做阻尼系数叫做阻尼系数对弹簧振子，在弹性力对弹簧振子，在弹性力及及阻力阻力的作用下，由牛顿第二定律的作用下，由牛顿第二定律或设设则上式可写成则上式可写成是振动系统的固有角频率，它由系统本身的性质所决定是振动系统的固有角频率，它由系统本身的性质所决定叫做阻尼系数叫做阻尼系数三种阻尼振动三种阻尼振动当阻尼系数较小，即当阻尼系数较小，即时，系统作阻尼振动，这时方程的解为时，系统作阻尼振动，这时方程的解为式中式中欠阻尼（小阻尼）欠阻尼（小阻尼）过阻尼过阻尼若阻尼很大，即若阻尼很大，即时，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平时，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置，完全不可能再作往复运动衡位置，完全不可能再作往复运动临界阻尼临界阻尼时，物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置时，物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置xto A0e - tv过阻尼、过阻尼、和临界阻尼和临界阻尼xto过阻尼（过阻尼（ 0）弱阻尼弱阻尼 （ 0）临界阻尼（临界阻尼（ = 0）准周期运动小阻尼准周期运动小阻尼过阻尼、和临界阻尼过阻尼、和临界阻尼准周期运动弱阻尼准周期运动弱阻尼例例4.8一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动，开始时其振幅为一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动，开始时其振幅为0.12m，经，经144s后后振幅减为振幅减为0.06m。问：（。问：（1）阻尼系数是多少？（）阻尼系数是多少？（2）如振幅减至）如振幅减至0.03m，需，需再经历多长时间？再经历多长时间？解： (1)由阻尼震动振幅得（2）两不同时刻的振幅比则振幅由A1改变为A2所经历的时间2.2. 受迫振动受迫振动系统受力：系统受力： 弹性力弹性力 -kx 振动方程：振动方程：周期性策动力周期性策动力 f =F0cos t 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动其中其中阻尼力阻尼力特点特点稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅:(3)初相初相:3.3.共振共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值,出现剧烈振动的现象出现剧烈振动的现象。共振频率共振频率 :共振振幅共振振幅 : 0 则则 r 0 Ar h/(2 0 ) 位移共振位移共振尖锐共振尖锐共振 .速度共振速度共振速速度度共共振振时时，速速度度与与策策动动力力同同相相，一一周周期期内内策策动动力力总总作作正正功功，此此时时向向系系统统输入的输入的能量最大。能量最大。 r= 0 Vm, r=h/2 v r=0速度振幅速度振幅 AEND