第三章第三章 弹性力学平面问题弹性力学平面问题3-1 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法3-3 代数多项式解答代数多项式解答3-4 若干典型实例若干典型实例3-53-5平面问题的极坐标方程平面问题的极坐标方程3-6 平面轴对称应力问题平面轴对称应力问题3-7 圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中3-8 楔形体问题楔形体问题3-9 半平面问题半平面问题* * 3-10 AiryAiry应力函数的物理意力函数的物理意义 3-1 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题 严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题（三维问题），从而要归结为求解复杂的偏微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何形状和受力情况（包括约束条件）具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为所谓的弹弹性性力力学学平平面面问问题题，在数学上属于二二维维问问题题。这样处理，将使分析和计算工作量大为减少，而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。 根据弹性体的形状与受力特点，弹性力学平面问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。 一、平面应力问题一、平面应力问题 由于板很薄，外力又不沿厚度方向变化，应力沿着板厚又是连续分布的，因此，可认为在板的内部，这三个应力分量是很小的，不妨近似认为在整个板内为零。一点处的应力状态平面应力问题平面应力问题 注意到切应力互等性，可知，只剩下平行于xoy面的应力分量：将此三个应力分量看成与z无关的、关于x，y的函数 切应力互等定理两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均指向（或背离）该两平面的交线，称为切应力互等定理。（材料力学P61）平面应力问题基本方程 在平面应力问题中，随着物理量的简化，基本方程也随之简化 。or及0,畸变。这种畸变很小，并与z无关，而是x，y的函数。它可以从此式中独立地求出。 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 （一般情况）（一般情况）平衡（运动）微分方程平衡（运动）微分方程几何方程几何方程应变和位移的关系应变和位移的关系物理方程物理方程应力和应变的关系应力和应变的关系平面应力问题的应变协调方程 问题：平面应力问题的以应力表示的应变协调方程 类似三维问题重新推导，能否直接用三维的结论简化而来？应变协调方程（一般情况)应力解法应力解法 以应力表示的应变以应力表示的应变协调方程（一般情况）协调方程（一般情况）静力边界条件应力边界条件（一般情况）应力边界条件（一般情况） 二、平面应变问题二、平面应变问题考察图示水坝或受内压的圆筒，它们是母线与Oz轴平行且很长的柱体，所受体力和面力垂直于Oz轴，而且沿该轴方向均匀分布。对于这类物体，不妨认认为为沿沿z方方向向是是无无限限长长的的。因而，柱柱体体的的任任意意一一个个垂垂直直于于z轴轴的的横横截截面面都都可可以以看看成成对对称称截截面面，在对称截面上的每一点只能在其自身平面（与xOy平面平行）内移动，而沿z方方向向的的位位移移w为为零零，因而在整个柱体内有w=0，由此在任意横截面内，沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均与z无关，位移分量就简化为平面应变问题几何方程平面应变问题几何方程 平面应变问题的应力分量平面应变问题的应力分量 yz=xz=0 z在平面应变问题中不为零。z的存在说明了沿z方向无限长的柱体的假设限制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于z轴的外力作用时，这些横载面之间必然会产生挤压力z，由于z为应力分量x与y的一种组合，因而它不是独立的未知量，在求得x和y后，可由上式单独求解，而基本方程中不包含z。将上式代入物理方程并令不难证明从而可得平面应变问题的物理方程。平面应变问题的物理方程 or平面应变问题的基本方程中，平衡微分方程及几何方程与平面应力问题相同，两类平面问题的物理方程的区别，就在于弹性常数E1，v1与E，v的不同。平面应变问题的应变协调方程平面应变问题的应变协调方程经简化得：两类平面问题基本方程的比较平面应变问题的基本方程中，平衡微分方程及几何方程与平面应力方程相同，两类平面问题的物理方程的区别在于 E1 、v1与E、v不同。 