第六节第六节 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 一、化简的意义和最简的标准一、化简的意义和最简的标准 ： 1.化简的意义（目的）化简的意义（目的） ： 节省元器件；提高工作可靠性节省元器件；提高工作可靠性 2. 化简的目标化简的目标 ： 最简与或式最简与或式或者或者最简或与式最简或与式 逻辑函数式有多种形式，如与或式，逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。或与式，与非与非式，或非或非式等等。9/4/20241第二章 逻辑代数基础3.最简的标准最简的标准 ： AB+AC 与或式与或式=AB AC 与非与非式与非与非式两次取反两次取反=A(B+C) 或与式或与式=AB+C 或非或非式或非或非式两次取反两次取反 与或式使用最多，因此只讨论与或与或式使用最多，因此只讨论与或式的最简标准式的最简标准.(1)含的含的与项与项最少；最少； 门最少门最少(2)各与项中的各与项中的变量数变量数最少。最少。 门的输入端最少门的输入端最少(3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少9/4/20242第二章 逻辑代数基础二、公式法二、公式法1. 相邻项合并法相邻项合并法 利用合并相邻项公式利用合并相邻项公式: A B + A B = A例例2：F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C ) = A 例例1：F = A B + C D + A B + C D = A + D = ( A B + A B ) + ( C D + C D )9/4/20243第二章 逻辑代数基础练习练习：用并项法化简下列逻辑函数：用并项法化简下列逻辑函数9/4/20244第二章 逻辑代数基础 练习：练习：9/4/20245第二章 逻辑代数基础2. 消项法消项法 = A B例例1： F = A B + A B C + A B D = A B + A B ( C + D )例例2： F = A C + C D + A D E + A D G = A C + C D利用消项公式利用消项公式 A + AB = A或或A + AB = A + B 或或A B + A C + B C = A B + A C9/4/20246第二章 逻辑代数基础例例3：F = A B + A C + B C = A B + C = A B + A B C 例例4： F = A B + A B + A B C D + A B C D = A B + A B + C D ( A B + A B ) = A B + A B + C D9/4/20247第二章 逻辑代数基础练习：练习：9/4/20248第二章 逻辑代数基础9/4/20249第二章 逻辑代数基础(3) 配项法配项法 利用消项公式利用消项公式 A=A + A或或1=A + A 或或A B + A C =A B + A C + B C 配出多余项，再配出多余项，再与其它项合并与其它项合并例：例：解：解：9/4/202410第二章 逻辑代数基础练习：练习：9/4/202411第二章 逻辑代数基础练习：练习：9/4/202412第二章 逻辑代数基础先找公共因子，再找互补因子先找公共因子，再找互补因子(4) 综合法综合法 公式名称公式名称公公 式式1.0-11.0-1律律A0=0A+1=12.2.自等律自等律A1=AA+0=A3.3.等幂律等幂律AA=AA+A=A4.4.互补律互补律AA=0A+A=15.5.交换律交换律AB= BAA+B=B+A6.6.结合律结合律A(BC)= (AB)CA+(B+C)=(A+B)+C7.7.分配律分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)8.8.吸收律吸收律1 1(A+B)(A+B)=AAB+AB=A9 .9 .吸收律吸收律2 2A(A+B)=AA+AB=A10 .10 .吸收律吸收律3 3A(A+B)=ABA+AB=A+B11.11.多余项定律多余项定律 (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) AB+AC+BC=AB+AC12.12.求反律求反律AB=A+BA+B=AB13.13.否否律否否律A=A9/4/202413第二章 逻辑代数基础例1 解法解法1 F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB)=ABC+A（BC+B） （分配律）=ABC+A（C+B） （吸收律3）=ABC+AC+AB （ 分配律）=（AB+A）C+AB （分配律）=（B+A）C+AB （吸收律3）=BC+AC+AB （分配律）9/4/202414第二章 逻辑代数基础例例1此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干次，此例次，此例ABCABC项就反复用了三次项就反复用了三次F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC + ABC （等幂律等幂律） 解法解法2=BC + + （吸收律吸收律1）（ABC+ABC=BC，ABC+ABC=AC，ABC+ABC=AB）ACAB9/4/202415第二章 逻辑代数基础F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH例例2解解解解: : 原式原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH （吸收律吸收律1）=A+AC+BD+BEG+DEGH (吸收律吸收律2) =A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律吸收律3）9/4/202416第二章 逻辑代数基础例例例例3 3F=AB+BC+BC+AB此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律互补律互补律互补律A+A=1A+A=1）=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律）分配律）分配律）分配律）=AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律吸收律吸收律吸收律2 2： AB+ABC=ABAB+ABC=AB）=AB+BC+ABC+ABC （吸收律吸收律吸收律吸收律2 2：BC+ABC=BCBC+ABC=BC）=AB+BC+AC（吸收律吸收律吸收律吸收律1:ABC+ABC=AC1:ABC+ABC=AC）9/4/202417第二章 逻辑代数基础公式化简法公式化简法优点：不受变量数目的限制。优点：不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。有时很难判定化简结果是否最简。9/4/202418第二章 逻辑代数基础第五节第五节 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式 一、常见表达式一、常见表达式 二、标准表达式二、标准表达式 1.最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式 2. 