引引引引 言言言言力系力系力系力系平面内作用在物体上力的总称（力的集合）平面内作用在物体上力的总称（力的集合）平面内作用在物体上力的总称（力的集合）平面内作用在物体上力的总称（力的集合）根据力的作用线是否共面可分为：根据力的作用线是否共面可分为：根据力的作用线是否共面可分为：根据力的作用线是否共面可分为：平面力系平面力系平面力系平面力系空间力系空间力系空间力系空间力系根据力的作用线是否汇交可分为：根据力的作用线是否汇交可分为：根据力的作用线是否汇交可分为：根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系汇交力系汇交力系汇交力系平行力系平行力系平行力系平行力系任意力系任意力系任意力系任意力系平衡力系平衡力系平衡力系平衡力系作用在物体上使物体保持平衡的力系作用在物体上使物体保持平衡的力系作用在物体上使物体保持平衡的力系作用在物体上使物体保持平衡的力系研究问题研究问题研究问题研究问题 合成合成合成合成平衡平衡平衡平衡研究方法研究方法研究方法研究方法 解析法解析法解析法解析法几何法几何法几何法几何法第二章第二章第二章第二章 平面力系平面力系平面力系平面力系 2-1 2-1 平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2-4 2-4 平面任意力系平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡条件和平衡方程 2-2 2-2 平面力对点之矩平面力对点之矩平面力对点之矩平面力对点之矩 平面力偶平面力偶平面力偶平面力偶2-3 2-3 平面任意力系简化平面任意力系简化平面任意力系简化平面任意力系简化 2-5 2-5 物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题静定和超静定问题静定和超静定问题 2-6 2-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算2-1 2-1 平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系一一一一一一. . . . . .合成的几何法合成的几何法合成的几何法合成的几何法合成的几何法合成的几何法AF2F4F3F1FRF2F3F4FRFR1FR2F4F3F1FRF1AF2A 任意个共点力的合成任意个共点力的合成任意个共点力的合成任意个共点力的合成力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。两个共点力的合成两个共点力的合成两个共点力的合成两个共点力的合成力的平行四边形法则（三角形法则）力的平行四边形法则（三角形法则）力的平行四边形法则（三角形法则）力的平行四边形法则（三角形法则）结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。F FR R= = F F1 1 + + F F2 2 + + + F Fn n = = F Fi i 合力矢合力矢合力矢合力矢F FR R与各分力矢的作图顺序无关；与各分力矢的作图顺序无关；与各分力矢的作图顺序无关；与各分力矢的作图顺序无关； 各分力矢必须首尾相接；各分力矢必须首尾相接；各分力矢必须首尾相接；各分力矢必须首尾相接； 合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。几点讨论：几点讨论：几点讨论：几点讨论：F2F3F4FRF1A 二二二二二二. . . . . .平衡的几何条件平衡的几何条件平衡的几何条件平衡的几何条件平衡的几何条件平衡的几何条件结论：结论：结论：结论：平面汇交力系平衡的必要平面汇交力系平衡的必要平面汇交力系平衡的必要平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，该力系的和充分条件是，该力系的和充分条件是，该力系的和充分条件是，该力系的力多边力多边力多边力多边形自行封闭。形自行封闭。形自行封闭。形自行封闭。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4 3. 3. 3. 3. 3. 3.解题步骤解题步骤解题步骤解题步骤解题步骤解题步骤（1 1）选研究对象；（）选研究对象；（）选研究对象；（）选研究对象；（2 2）画受力图；（）画受力图；（）画受力图；（）画受力图；（3 3）选比例尺作力多边形。）选比例尺作力多边形。）选比例尺作力多边形。）选比例尺作力多边形。先画主动力，再画约束反力先画主动力，再画约束反力先画主动力，再画约束反力先画主动力，再画约束反力2a2a Pa aABCD例题例题例题例题1 1 1 1 已知：已知：已知：已知：P P，a a ，求：求：求：求：A A、B B处约束反力。处约束反力。处约束反力。处约束反力。 解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象（2 2 2 2）画受力图）画受力图）画受力图）画受力图（3 3 3 3）按比例作图求解）按比例作图求解）按比例作图求解）按比例作图求解 FB FA P FBFA由图中的几何关系得由图中的几何关系得由图中的几何关系得由图中的几何关系得例题例题例题例题2 2 2 2 运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A A端和端和端和端和B B端，设钢索端，设钢索端，设钢索端，设钢索ACBACB长为长为长为长为2l2l，最大柔度为，最大柔度为，最大柔度为，最大柔度为h h，如略去钢索的重量及滑轮，如略去钢索的重量及滑轮，如略去钢索的重量及滑轮，如略去钢索的重量及滑轮C C沿钢索的摩擦。试求当重为沿钢索的摩擦。试求当重为沿钢索的摩擦。试求当重为沿钢索的摩擦。试求当重为P P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。