应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方应变协调方程程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十应变协调方程在应力解法中是十分重要的分重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程。 3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法对于常体力的情况 此式表明：只要体力为常量，两类平面问题的应力协调方程是无区别的，通常称此式为莱维（Lvy）方程。(a)(c)基本方程齐次方程解与任意特解之和首先求齐次方程通解引入两函数A（x，y）与B（x，y），并假定因为所以为了使此式成立，再引入一个关于x，y的任意函数方程（a）的任意一组特解，如(a)便求得方程（a）的通解 由式（3-10）可知，不论是什么函数，只要四阶连续可导，由此求得的应力分量总是满足平衡微分方程（a）的。(3-10)将式（3-10）前两式代入方程（c），则得到(3-10)(c)(3-11)方程（3-11）称为双调和方程双调和方程， 函数（x，y）为双调和函数，又称艾雷（艾雷（Airy）应力函数应力函数。(3-12)静力边界条件可表示为双调和方程的边值问题双调和方程的边值问题小结 平衡方程、应变协调方程以及边界条件中均不含材料常数。这就是说，不同材料的物体，只要它们的几何条件、荷载条件相同，则不论其为平面应力问题或平面应变问题，它们在平面内的应力分布规律应力分布规律是相同的。这一结论为模型试验（例如光弹性试验等）提供了理论基础。应当注意，以上两种情况的应力z、应变和位移是不相同的。 3-2 平面问题的应力函数解法平面问题的应力函数解法(a)常体力基本方程齐次方程通解与任意特解之和齐次方程解特解3-3 代数多项式解答代数多项式解答逆解法(假定不计体力，分别以幂次不同的多项式作为应力函数) 1取一次多项式为应力函数，即令 = a0 + a1x + b1y显然，该函数满足双调和方程式（3-11），并对应于无应力状态 由此可见，在应力函数中，一次多项式可以删去，因为它不影响应力分量的值。 逆解法 逆解法即先按某种方法给出一组满足全部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。 2.取二次多项式为应力函数=a2x2+b2xy+c2y2满足对应的应力分量为常应力状态 3.取三次多项式为应力函数= a3x3 + b3x2y + c3xy2+d3y3 验证！如已知上述梁两端受到弯矩M的作用，但不知具体分布的形式，则根据局部性原理 圣维南原理圣维南原理 在在求求解解弹弹性性力力学学问问题题时时，应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量等等必必须须满满足足区区域域内内的的三三套套基基本本方方程程和和边边界界上上的的边边界界条条件件，因因此此，弹弹性性力力学学问问题题属属于于数数学学物物理理方方程程中中的的边边值值问问题题。实实际际中中要要使使边边界界条条件件得得到到完完全全满满足足，往往往往遇遇到到很很大大的的困困难难。这这时时，圣圣维维南南原原理理可可为为简简化化局局部部边边界界（放放松松边边界界条条件件）上上的的应应力力边边界界条件提供方便。条件提供方便。表表述述1 1：若若在在物物体体任任一一小小部部分分上上作作用用一一个个平平衡衡力力系系，则则该该平平衡衡力力系系在在物物体体内内所所产产生生的的应应力力分分布布仅仅局局限限于于该该力力系系作作用用的的附附近近区区域域，在在离离该该区区域域的的相相当当远远处处，这这种种影影响响便便急急剧剧地地减减小小。这这就就是是圣圣维维南南原原理理，或或称称为局部性原理。为局部性原理。 圣维南原理表述2：若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来代替，则在力系作用区域附近的应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。4.取四次多项式为应力函数该函数代入双调和方程后得到3a4+c4+3e4=0现在仅以其中的一项为例，即取（3-16）3-4 若干典型实例若干典型实例 在工程实际中，常常是针对给定的问题针对给定的问题进行求解的，这就要运用半逆解法半逆解法。（一）悬臂梁端部受切向集中力（一）悬臂梁端部受切向集中力( (凑取多项式凑取多项式) ) （二）悬臂梁受均匀分布荷载作用（二）悬臂梁受均匀分布荷载作用( (分析物体受力特点) ) （三）简支梁受均布荷载（三）简支梁受均布荷载(将材料力学的一些结果加以修正)（四）三角形水坝（四）三角形水坝( (量纲分析法) ) 半逆解法所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件。另外，半逆解法也可以理解为针对给定的问题，假设全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。 （一）悬臂梁端部受切向集中力（一）悬臂梁端部受切向集中力设有图示悬臂梁，长为L，高为h，宽度取一个单位，在自由端受到向下的切向分布力作用，合力大小为P，不计体力。求它的应力和位移。 这是一个平面应力问题. 运用凑取凑取幂次不同的多项式多项式作为应力函数。从上一节可知，对式（3-16）所示的应力函数，梁边界上相应的面力与本题的情况大致相同，唯一的区别是比本题悬臂梁上、下表面多了均布切应力，为了消除这部分切应力，不妨在式（3-16）的基础上，加上一个与纯剪相应的应力函数b2xy.1.1.设应力函数设应力函数2.验证是否满足双调和方程验证是否满足双调和方程 3.应力分量应力分量4.4.边界条件边界条件而在自由端x=0处，可以利用圣维南原理，放松边界条件，由于 在x=0正好为零，因而只须写出满足全部方程和边界条件，即为问题的解，显然，它与材料力学结果是一致的。5.5.求位移分量求位移分量其中，a，b，c，d由约束条件以及式（j）关系式确定，而悬臂梁固定端的约束条件并不是唯一的，假设：(j)梁的轴线的挠度方程由y=0得（二）悬臂梁受均匀分布荷载作用（二）悬臂梁受均匀分布荷载作用图示悬臂梁的上表面受到均匀分布的荷载的作用，不计自重。这个问题可通过分析物体受力特点来求出应力函数。受横力弯曲梁内的应力分量主要分别由弯矩、挤压力及剪力引起。题设挤压力q沿x方向均匀分布，因而，不妨假定挤压应力分量与坐标x无关，即代入为了满足双调和方程对于梁内x的一切值都必须成立的要求，只能令已经删去了不影响应力值的一次项与常数项。边界条件xy与材料力学结果相同，而x比材料力学结果增加了一个修正项，y在材料力学中是忽略不计的，当梁比较细长时，这些差异是可以忽略的。（三）简支梁受均布荷载（三）简支梁受均布荷载图示所求的简支梁受均匀分布荷载作用为例，不计自重。将材料力学的一些结果加以修正，以满足全部的方程与全部边界条件，这也是一条求解的途径。这个问题按照材料力学的解为 式（a）中y=0的结果显然不满足边界条件:也不会满足弹性力学全部基本方程，只能放弃。而将剩下的两个应力分量写成普遍的形式来凑取应力函数，设(a)边界条件式（1）的第一、第三式已满足(l)式（3-20）与材料力学结果相比较，只有 是相同的，而 在材料力学的解中为零， 的第一项为主要项，第二项为修正项，在细长的梁中，修正项占的比例不大，但当梁的长高之比缩小时，修正将变得明显。（3-20）（四）三角形水坝（四）三角形水坝如图所示，水坝截面被看成沿下端伸向无穷，其形状由一个无量纲的角来确定。平面应变问题用量纲分析法来求应力函数。假设水坝受到水的压力和自重的作用，水和坝的密度分别为和1，在线弹性力学范围内，应力分量必然与g和1g成正比，它们的量纲为力长度-3。假定本问题有多项式解，其函数形式必为式（a）所示的应力分量的量纲一定是力长度-2，从而可以判断N1，N2必定是x，y的一次幂函数式。可以确定应力函数必为x，y的三次多项式，即取（a）* *3-5 Airy3-5 Airy应力函数的物理意力函数的物理意义存存在在问问题题：在在解解题题的的过过程程中中找找应应力力函函数数的的盲盲目性较大目性较大一一、艾艾里里应应力力函函数数及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在平平面面物物体内任意一点上的物理意义体内任意一点上的物理意义二二、采采用用边边界界 及及其其导导数数的的力力学学意意义义来来选选择择应力函数应力函数 一、艾里应力函数的物理意义一、艾里应力函数的物理意义不计体力应力函数的物理意义应力函数的物理意义例1单位厚度的薄板受力如图所示，现分别求A及D为起始点时的边界上的 及其导数，以及域内的应力函数及应力，并进行比较。 二、采用边界二、采用边界 及其导数的力学及其导数的力学意义来选择应力函数意义来选择应力函数以A为起始点，令AB边：B点：BC边：C点 由以上分析可知，由于起始点的不同，应力函数值亦不一样，但仅相差的线性项，所以其所求应力结果相同。 解题步骤1.根据边界上 及其导数来选择应力函数。2.代入双调和方程。3.根据边界条件定积分常数。4.由求得的应力函数求应力分量。5.由应力分量求应变分量。6.由应变分量求位移分量。 3-6平面问题的极坐标方程 对于曲梁、圆筒及扇形构件，如果用直角坐标求解，必然带来求解的难度。如用极坐标r，代替直角坐标x，y，可以使得求解带来不少方便。下面要一一建立极坐标表示的基本方程。（一）平衡微分方程 厚度为一个单位。r，坐标的正方向按图示箭头方向规定（r由坐标原点O向外为正，由x轴正向沿第一象限向y轴正向旋转为正）（二）几何方程 （3-23）第一式易得。（3-23）一般是有两种原因引起的：1.ur0，u=0线段AB的伸长率2.ur=0，u0环向正应变环向正应变表示环向微段AB向r方向转过的角度切应变切应变 表示径向微段AC向方向转过的角度参考吴参考吴3-13-1节节 P34P34式式( (d)d)从x轴正向向y轴正向转动几何意义？