1.2 基本概念基本概念定定义义1:1: 联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（或或微微分）的关系式称分）的关系式称为为微分方程微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程. 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定定义义2 2：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数或或微分的微分的阶阶数称数称为为微分方程的微分方程的阶阶数数. . 是一阶微分方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程是线性微分方程. 三 线性和非线性如如1.如果方程 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如2.n阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义4例2证明:1 显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如有显式解:和隐式解:2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:n阶微分方程通解的一般形式为注1:例3证明:由于故又由于注2:注3:类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如定义63 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:例4解由于且解以上方程组得思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解吗？五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.2 方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.图1.2等斜线积分曲线：图中实线例：讨论微分方程等斜线是双曲线： 积分曲线的分布概况如左图. 拐点所在的曲线 方向场画法：方向场画法：适当画出若干条等斜线，适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.解解方程的等斜线为方程的等斜线为画出五条等斜线画出五条等斜线,再在每条等斜线再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。向量，如图方向场。根据方向场即可大致描绘出积根据方向场即可大致描绘出积分曲线分曲线经过点经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。的三条积分曲线如左图所示。例5例6积分曲分曲线方向场方向场方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例7六、微分方程组六、微分方程组定义定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组。Lorenz方程方程Volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型(1.18)(1.19)高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式（的另一种形式（如果可能如果可能！）！）如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式其中均为向量函数其中均为向量函数分析分析：微分方程（组）的向量形式为其用：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。线性代数知识进行研究讨论提供了方便。七、驻定与非驻定、动力系统七、驻定与非驻定、动力系统如果方程组如果方程组 的右端不含自变量的右端不含自变量 ，即，即则称为则称为驻定驻定（自治自治）的，否则就称为）的，否则就称为非驻定的非驻定的（非自治非自治）的。）的。注：注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。把满足恒同性和可加性的映射称为把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统动力系统。动力系统分为。动力系统分为连续连续和离散系统两种类型和离散系统两种类型，对应有，对应有连续动力系统和离散动力系统连续动力系统和离散动力系统。注注：记：记 为单参数为单参数 的的 的映射（变换），则映的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：射满足恒同性和可加性，即：和和八、相空间、奇点和轨线八、相空间、奇点和轨线把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间相空间；积分曲线在相空间中的投影称为积分曲线在相空间中的投影称为轨线轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解平衡解（驻定解、常数解驻定解、常数解）或或奇点奇点（平衡点平衡点几何定义）；几何定义）；