P Ph hl l A AC CB B解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）取滑车为研究对象）取滑车为研究对象）取滑车为研究对象）取滑车为研究对象（2 2 2 2）画受力图）画受力图）画受力图）画受力图（3 3 3 3）作力三角形）作力三角形）作力三角形）作力三角形P PC CF F1 1F F2 2 F F1 1F F2 2P P MMN NKK由此式可知，柔度由此式可知，柔度由此式可知，柔度由此式可知，柔度h h h h越大，绳的张力越小；越大，绳的张力越小；越大，绳的张力越小；越大，绳的张力越小；如果要求绳张力不超过一定值，则如果要求绳张力不超过一定值，则如果要求绳张力不超过一定值，则如果要求绳张力不超过一定值，则应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？应满足什么条件？三三三三三三. . . . . .平面汇交力系合成解析法平面汇交力系合成解析法平面汇交力系合成解析法平面汇交力系合成解析法平面汇交力系合成解析法平面汇交力系合成解析法1.1.1.1.1.1.力的投影与分解力的投影与分解力的投影与分解力的投影与分解力的投影与分解力的投影与分解xABFF Fx xF Fy yOijF Fx xF Fy yy力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。F F2 2F F1 1F F4 4F F3 3F FR R2.2.2.2.2.2.合力投影定理（合矢量投影定理）合力投影定理（合矢量投影定理）合力投影定理（合矢量投影定理）合力投影定理（合矢量投影定理）合力投影定理（合矢量投影定理）合力投影定理（合矢量投影定理）x xy ya a1 1b b1 1c c1 1e e1 1d d1 1a a2 2b b2 2c c2 2e e2 2d d2 2合力合力合力合力F FR R与各分力矢在与各分力矢在与各分力矢在与各分力矢在x x轴和轴和轴和轴和y y轴上投影轴上投影轴上投影轴上投影的关系为的关系为的关系为的关系为a a1 1e e1 1= a= a1 1b b1 1+b+b1 1c c1 1+c+c1 1d d1 1+d+d1 1e e1 1a a2 2e e2 2= a= a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2d d2 2-d-d2 2e e2 2故故故故F FRxRx= F= Fx1x1 + F+ Fx2x2 + F+ Fx3x3 + F+ Fx4x4F FRyRy= F= Fy1y1 + F+ Fy2y2 + F+ Fy3y3 + F+ Fy4y4推广到推广到推广到推广到n n个力个力个力个力F FRxRx= F= Fx1x1 + F+ Fx2x2 + F+ Fx3x3 + +F+ +Fxnxn=F=FxixiF FRyRy= F= Fy1y1 + F+ Fy2y2 + F+ Fy3 y3 +F+Fynyn=F=Fyiyi合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。3.3.3.3.3.3.合成的解析法（投影法）合成的解析法（投影法）合成的解析法（投影法）合成的解析法（投影法）合成的解析法（投影法）合成的解析法（投影法）F FR R= = F F1 1 + + F F2 2 + + + + F Fn n =F Fi iAF2F4F3F1FRxy根据合力投影定理：根据合力投影定理：根据合力投影定理：根据合力投影定理：4.4.4.4.4.4.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个各力在两个各力在两个各力在两个任选任选任选任选的坐的坐的坐的坐标轴上投影的代数和等于零。标轴上投影的代数和等于零。标轴上投影的代数和等于零。标轴上投影的代数和等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平衡的必要和充分条件是：该力系的合力F FR R等于零。等于零。等于零。等于零。 两个独立方程两个独立方程两个独立方程两个独立方程可求解两个未知量可求解两个未知量可求解两个未知量可求解两个未知量只要不平行即可只要不平行即可只要不平行即可只要不平行即可 （3 3）合理选取坐标系，列平衡方程求解；）合理选取坐标系，列平衡方程求解；）合理选取坐标系，列平衡方程求解；）合理选取坐标系，列平衡方程求解；（4 4）对结果进行必要的分析和讨论。）对结果进行必要的分析和讨论。）对结果进行必要的分析和讨论。）对结果进行必要的分析和讨论。（1 1）选取研究对象；）选取研究对象；）选取研究对象；）选取研究对象；（2 2）画出研究对象的受力图；）画出研究对象的受力图；）画出研究对象的受力图；）画出研究对象的受力图；解析法解题步骤：解析法解题步骤：解析法解题步骤：解析法解题步骤：几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：（1 1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数；未知数；未知数；未知数； （2 2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。明物体受压力。明物体受压力。明物体受压力。例题例题例题例题3 3 已知：已知：已知：已知：P P，a a ，求：，求：，求：，求：A A、B B处约束反力。处约束反力。处约束反力。处约束反力。 2a2a Pa aABCD解：解：解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象（2 2）画受力图）画受力图）画受力图）画受力图 FBxy解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得（3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解 FABMFACF FBCBCF FBABAFBCF FCBCBF FMMF FNCNC解：（解：（解：（解：（1 1）取销钉）取销钉）取销钉）取销钉B B为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象（2 2）取挡板）取挡板）取挡板）取挡板C C为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得解得解得解得解得例题例题例题例题4 4 已知：已知：已知：已知：F F，a a ，求：，求：，求：，求：物块物块物块物块M M M M的压力的压力的压力的压力。