第三节第三节 导数的应用导数的应用()基础梳理基础梳理1. 一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3. 导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.题型一题型一 求函数的最值求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在 -1,1 上的最值.分析 通过求导，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，找到最值.解f(x)=x2ex,f(x)=2 xex + x2ex =ex(2x+x2).令f(x)=0,得ex(2x+x2)=0,x=0或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=e-1= ,f(1)=e,f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(0)=0.典例分析典例分析学后反思 求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三举一反三1. （2008广东）已知a为实数，函数f(x)=( +1)(x+a).若f(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值.解析: f(x)=3 +2ax+1.f(-1)=0,3-2a+1=0,即a=2,f(x)=3 +4x+1=3 (x+1).由f（x）0，得x-1或x- ;由f(x)0,得-1x- .因此，函数f(x)的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 ,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x= 处取得极小值f（ ） = .又f（ ）= ,f(1)=6,且 ,f(x)在 上的最大值为f(1)=6,最小值为f（ ）= .题型二题型二 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用【例2】用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图）.问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析引进变量建立目标函数，利用导数求最值.解设容器的高为x cm,容器的容积为V(x) cm3,则V（x）=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0x24).V(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).当10x24时，V(x)0,那么V(x)为减函数.因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3).答：当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0x10时,V(x)0,那么V(x)为增函数；举一反三举一反三2. (创新题)2009年11月，济南市某开发商用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）解析： 设楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得y=(560+48x)+ =560+48x+ (x10,xN*),则y=48- ,令y=0，即48- =0,解得x=15,当x15时，y0;当0x15时，y0,题型三题型三 求单调区间与解含参不等式求单调区间与解含参不等式【例3】 （2008全国）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(aR),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 解f(x)=3x2+2ax+1,判别式=4a2-12,(1)当0,即a3或a-3时，在 上f(x)0,f(x)是减函数;在 和 上，f(x)0,f(x)是增函数.（2）当0,即- a 时，则对所有xR都有f(x)0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当=0,即a= 时，则 且对所有的x 都有f(x)0,故当a= 时，f(x)在R上是增函数.学后反思分类讨论是数学上一类重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式问题,解含参数的不等式常通过讨论来完成.还要注意,在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗漏=0,即a= 的情况.举一反三举一反三3. (2009天津改编)设函数f(x)= (xR),其中m0.求函数的单调区间与极值.解析： f(x)=- +2x+ -1,令f(x)=0,得x1=1-m,x2=1+m,因为m0,所以1+m1-m.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(-,1-m)1-m(1-m,1+m)1+m(1+m,+)f(x) -0+0-f(x)极小值极大值f(x)在(-,1-m)和(1+m,+)上为减函数，在(1-m,1+m)上为增函数.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)= ;函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)= .题型四题型四 导数与不等式的证明导数与不等式的证明【例4】 (14分)已知定义在正实数集上的函 ,g(x)=3a2ln x+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求证：f(x)g(x)(x0).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，找出a与b的关系.(2)可转化为研究函数F(x)=f(x)-g(x),只要证明F(x)0（x0）即可.解(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同1f(x)=x+2a, ,由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即由x0+2a= ,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.4令h(t)= t2-3t2ln t(t0),则h(t)=2t(1-3ln t).故当t(1-3ln t)0,即0t 时，h(t)0; .5当t(1-3ln t)0,即t 时，h(t)0.6故h(t)在(0, )上为增函数，在( ,+)上为减函数，.7于是h(t)在(0,+)上的最大值为h( )= ，即b的最大值为 (2)证明：设F（x）=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x0),.9则 故F(x)在（0,a）上为减函数，在(a,+)上为增函数.11于是F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.13故当x0时，有f(x)-g(x)0,即当x0时，f(x)g(x).14学后反思 采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，也是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)0.如果 f(x)-g(x) 0，说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数，如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0，即f(x)g(x).举一反三举一反三4. 已知函数 ,求证:当x1时，对任意的正整数n,总有f(x)x.证明:x1,对任意正整数n，恒有 1,故只需证明1+ln xx.令h(x)=1+ln x-x,x 1,+),则h(x)= -1.当x1时，h(x)0,故h(x)在 1,+)上递减，即h（x）h(1)=1+ln 1-1=0,1+ln x-x0,即1+ln xx,f(x)x.考点演练考点演练10. (2010绵阳诊断考试)已知f(x)= +m -x+2(mR)，如果函数的单调减区间恰为 ,求函数f(x)的解析式.解析： f(x)=3 +2mx-1.f(x)=3 +2mx-10的解集为 ,3 +2mx-1=0的两根分别为 ,1,将x=1或 代入方程3 +2mx-1=0得m=-1,f(x)= - -x+2.11. (2010南昌模拟)已知函数f(x)= -alnx(xR).（1）若函数f(x)在(1,+)上为增函数，求a的取值范围；（2）讨论方程f(x)=0的解的个数，并说明理由.解析： (1)若函数f(x)在(1,+)上恒成立，则f(x)=x- 0在(1,+)上恒成立，即a 在(1,+)上恒成立，所以有a1.(2)当a=0时，f(x)在定义域(0,+)上恒大于0,此时方程无解；当a0时，f(x)=x- 0在(0,+)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,+)上为增函数.f(1)= 0,f( )= -10,所以方程有唯一解.当a0时，f(x)= .因为当x(0, )时，f(x)0,f(x)在(0, )内为减函数；当x( ,+)时，f(x)0,f(x)在( ,+)内为增函数.所以当x=a时有极小值,即为最小值f( )= a-aln = a(1-ln a).