模糊集合的分解定理与表现定理谷云东guyund126.com华北电力大学（北京）数理学院信息与计算科学教研室 注注 模模糊糊集集的的运运算算一一般般不不满满足足Cantor集集运运算算中中的的补补余余律律 即，一般来说不满足：即，一般来说不满足： 给给定定两两个个论论域域 与与 ，取取模模糊糊集集 与与模模糊糊 集集 ，由，由 与与 作新的模糊集作新的模糊集 ，隶属函数规定为隶属函数规定为称称 为为模模糊糊集集 与与模模糊糊集集 的的直直积积（卡卡氏氏积积），它它是是通常集合通常集合直积直积的自然推广。的自然推广。 1.5 分解定理分解定理 在实际应用中，对于模糊现象常常需要作出清晰的判在实际应用中，对于模糊现象常常需要作出清晰的判断，因此需要有一道断，因此需要有一道“桥梁桥梁”能够把模糊集与普通集能够把模糊集与普通集（Cantor集）沟通起来。对于一个普通集集）沟通起来。对于一个普通集 ，只，只是当是当 时（时（ ），才把），才把 看成是看成是 的一个的一个元素，即元素，即 ，这里，这里 为集合为集合 的特征函数。对于模的特征函数。对于模糊集来说，这样的糊集来说，这样的“门槛门槛”太高了，需要把门槛不同程度太高了，需要把门槛不同程度地降低，将地降低，将1改成某一个数改成某一个数 。给定这样的门槛以。给定这样的门槛以后，当且仅当后，当且仅当 时，就说时，就说 是是 中的元素。这样，中的元素。这样，对每一个对每一个 ，都能确定，都能确定 上的一个普通集，它是上的一个普通集，它是 在在 这一信任程度上的显像。这一信任程度上的显像。 设设 ，对任何，对任何 ，记，记 称为称为 的的 截集截集， 叫做叫做置信水平置信水平。再记。再记称为称为 的的 强截集强截集，或，或 开截集开截集。显然，显然， 与与 都是都是 上的普通集合，即上的普通集合，即 容易验证，容易验证， 截集和截集和 开截集具有以下性质：开截集具有以下性质： （1）（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13）练习练习1 1：证明性质（：证明性质（1 1）- -（1313）。）。 设设 ，称，称 为为 的核，记为的核，记为 ；称；称 为为 的支集（也叫支撑），记作的支集（也叫支撑），记作 ；称称 为为 的边界（见图的边界（见图1.5.1）。）。 例例1.5.11.5.1 取例取例1.3.1中的中的 ，我们有，我们有 设设 。由数。由数 和模糊集和模糊集 构成构成一个新的模糊集，记为一个新的模糊集，记为 ，其隶属函数规定为，其隶属函数规定为 称称 为为 与与 的的数乘数乘。 容易验证，数乘有以下性质：容易验证，数乘有以下性质： （1） （2） 下面的分解定理说明了模糊集是由若干截集下面的分解定理说明了模糊集是由若干截集“拼凑拼凑”而成的。而成的。 分解定理分解定理1 1 若若 ，则，则 分解定理分解定理2 2 若若 ，则，则 设设 ，作映射，作映射 ，满足条件：满足条件： ，有，有 下面的分解定理下面的分解定理3说明，说明， 亦能由亦能由 拼凑而成。拼凑而成。 分解定理分解定理3 3 若若 ，则，则 练习练习2：证明：证明分解定理分解定理3 3 。命命题题1.5.11.5.1 由由条条件件 确确定定的的映映射射 具具有有下列性质：下列性质： （1） （2） （3）1.6 表现定理表现定理 与分解定理一样，表现定理也是模糊集合论中最重要的定与分解定理一样，表现定理也是模糊集合论中最重要的定理，它从另外一个角度来阐明模糊集与普通集之间的关系。理，它从另外一个角度来阐明模糊集与普通集之间的关系。 称称映映射射 为为论论域域 上上的的一一个个集合套集合套，如果满足条件：，如果满足条件： 上上全全体体集集合合套套组组成成的的集集合合记记为为 。在在 中中规规定定运运算算 ： 特别，对于一般指标集特别，对于一般指标集 ，我们可以规定，我们可以规定： 定理定理1.6.11.6.1（表现定理（表现定理3） 如果置如果置 则则 为代数系为代数系 到代数系到代数系的满同态映射，并且满足：的满同态映射，并且满足： (1) (2) (3) 分解定理说明一个模糊集可由一些集合套表示，而表分解定理说明一个模糊集可由一些集合套表示，而表现定理说明任何一个集合套都表示了一个模糊集。现定理说明任何一个集合套都表示了一个模糊集。 