2-2 平面力对点之矩平面力对点之矩 平面力偶平面力偶一一一一. . . .力对点之矩力对点之矩力对点之矩力对点之矩A AF FB Bh hh h 力臂力臂力臂力臂 O O 矩心矩心矩心矩心几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：（1 1）MMO O( (F F) )是影响转动的独立因素；是影响转动的独立因素；是影响转动的独立因素；是影响转动的独立因素；（2 2）MMO O( (F F) )是代数量，使物体逆时针是代数量，使物体逆时针是代数量，使物体逆时针是代数量，使物体逆时针转时为正；反之为负；转时为正；反之为负；转时为正；反之为负；转时为正；反之为负；（3 3）互成平衡的两个力对同一点之矩）互成平衡的两个力对同一点之矩）互成平衡的两个力对同一点之矩）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为的代数和为的代数和为的代数和为0 0；（Nm） （4 4）力）力）力）力F F对任一点之矩，不因该力的作对任一点之矩，不因该力的作对任一点之矩，不因该力的作对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。用点沿其作用线移动而改变。用点沿其作用线移动而改变。用点沿其作用线移动而改变。二二二二. . . .合力之矩定理合力之矩定理合力之矩定理合力之矩定理 平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。该点之矩的代数和。该点之矩的代数和。该点之矩的代数和。力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式AFxOyF Fx xFyyx适用于有合力的力系适用于有合力的力系适用于有合力的力系适用于有合力的力系x x，y y为力作用点的坐标为力作用点的坐标为力作用点的坐标为力作用点的坐标F Fx x，F Fy y为力的投影为力的投影为力的投影为力的投影FnOrFrF 例题例题例题例题5 5 已知：已知：已知：已知：F Fn n， ，r r 求：力求：力求：力求：力 F Fn n 对轮心对轮心对轮心对轮心OO的力矩。的力矩。的力矩。的力矩。h解：（解：（解：（解：（1 1）直接计算）直接计算）直接计算）直接计算（2 2）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算三、力偶与力偶矩三、力偶与力偶矩三、力偶与力偶矩三、力偶与力偶矩（1 1）力偶）力偶）力偶）力偶（1 1）力偶）力偶）力偶）力偶力偶力偶力偶力偶两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。共线的平行力组成的力系。共线的平行力组成的力系。共线的平行力组成的力系。力偶臂力偶臂力偶臂力偶臂力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面力偶的作用面力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶所在的平面。A AB Bd d（2 2 2 2）力偶矩）力偶矩）力偶矩）力偶矩A AB BOOd dx x度量力偶对物体的转动效应度量力偶对物体的转动效应度量力偶对物体的转动效应度量力偶对物体的转动效应力偶矩与力矩具有相同的性质。力偶矩与力矩具有相同的性质。力偶矩与力矩具有相同的性质。力偶矩与力矩具有相同的性质。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。性质性质性质性质2 2 2 2：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来平衡。力和力偶是两个基本的力学量。平衡。力和力偶是两个基本的力学量。平衡。力和力偶是两个基本的力学量。平衡。力和力偶是两个基本的力学量。性质性质性质性质3 3 3 3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，心的位置无关，心的位置无关，心的位置无关，力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。（3 3 3 3）平面力偶的性质）平面力偶的性质）平面力偶的性质）平面力偶的性质性质性质性质性质1 1 1 1：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体不产生移动效应；不产生移动效应；不产生移动效应；不产生移动效应；F0四、平面力偶的等效定理四、平面力偶的等效定理四、平面力偶的等效定理四、平面力偶的等效定理F0ABdFDCF1F2 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。等，则两力偶彼此等效。等，则两力偶彼此等效。等，则两力偶彼此等效。推论推论推论推论1 1 1 1：力偶对刚体的作用与力偶在其作：力偶对刚体的作用与力偶在其作：力偶对刚体的作用与力偶在其作：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；用面内的位置无关；用面内的位置无关；用面内的位置无关；推论推论推论推论2 2 2 2：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小转向不变，可以同时改变力偶中力的大小转向不变，可以同时改变力偶中力的大小转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。作用。作用。作用。