当a(0,e)时，f( )= a(1-lna)=0,此方程无解.当a=e时，f( )= a(1-lna)=0,此方程有唯一解x= ,当a(e,+)时，f( )= a(1-ln a)0.因为f(1)= 0且1 ,所以方程f(x)=0在区间(0, )上有唯一解，因为当x1时，(x-lnx)0，所以x-lnx1,所以xlnx,f(x)= -aln x -ax,因为2a 1,所以f(x) =0,所以方程f(x)=0在区间( ,+)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+)上有两解.综上所述，当a0,e)时，方程无解；当a0或a=e时，方程有唯一解；当ae时,方程有两解.12. (2008天津)已知f(x)=x+ +b（x0）,其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意a ,不等式f(x)10在 上恒成立，求b的取值范围.解析： (1)f(x)=1- ,f(2)=3,a=-8,由切点P(2,f(2)在y=3x+1上,可得b=9,f(x)的解析式为f(x)=x- +9.(2)f(x)=1- ,当a0时，显然f(x)0(x0)，这时f(x)在（-,0),(0,+)上是增函数.当a0时，由f(x)=0,得x=a.当x变化时，f(x)变化情况是xf(x)+0-0+f(x)在(-,- )，（ ,+）上是增函数，在(- ,0),(0, )上是减函数.（3）由(2)知,f(x)在 上的最大值为f( )与f(1)中的较大者.对任意的a ，不等式f(x)10在 上恒成立，当且仅当 即对任意的a 成立，从而得b .所以满足条件的b的取值范围是 .第一节第一节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础梳理基础梳理1. 归纳推理(1)归纳推理的定义从 中推演出 的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程大致如图 .(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是 ,归纳所得的结论是 ,该结论超越了前提所包容的范围.实验、观察概括、推广猜测一般性结论个别事实一般性几个已知的特殊现象尚属未知的一般现象由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过 和 ,因此,它不能作为 的工具.归纳推理是一种具有 的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们 问题和 问题.2. 类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(2)类比推理的思维过程是: 3. 演绎推理(1)演绎推理是一种由 的命题推演出 的推理方法.(2)演绎推理的主要形式是三段论式推理.观察、比较联想、类推猜测新的结论逻辑证明实践检验数学证明创造性发现提出一般性特殊性命题(3)三段论的常用格式为 其中,是 ,它提供了一个一般性的原理;是 ,它指出了一个特殊对象;是 ,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.典例分析典例分析题型一题型一 归纳推理归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，M-P(M是P)S-M(S是M)S-P(S是P)大前提小前提结论且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 .分析 归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位,即质点位置是（24,44）.学后反思 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.1. 在数列an中，a1=1, nN*,试猜想这个数列的通项公式.举一反三举一反三解析: ,，猜想： .题型二题型二 类比推理类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.解 （1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思 (1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.举一反三举一反三（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;（2）空间中不共面的4个点确定一个球;（3）球的表面积与体积可求;（4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.题型三题型三 演绎推理演绎推理【例3】(14分)已知函数f(x)=ax+bx,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.证明 设0x1x2, .1则f(x1)-f(x2)=( +bx2)-( +bx2)=(x2-x1)( -b).3当0x1x2 时，则x2-x10,0x1x2 , b,.6f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), .7f(x)在(0, 上是减函数；.8当x2x1 时，则x2-x10,x1x2 , b,.10f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),.12f(x)在 ,+）上是增函数. .14分析 利用演绎推理证明,根据单调性的定义分情况讨论.学后反思 这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0, 上满足减函数的定义和f(x)在 ,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.举一反三举一反三证明： 设x1(-,1,x2(-,1,x1x2,则x=x2-x10.y=f(x2)-f(x1)=(-x22+2x2)-(-x12+2x1)=x12-x22+2x2-2x1=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1)=(x1-x2)(x1+x2-2).x1x21,x1+x22,x1+x2-20,(x1-x2)(x1+x2-2)0.则f(x2)-f(x1)0 f(x2)f(x1),f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.易错警示易错警示【例】在RtABC中，三边长为a,b,c,则c2=a2+b2.类比在三棱锥中有何结论?错解 在三棱锥VABC中,有S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC错解分析 错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.正解 在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC.考点演练考点演练10. (2010衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+f(0)+f(5)+f(6)的值.解析： 由题意知:f(x)+f(1-x)=f(-5)+f(0)+f(6)=f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+f(-3)+f(4)+f(-2)+f(3)+f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)= .11.观察下列等式:sin210+cos240+sin 10cos 40= ;sin26+cos236+sin 6cos 36= .由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.解析： 由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .猜想,若-=30,则=30+,sin2+cos2+sin cos = .也可直接写成:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= .证明:左边= +sin cos(+30)= +sin (cos cos 30-sin sin 30)= - cos 2+ + cos 2- sin 2+ =右边,故sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= .12. (创新题)小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案,现按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.(1)试写出f(5)、f(6)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并求出f(n)的表达式;(3)求证: 解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61.(2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8,f(4)-f(3)=7+5=12,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n.f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1)=4(n-1)+(n-2)+2+1+1=(3)证明:当k2时,