因为因为 是是 到到 的满射，故由的满射，故由 可诱导可诱导 上上的一个等价关系的一个等价关系 于是得到商集：于是得到商集： 其中其中 为为 所在的等价类。在商集所在的等价类。在商集 中再定义运中再定义运 算算 : : 推论推论 映射映射 为代为代数系数系 到代数系到代数系 的同构映射。的同构映射。 该推论说明：可以认为模糊集就是集合套的等价类，该推论说明：可以认为模糊集就是集合套的等价类，其运算可由类中代表进行，而代表的运算又由集合的运算其运算可由类中代表进行，而代表的运算又由集合的运算来确定。来确定。 设设 ，称集合套，称集合套 为为 上的一个上的一个晕集晕集（或（或集轮集轮），如果满足条件：），如果满足条件： 记记 上全体晕集构成的集合为上全体晕集构成的集合为 。 设设 ，称集合套，称集合套 为为 上的一个上的一个开晕集开晕集（或（或开集轮开集轮），如果满足条件：），如果满足条件： 记记 上全体开晕集构成的集合为上全体开晕集构成的集合为 例例1.6.1 设设 ，构作映射，构作映射 易知易知 命题命题1.6.1 对任何对任何 ，我们有，我们有 (1) 存在唯一的晕集存在唯一的晕集 ，使，使 (2) 存在唯一的开晕集存在唯一的开晕集 ，使，使 注注 设设 ，则下列条件等价：，则下列条件等价： (1)(1) (2) (2) (3) (3)在在 中规定代数运算中规定代数运算 ，其中，其中 即集合套的即集合套的相应运算，余运算如下定义：相应运算，余运算如下定义： 使得使得 可以验证可以验证 对于上述对于上述 是封闭的，故是封闭的，故是代数系统。同理可规定代数系统是代数系统。同理可规定代数系统定理定理1.6.21.6.2 (1) (1) (2) (2)练习练习3 3：证明：证明定理定理1.6.21.6.2 。 推论推论1 1（表现定理（表现定理1） 推论推论2 2（表现定理（表现定理2） 显然，表现定理显然，表现定理1，2是表现定理是表现定理3的特例。的特例。1.7 扩展原理扩展原理 扩展原理是模糊集合论中的一个基本定理，它有着广扩展原理是模糊集合论中的一个基本定理，它有着广泛的应用。泛的应用。 设设 是两个论域，给定映射是两个论域，给定映射 ，如何由映射如何由映射 诱导出一个诱导出一个 到到 的映射的映射 ？这是扩展原理的基本作用。这是扩展原理的基本作用。 先回顾一下普通集论中的扩展原理，即当先回顾一下普通集论中的扩展原理，即当 和和 分别蜕化为分别蜕化为 和和 时，由映射时，由映射 可诱导一可诱导一个从个从 到到 的映射，仍记为的映射，仍记为 ： 还可以诱导出一个从还可以诱导出一个从 到到 的映射：的映射： 称称 为为 的像，称的像，称 为为 的逆像（见图的逆像（见图1.7.1）。）。将经典扩展原理进行推广，便有将经典扩展原理进行推广，便有 扩展原理扩展原理1 1 由映射由映射 可以诱导出映射：可以诱导出映射：称称为为由由 诱诱导导的的 到到 的的映映射射，或或称称由由 诱诱导导的的 到到 的模糊变换的模糊变换, 叫做叫做 的像。由的像。由 还可诱导出映射：还可诱导出映射：称为由称为由 诱导的诱导的 到到 的映射，或称由的映射，或称由 诱导的诱导的 到到 的模糊变换。的模糊变换。 叫做叫做 的逆像。的逆像。 下面的定理说明在下面的定理说明在 的隶属函数之间有的隶属函数之间有类似经典扩展原理的关系。类似经典扩展原理的关系。 定理定理1.7.11.7.1 给定映射给定映射 ，我们有，我们有 (1) (1) 若若 ，则对于任何，则对于任何 ，有，有 （2） 若若 ，则对于任何，则对于任何 ，有，有 定理定理1.7.21.7.2( (扩展原理扩展原理2 2) ) 给定映射给定映射 ，我们有，我们有 (1) (1) 若若 ，则，则 （2） 若若 ，则，则 定理定理1.7.31.7.3( (扩展原理扩展原理3 3) ) 给定映射给定映射 ，我们有，我们有 (1) (1) 若若 ，则，则其中其中 且且 。 （2） 若若 ，则，则其中其中 且且 。练习练习4 4：证明：证明定理定理1.7.31.7.3。 定理定理1.7.41.7.4（复合映射的扩展原理）（复合映射的扩展原理） 给定映射给定映射 是是 的复合映射，的复合映射， 。我们有。我们有 （1） 若若 ，则，则 （2 2） 若若 ，则，则 命题命题1.7.11.7.1（1） ；当；当 为单射时，取等号。为单射时，取等号。 （2） ；当；当 为满射时，取等号。为满射时，取等号。