MMM力偶表示方法力偶表示方法力偶表示方法力偶表示方法FF FF FF 只要保持力偶矩不变，力偶可只要保持力偶矩不变，力偶可只要保持力偶矩不变，力偶可只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚在作用面内任意移动，其对刚在作用面内任意移动，其对刚在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。体的作用效果不变。体的作用效果不变。体的作用效果不变。FF F / 2F/ 2保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。补充补充补充补充: : : :力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作用效果不变。用效果不变。用效果不变。用效果不变。自由矢量自由矢量五、平面力偶系的合成和平衡条件五、平面力偶系的合成和平衡条件五、平面力偶系的合成和平衡条件五、平面力偶系的合成和平衡条件A AB Bd dF4F3F1d d1 1F2d d2 2A AB BFd d平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：任意个力偶的情况任意个力偶的情况任意个力偶的情况任意个力偶的情况结论：结论：结论：结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, , , ,其其其其力偶矩为各力偶矩的代数和。力偶矩为各力偶矩的代数和。力偶矩为各力偶矩的代数和。力偶矩为各力偶矩的代数和。？MMaaABCa解：解：解：解：（1 1）取取取取ABAB为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象（2 2）取）取）取）取BCBC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象BCABMMFBFCFA 若将此力偶移至若将此力偶移至若将此力偶移至若将此力偶移至BCBC构件上，再求构件上，再求构件上，再求构件上，再求A A、C C处约束反力。在处约束反力。在处约束反力。在处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。矩是否还等于力偶矩。矩是否还等于力偶矩。矩是否还等于力偶矩。例题例题例题例题6 6 已知：已知：已知：已知：a, Ma, M，求：，求：，求：，求：A A、 C C 处约束反力。处约束反力。处约束反力。处约束反力。M1M2CABDM2CDM1AB FB FA FC FD解解解解: : (1) (1) 取取取取ABAB为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象(2) (2) 取取取取CDCD为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得解得解得解得解得因为因为因为因为 F FB B = F = FC C例题例题例题例题7 7 已知：已知：已知：已知： AB=CD=a, AB=CD=a, BCD=30BCD=30，求：平衡时，求：平衡时，求：平衡时，求：平衡时MM1 1、MM2 2之间的之间的之间的之间的关系。关系。关系。关系。例题例题例题例题8 8 求：求：求：求：A A、B B、C C、D D、E E处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。解解解解: : (1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象(2) (2) 取取取取BCDBCD为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象确定确定确定确定 D D 处约束反力的方向处约束反力的方向处约束反力的方向处约束反力的方向EDCBAMMa aa aa aa a F FA A FBDBC F FB BMDE FE FDCAE FC F FA A(3) (3) 取取取取DEDE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象(4) (4) 取取取取ACEACE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象EDCBAMMa aa aa aa a注意！注意！（1 1 1 1）明确研究对象）明确研究对象）明确研究对象）明确研究对象（2 2 2 2）正确作出受力图）正确作出受力图）正确作出受力图）正确作出受力图（3 3 3 3）列方程求解）列方程求解）列方程求解）列方程求解文字不宜过多，但也不能过少。文字不宜过多，但也不能过少。文字不宜过多，但也不能过少。文字不宜过多，但也不能过少。力不允许多画，但也不能少画。力不允许多画，但也不能少画。力不允许多画，但也不能少画。力不允许多画，但也不能少画。A AD DC CB BRoABC问刚体在四个力的作用问刚体在四个力的作用问刚体在四个力的作用问刚体在四个力的作用下是否平衡，若改变下是否平衡，若改变下是否平衡，若改变下是否平衡，若改变F F1 1和和和和F F1 1 的方向，则结果的方向，则结果的方向，则结果的方向，则结果又如何？又如何？又如何？又如何？当当当当 M=PR M=PR 时，系统处时，系统处时，系统处时，系统处于平衡，因此力偶也于平衡，因此力偶也于平衡，因此力偶也于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，可以与一个力平衡，可以与一个力平衡，可以与一个力平衡，这种说法对吗？这种说法对吗？这种说法对吗？这种说法对吗？图示系统平衡否，图示系统平衡否，图示系统平衡否，图示系统平衡否，若平衡，若平衡，若平衡，若平衡，A A、B B处约处约处约处约束反力的方向应如束反力的方向应如束反力的方向应如束反力的方向应如何确定？何确定？何确定？何确定？思考题？思考题？平面任意力系：各力的作用线在同一平面任意力系：各力的作用线在同一平面任意力系：各力的作用线在同一平面任意力系：各力的作用线在同一平面内平面内平面内平面内, ,既不汇交为一点又不相互平行既不汇交为一点又不相互平行既不汇交为一点又不相互平行既不汇交为一点又不相互平行的力系。