最小项的性质最小项的性质 4. 由真值表写出最小项表达式的方法由真值表写出最小项表达式的方法 3. 由一般表达式写出最小项表达式的方法由一般表达式写出最小项表达式的方法9/4/202419第二章 逻辑代数基础一、常见表达式一、常见表达式F = AB + AC = AB + AC = AB AC = ( A + B ) ( A + C )与与或式或式 与非与非与非式与非式与或非式与或非式= AB + A C9/4/202420第二章 逻辑代数基础 = ( A + B ) ( A + C )或或与式与式 = ( A + B ) ( A + C ) = A + B + A + C 或非或非或非式或非式二、标准表达式二、标准表达式1.最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式(1)最小项的概念及其表示最小项的概念及其表示 9/4/202421第二章 逻辑代数基础例例1：已知三变量函数：已知三变量函数 F(A,B,C) ，则则 ABC就是就是一个最小项，通常写成一个最小项，通常写成m5。其中，其中，m 表示最小项，表示最小项，5 表示最小项的编号表示最小项的编号 ABC ( 101 )2 ( 5 )10 例例2：已知四变量函数：已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则则 BACD就就是一个最小项，其最小项编号为多少？是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺的顺序排列序排列 ，得，得ABCD，从而得从而得(0111)2，即，即(7)10。所以，此最小项的编号为所以，此最小项的编号为7，通常写成，通常写成m7。9/4/202422第二章 逻辑代数基础(2)最小项表达式（标准与或式）最小项表达式（标准与或式） 例：例：F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C9/4/202423第二章 逻辑代数基础一变量函数，如一变量函数，如 F(A)，共有：共有：2个最小项个最小项2. 最小项的性质最小项的性质 即：即：A、A二变量函数，如二变量函数，如 F(A,B)，共有：共有：4个最小项个最小项三变量函数，如三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：共有：8个最小项个最小项即：即：A B、A B、A B、A B即：即：A B C、A B C、A B C、A B C A B C、A B C、A B C、A B C结论：结论：n变量函数，共有：变量函数，共有：2 n 个最小（大）项。个最小（大）项。9/4/202424第二章 逻辑代数基础(1) 最小项的主要性质最小项的主要性质 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为合，使它的值为1。 9/4/202425第二章 逻辑代数基础A B CABC0 0 000 0 10 0 1 000 1 101 0 001 0 111 1 001 1 10 能使最小项的值为能使最小项的值为1的取的取值组合，称为值组合，称为与该最小项与该最小项对应的取值组合对应的取值组合。 例：例：101 ABC 。 若把若把与最小项对应的取与最小项对应的取值组合值组合看成二进制数，看成二进制数，则对应的十进制数就是则对应的十进制数就是该最小项的编号该最小项的编号i。 9/4/202426第二章 逻辑代数基础全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1。 即：即： 任意两个最小项的乘积恒等于任意两个最小项的乘积恒等于0 。 即：即： 9/4/202427第二章 逻辑代数基础即：即： 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项项 。 证明：证明： 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi = 1 ( 有且只有一组有且只有一组)，则：则： 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi = 0 ( 其余其余2 n -1组组)，则：则： 所以，等式成立。所以，等式成立。9/4/202428第二章 逻辑代数基础证明：证明： 即即上述关系式成立。上述关系式成立。9/4/202429第二章 逻辑代数基础证明：证明： 根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中中的原、反变量互换，即得到的原、反变量互换，即得到F。所以，所以，F 和和F中包含的最小项的个数是相等的，中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为且对应的最小项的编号之和为( 2n-1 )。 即上述关系式成立。即上述关系式成立。 9/4/202430第二章 逻辑代数基础例例1：若：若= A B C + A B C + A B C则则 F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C例例2：若：若则则 解：解：9/4/202431第二章 逻辑代数基础3. 由一般表达式写出最小项表达式的方法：由一般表达式写出最小项表达式的方法： 一般表一般表达达 式式 与或式与或式 A + A = 1最小项表达式最小项表达式 例例1：解：解：F(A,B,C) = AB( C + C) = ABC + ABC9/4/202432第二章 逻辑代数基础例例2：=AB =ABC+ABC 解：解：F(A,B,C) = AB ( A+B)9/4/202433第二章 逻辑代数基础练习：F F = ABC+BC+AC= ABC+BC（A+A）+AC（B+B）= ABC+ABC+ABC+ABC+ABC= m0 +m3+ m4+ m6+m7= （0, 3, 4, 6, 7）F F = ABC+BC+AC9/4/202434第二章 逻辑代数基础4. 由真值表写出最小项表达式的方法由真值表写出最小项表达式的方法 最小项表达式是真值表中所有使函数值为最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。的取值组合所对应的各最小项之和。例例2.5.3 试将表试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数真值表所表示的逻辑函数用最小项表达式表示。用最小项表达式表示。9/4/202435第二章 逻辑代数基础A BF0 01 0 101 0 11 10解：解：最小项表达式：最小项表达式： = m0+m2F(A,B) = A B + A B表表 2.5.29/4/202436第二章 逻辑代数基础练习：练习：F F = ABC+BC+ACABC ABC BC AC F00010010010001101000101011001110000100010000101010011011F F = ABC+BC+AC= （0, 3, 4, 6, 7）9/4/202437第二章 逻辑代数基础作业题作业题2.52.8(1)(3)2.10 (1)2.11 (1)(2)9/4/202438第二章 逻辑代数基础