（三）物理方程对平面应变问题，只须将式（3-24）中的E、分别改成 和 。（3-24）（四）莱维（Lvy）方程 采取数学上的处理 （五）应力函数与双调和方程（五）应力函数与双调和方程 可以验证（3-26）式表示应力满足平衡微分方程 （3-26）3-7 平面轴对称应力问题平面轴对称应力问题一、轴对称应力和相应的位移一、轴对称应力和相应的位移 二、厚壁圆筒内外壁受均布压力二、厚壁圆筒内外壁受均布压力 三、曲梁的纯弯曲三、曲梁的纯弯曲 一、轴对称应力和相应的位移一、轴对称应力和相应的位移在工程上经常会出现构件受到的外力关于坐标原点对称问题，因而可以假设应力函数 和 无关，即 展开式（a）并在等式两边乘 以 r4， 便 得 到 欧 拉（Euler）方程：（a）设or通解轴对称应力轴对称应力（应力分量（应力分量均与均与无关无关 ）与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的。位移分量：I，K，H与刚体位移有关。式（3-29）证实了应力轴对称并不表示位移也一定是轴对称的，而只有当物体的几何形状只有当物体的几何形状和受力情况均是轴对称的，位移才是轴对称和受力情况均是轴对称的，位移才是轴对称的的，而在此时环向位移u不管r，为何值都得为零，由式（3-29）的第二式得到B=H=I=K=0在这种状况下，应力分量则为（3-29）而位移分量为以上公式适合于平面应力问题，对于平面应变问题，只须让E1,1代替上述公式中的E， 即可。（3-30）（3-31）二、厚壁圆筒内外壁受均布压力二、厚壁圆筒内外壁受均布压力考察内径为2a、外径为2b的很长圆筒，在圆筒内外壁分别受到均匀分布压力q1和q2的作用。几何形状与受力都关于坐标原点O对称。平面应变问题。边界条件（3-30）q2=0，圆筒只受内壁压力时三、曲梁的纯弯曲三、曲梁的纯弯曲 图示曲梁，内半径为a，外半径为b，两端受弯矩M的作用。由于梁的每一个径向截面受到的弯矩都是M，显然属于应力轴对称问题应力轴对称问题，但曲梁的几何形状不对称于O点，位移分量是非轴对称的。边界条件求位移分量角从曲梁的某一端量起 3-8 圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中设设有有一一个个在在x方方向向承承受受均均匀匀拉拉伸伸（拉拉应应力力为为）的的平平板板，板板中中有有半半径径为为a的的小小圆圆孔孔如如图图所所示示。现现在在来来分分析析小小圆圆孔孔对对附附近近应应力力分分布布的的影影响。响。以极坐标来求解以极坐标来求解。 假假设设在在距距圆圆孔孔中中心心距距离离为为b b（ba）的的圆圆周周上上，小圆孔的影响可以忽略。于是有小圆孔的影响可以忽略。于是有 即即（a）式（a）表明：圆周b上的应力可以分两个部分来计算，最后进行叠加。（a）（1）圆周上受径向正应力，而孔壁径向应力为零，即（2）外圆周上受到随变化的法向力和切向力的作用设边界条件叠加得孔边K称为应力集中系数。可以证明，板条双向均匀受拉时，K=2。3-9 楔形体问题楔形体问题量纲分析法量纲分析法一、楔形体顶部受集中力一、楔形体顶部受集中力P P的作用的作用二、楔形体顶部受力偶二、楔形体顶部受力偶M M的作用的作用 平面问题平面问题 一、楔形体顶部受集中力一、楔形体顶部受集中力P P的作用的作用P作为沿z方向单位厚度上的力，其量纲应为力力长度长度-1。应应力力分分量量应与P成正比，并和无量纲量，以及r有关。应力函数删去前两项边界条件上述边界条件自动满足。为了求出待定系数D，C，用r是任意值的圆柱面割取的楔体上部分（如图），考虑其在x和y方向上的平衡，可以得到下列两个等式： 当=0时，r关于x轴对称r反对称于x轴二、楔形体顶部受力偶二、楔形体顶部受力偶M M的作用的作用楔形体顶部沿z轴单位长度上受力偶M作用，其量纲为力，采用量纲分析法。应力函数应力函数 由于该问题是反对称于x轴的，因而可以推知应力函数必为奇函数，可以令A=D=0取楔体在圆柱面上部分为研究对象3-10 半平面问题半平面问题对于上一节中关于楔体顶端受集中力对于上一节中关于楔体顶端受集中力P作用的作用的例子，如令例子，如令则成为半平面体表面受铅直集中力则成为半平面体表面受铅直集中力P作用的问作用的问题，又称为布希涅斯克题，又称为布希涅斯克-弗拉芒（弗拉芒（Boussinesq-Flamant）问题。问题。 假设经过P力作用点（即O点）作直径d为任意大的圆，则除除O点以外的圆周上各点的径点以外的圆周上各点的径向应力分量向应力分量r的大小都一样。的大小都一样。沉陷问题 求位移 I为沿x方向的刚体位移，在本问题中不能确定。除r=0以外的任意r处，M点的向下的铅垂位移为 由于I的不确定，因而只能求出相对沉陷，为此取一个距O点相当远距离s的基点B，然后，求出M与B点之间的相对沉陷简化得相对沉陷公式讨论1.平面应变问题？2.半平面上受到几个集中力作用，或分布力作用？（二）几何方程（1）设ur0，u=0（2）设ur=0，u0（1）设ur0，u=0（2）设ur=0，u0请大家批评指正！请大家批评指正！谢谢谢谢 ！