的力系。的力系。的力系。研究方法：研究方法：研究方法：研究方法：未知力系未知力系未知力系未知力系已知力系已知力系已知力系已知力系力系向一点简化力系向一点简化力系向一点简化力系向一点简化（平面任意力系）（平面任意力系）（平面任意力系）（平面任意力系）（平面汇交力系和平面力偶系）（平面汇交力系和平面力偶系）（平面汇交力系和平面力偶系）（平面汇交力系和平面力偶系）2-3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化一、力线平移定理一、力线平移定理一、力线平移定理一、力线平移定理AF FBdF F F F AF F BM=FM=F. . d=Md=MB B( (F F) )定理定理定理定理：可以把作用于刚体上点：可以把作用于刚体上点：可以把作用于刚体上点：可以把作用于刚体上点A A的力的力的力的力F F平行移到任一点平行移到任一点平行移到任一点平行移到任一点B B，但必，但必，但必，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F F对新作对新作对新作对新作用点用点用点用点B B的矩。的矩。的矩。的矩。MMAF FBdMFF为什么钉子为什么钉子为什么钉子为什么钉子有时会折弯？有时会折弯？有时会折弯？有时会折弯？F(a)(a)F(b)(b)两圆盘运动形式两圆盘运动形式两圆盘运动形式两圆盘运动形式是否一样？是否一样？是否一样？是否一样？ F FMM力线平移的讨论：力线平移的讨论：力线平移的讨论：力线平移的讨论：单单单单手手手手攻攻攻攻丝丝丝丝F3F1F2OO二、平面任意力系向作用面内一点的简化二、平面任意力系向作用面内一点的简化二、平面任意力系向作用面内一点的简化二、平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢主矢主矢主矢和和和和主矩主矩主矩主矩OOOOFR R MMOOF1MM1 1F F1 1 = =F F1 1 M M1 1=M=MO O( (F F1 1) ) F2MM2 2F3MM3 3F F2 2 = =F F2 2 M M2 2=M=MO O( (F F2 2) ) F F3 3 = =F F3 3 MM3 3=M=MO O( (F F3 3) ) 简化中心简化中心简化中心简化中心OOF FR R= =F F1 1+ +F F2 2+ +F F3 3= = F F1 1+ +F F2 2+ +F F3 3 MMO O=M=M1 1+M+M2 2+M+M3 3=M=MO O( (F F1 1)+ M)+ MO O( (F F2 2) + M) + MO O( (F F3 3) ) 平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面力偶系OOx xy yMMOOFR结论结论结论结论：平面任意力系向作用面内任一点：平面任意力系向作用面内任一点：平面任意力系向作用面内任一点：平面任意力系向作用面内任一点OO简化，可得一个力和一简化，可得一个力和一简化，可得一个力和一简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点力偶的矩等于力系对于点力偶的矩等于力系对于点力偶的矩等于力系对于点OO的主矩。的主矩。的主矩。的主矩。原力系的主矢原力系的主矢原力系的主矢原力系的主矢力系对于简化中心力系对于简化中心力系对于简化中心力系对于简化中心OO的主矩的主矩的主矩的主矩与简化中心选择无关与简化中心选择无关与简化中心有关与简化中心有关三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析（1 1 1 1）平面任意力系简化为一个力偶的情形）平面任意力系简化为一个力偶的情形）平面任意力系简化为一个力偶的情形）平面任意力系简化为一个力偶的情形 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。化中心的选择无关。化中心的选择无关。化中心的选择无关。 O FROO（2 2 2 2）平面任意力系简化为一个合力的情形）平面任意力系简化为一个合力的情形）平面任意力系简化为一个合力的情形）平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理FROOOO d dd d 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简化中心有关。化中心有关。化中心有关。化中心有关。 F FR R为原力系的合力为原力系的合力为原力系的合力为原力系的合力FROOMMo oOO FRFR原力系平衡原力系平衡原力系平衡原力系平衡定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：（1 1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2 2 2 2）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。（3 3 3 3）平面任意力系平衡的情形）平面任意力系平衡的情形）平面任意力系平衡的情形）平面任意力系平衡的情形MMO O( (F FR R) =F) =FR Rd = Md = MO O = M= MO O( (F Fi i) ) 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。等于力系中各力对同一点矩的代数和。等于力系中各力对同一点矩的代数和。等于力系中各力对同一点矩的代数和。 O FROOFROOOO d dFRFRd dFROOMMo oOO （1 1 1 1）固定端支座）固定端支座）固定端支座）固定端支座既不能移动，又不能转动的约束既不能移动，又不能转动的约束既不能移动，又不能转动的约束既不能移动，又不能转动的约束 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束固定端约束简固定端约束简固定端约束简固定端约束简图图图图固定端约束反固定端约束反固定端约束反固定端约束反力力力力固定端铰支座固定端铰支座固定端铰支座固定端铰支座反力反力反力反力固定端支座约束实例固定端支座约束实例固定端支座约束实例固定端支座约束实例集中力或集中荷载集中力或集中荷载集中力或集中荷载集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。几种分布载荷：几种分布载荷：几种分布载荷：几种分布载荷：体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。 例如构件的自重等。例如构件的自重等。例如构件的自重等。例如构件的自重等。 面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。例如风压力、水压力等。例如风压力、水压力等。例如风压力、水压力等。线分布载荷线分布载荷线分布载荷线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。（2 2 2 2）分布载荷的合力及作用位置）分布载荷的合力及作用位置）分布载荷的合力及作用位置）分布载荷的合力及作用位置P Pd dP PdP=q(x)dxdP=q(x)dxq(xq(x) )合力大小：合力大小：合力大小：合力大小：由合力矩定理：由合力矩定理：由合力矩定理：由合力矩定理：合力作用线位置：合力作用线位置：合力作用线位置：合力作用线位置：h hA AB Bl lx xx xdxdxq(x)q(x)载荷集度载荷集度载荷集度载荷集度P P 合力合力合力合力 两个特例两个特例两个特例两个特例(a)(a) 均布载荷均布载荷均布载荷均布载荷( ( ( (b b) ) ) )三角形分布载荷三角形分布载荷三角形分布载荷三角形分布载荷Ph hql lx xPh hl lq q0 0x x2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。即意一点的主矩都为零。即意一点的主矩都为零。即意一点的主矩都为零。即故平面任意力系平衡的解析条件为：故平面任意力系平衡的解析条件为：故平面任意力系平衡的解析条件为：故平面任意力系平衡的解析条件为：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。数和也等于零。数和也等于零。数和也等于零。 几点说明：几点说明：（1 1 1 1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2 2 2 2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3 3 3 3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4 4 4 4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。解析条件可简写为：解析条件可简写为：解析条件可简写为：解析条件可简写为：平面任意力系平衡方程的基本式平面任意力系平衡方程的基本式平面任意力系平衡方程的基本式平面任意力系平衡方程的基本式例题例题例题例题1 1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB AB 重重重重G =2 200 NG =2 200 N，吊车，吊车，吊车，吊车D D，E E连同吊起重物各重连同吊起重物各重连同吊起重物各重连同吊起重物各重F F1 1= F= F2 2=4 000 N=4 000 N。有关尺寸为：。有关尺寸为：。有关尺寸为：。有关尺寸为：l l = = 4.3 m4.3 m，a = 1.5 ma = 1.5 m，b = 0.9 mb = 0.9 m，c = 0.15 mc = 0.15 m，=25=25。试求铰链。试求铰链。试求铰链。试求铰链A A对臂对臂对臂对臂ABAB的的的的水平和铅直约束力，以及拉索水平和铅直约束力，以及拉索水平和铅直约束力，以及拉索水平和铅直约束力，以及拉索BF BF 的拉力。的拉力。的拉力。的拉力。a a c cb bB BF FA AC CF F1 1F F2 2l ly yx xB BA A解：解：解：解：1 1. .取伸臂取伸臂取伸臂取伸臂ABAB为研究对象。为研究对象。为研究对象。为研究对象。 F FB BGGC CF F2 2E EF F1 1D DF FAyAyF FAxAx2 2. .受力分析如图。受力分析如图。受力分析如图。受力分析如图。3. 3.选如图坐标系，列平衡方程。选如图坐标系，列平衡方程。选如图坐标系，列平衡方程。选如图坐标系，列平衡方程。F FAyAyy yx xB BA AF FB BGGF F2 2F F1 1E EC CD DF FAxAx a ab bl l4. 4.联立求解。联立求解。联立求解。联立求解。 F FB B = 12 456 N= 12 456 N， F FAx Ax = 11 290 N= 11 290 N，F FAy Ay = 4 936 N= 4 936 N例例例例题题题题2 2 外外外外伸伸伸伸梁梁梁梁的的的的尺尺尺尺寸寸寸寸及及及及载载载载荷荷荷荷如如如如图图图图所所所所示示示示，F F1 1=2kN=2kN，F F2 2=1.5kN=1.5kN，M M =1.2kNm=1.2kNm，l l1 1=1.5m=1.5m，l l2 2=2.5m=2.5m，试求铰支座，试求铰支座，试求铰支座，试求铰支座A A及支座及支座及支座及支座B B的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。 F F1 1A AB Bl l2 2l l1 1l ll lF F2 2MMF FAxAxA AB Bx xy yF FAyAyF F1 1F FB BF F2 2MM1. 1. 1. 1. 取梁为研究对象，受力分析如图。取梁为研究对象，受力分析如图。取梁为研究对象，受力分析如图。取梁为研究对象，受力分析如图。解：解：解：解：2. 2. 2. 2. 列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。列平衡方程。3. 3. 3. 3. 解方程。解方程。解方程。解方程。例例例例题题题题3 3 如如如如图图图图所所所所示示示示水水水水平平平平横横横横梁梁梁梁ABAB，A A端端端端为为为为固固固固定定定定铰铰铰铰链链链链支支支支座座座座，B B端端端端为为为为一一一一活活活活动动动动铰铰铰铰链链链链支支支支座座座座。梁梁梁梁的的的的长长长长为为为为4a4a，梁梁梁梁重重重重GG，作作作作用用用用在在在在梁梁梁梁的的的的中中中中点点点点C C。在在在在梁梁梁梁的的的的ACAC段段段段上上上上受受受受均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷q q作作作作用用用用，在梁的在梁的在梁的在梁的BCBC段上受力偶作用，力偶矩段上受力偶作用，力偶矩段上受力偶作用，力偶矩段上受力偶作用，力偶矩M =GaM =Ga。试求。试求。试求。试求A A和和和和B B处的支座约束力。处的支座约束力。处的支座约束力。处的支座约束力。 x xy yA AB BqC C2a2a4 4a aGGMMA AB BC C4 4a a2a2aqGGMMF FB BF FAyAyF FAxAx3 3. . 列写平衡方程。列写平衡方程。列写平衡方程。列写平衡方程。4 4. . 联立求解。联立求解。联立求解。联立求解。2 2. . 受力分析如图所示。受力分析如图所示。受力分析如图所示。受力分析如图所示。 1 1. . 以水平横梁以水平横梁以水平横梁以水平横梁ABAB为研究对象。为研究对象。为研究对象。为研究对象。 解：解：解：解：例题例题例题例题4 4 已知：已知：已知：已知：M=PaM=Pa，求：，求：，求：，求：A A、B B处约束反力。处约束反力。处约束反力。处约束反力。2a2a Pa aMMABCDF FAxAxF FAyAyF FB Bxy解：（解：（解：（解：（1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得（2 2）画受力图）画受力图）画受力图）画受力图（3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解 其他解法？其他解法？其他解法？其他解法？解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解法解法解法解法2 2 2 2：2a2a Pa aMMABCDF FAxAxF FAyAyF FB B解法解法解法解法3 3 3 3：解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得（A A、B B、C C 三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）（x x 轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于A A、B B 两点的连线）两点的连线）两点的连线）两点的连线）2 2 2 2、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式（1 1 1 1）基本形式）基本形式）基本形式）基本形式（2 2 2 2）二力矩式）二力矩式）二力矩式）二力矩式（3 3 3 3）三力矩式）三力矩式）三力矩式）三力矩式FRBAx解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得FDECBAaaaMMP PF FA AF FB B例题例题例题例题5 5 求：三杆对三角平板求：三杆对三角平板求：三杆对三角平板求：三杆对三角平板ABCABC的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。F FC CP PACaaaMMB解：取三角平板为研究对象，受力如图解：取三角平板为研究对象，受力如图解：取三角平板为研究对象，受力如图解：取三角平板为研究对象，受力如图3 3 3 3、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程y yx xo o（A A、B B两点的连线不得与各力平行）两点的连线不得与各力平行）两点的连线不得与各力平行）两点的连线不得与各力平行）F3F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量二个方程只能求解二个未知量（1 1 1 1）基本形式）基本形式）基本形式）基本形式（2 2 2 2）二力矩式）二力矩式）二力矩式）二力矩式解：取梁解：取梁解：取梁解：取梁ABCDABCD为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得：解得：解得：解得：D1m1m2m2m1m1mABCFFNANAFNBNBP例题例题例题例题6 6 已知：已知：已知：已知：F = 2NF = 2N，q = 1N/mq = 1N/m，求：，求：，求：，求：A A、B B支座反力。支座反力。支座反力。支座反力。其中其中其中其中解：取起重机为研究对象。解：取起重机为研究对象。解：取起重机为研究对象。解：取起重机为研究对象。 （1 1）满载时，其限制条件是：）满载时，其限制条件是：）满载时，其限制条件是：）满载时，其限制条件是：F FNANA00（2 2）空载时，其限制条件是：）空载时，其限制条件是：）空载时，其限制条件是：）空载时，其限制条件是：F FNBNB00P P2 2P P1 1A AB BP Pb be ea al lF FNBNBF FNANA因此，因此，因此，因此，P P2 2必须满足：必须满足：必须满足：必须满足：例题例题例题例题7 7 求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。解得：解得：解得：解得：解得：解得：解得：解得：2-5 物体系的平衡物体系的平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题1 1 1 1、物体系的平衡问题、物体系的平衡问题、物体系的平衡问题、物体系的平衡问题（1 1）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。（2 2 2 2）物系平衡的特点：）物系平衡的特点：）物系平衡的特点：）物系平衡的特点： 仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力；仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力；仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力；仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力； 物系平衡物系平衡物系平衡物系平衡, , , ,则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。 整体整体整体整体 局部局部局部局部 局部局部局部局部 整体整体整体整体（3 3 3 3）解物系问题的一般方法）解物系问题的一般方法）解物系问题的一般方法）解物系问题的一般方法（一题多解）一题多解）一题多解）一题多解） 局部局部局部局部 整体整体整体整体 局部局部局部局部静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFA2 2 2 2、静定与静不定问题的概念、静定与静不定问题的概念、静定与静不定问题的概念、静定与静不定问题的概念超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数= = = =未知量数未知量数未知量数未知量数- - - -独立平衡方程数独立平衡方程数独立平衡方程数独立平衡方程数(a)(b)解得解得: 例题例题8 已知：已知：P=0.4kN, Q=1.5kN, sin=4/5,求：支座求：支座A、C的反力。的反力。AQCB PPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象解上述方程，得解上述方程，得(2)取取AB为研究对象为研究对象代入（代入（3）式得）式得例题例题例题例题20 20 如图所示，已知重力如图所示，已知重力如图所示，已知重力如图所示，已知重力GG，DC=CE=AC=CB=2lDC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径；定滑轮半径；定滑轮半径；定滑轮半径为为为为R R，动滑轮半径为，动滑轮半径为，动滑轮半径为，动滑轮半径为r r，且，且，且，且R=2r=l, =45 R=2r=l, =45 。试求：。试求：。试求：。试求：A A，E E支座的约束支座的约束支座的约束支座的约束力及力及力及力及BDBD杆所受的力。杆所受的力。杆所受的力。杆所受的力。D D K KC CA AB BE E GGF FA AF FExExF FEyEy解：解：解：解： 1. 1. 选取选取选取选取整体整体整体整体研究对象，受力分析如研究对象，受力分析如研究对象，受力分析如研究对象，受力分析如图所示。图所示。图所示。图所示。解得：解得：解得：解得： 2. 2. 选取选取选取选取DECDEC研究对象，受力分析如图所示。研究对象，受力分析如图所示。研究对象，受力分析如图所示。研究对象，受力分析如图所示。E EC CK KD D解得：解得：解得：解得：F FK KF FEyEyF FExExD D K KC CA AB BE E GG例例例例题题题题21 21 重重重重为为为为G G = = 980 980 N N的的的的重重重重物物物物悬悬悬悬挂挂挂挂在在在在滑滑滑滑轮轮轮轮支支支支架架架架系系系系统统统统上上上上，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设滑滑滑滑轮轮轮轮的的的的中中中中心心心心B B与与与与支支支支架架架架ABCABC相相相相连连连连接接接接，ABAB为为为为直直直直杆杆杆杆，BCBC为为为为曲曲曲曲杆杆杆杆，B B为为为为销销销销钉钉钉钉。若若若若不不不不计计计计滑滑滑滑轮轮轮轮与与与与支支支支架架架架的的的的自自自自重重重重，求求求求销销销销钉钉钉钉B B作作作作用用用用在在在在与与与与它它它它相相相相连连连连接接接接的的的的每一构件上的约束力。每一构件上的约束力。每一构件上的约束力。每一构件上的约束力。 A AB BC CD DE EF FI IH H0.6 m0.6 m0.8 m0.8 mGGB BH HF F F FBxBxF FByBy解：解：解：解： 1. 1. 取滑轮取滑轮取滑轮取滑轮B B为研究对象，受力分为研究对象，受力分为研究对象，受力分为研究对象，受力分析如图。析如图。析如图。析如图。解得解得解得解得2. 2. 再取销钉再取销钉再取销钉再取销钉B B为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。B B列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程解得解得解得解得A AB BC CD DE EF FI IH H0.6 m0.6 m0.8 m0.8 mGG2-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算1 1 1 1、桁架的由来、桁架的由来、桁架的由来、桁架的由来大跨度梁的发展大跨度梁的发展大跨度梁的发展大跨度梁的发展2 2 2 2、桁架的应用、桁架的应用、桁架的应用、桁架的应用桥梁、屋架、塔架桥梁、屋架、塔架桥梁、屋架、塔架桥梁、屋架、塔架3 3 3 3、桁架的概念、桁架的概念、桁架的概念、桁架的概念 桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。 桁架的杆件都是直杆；桁架的杆件都是直杆；桁架的杆件都是直杆；桁架的杆件都是直杆； 杆件两端用光滑的铰链连接；杆件两端用光滑的铰链连接；杆件两端用光滑的铰链连接；杆件两端用光滑的铰链连接； 载荷及支座反力均作用在节点上；载荷及支座反力均作用在节点上；载荷及支座反力均作用在节点上；载荷及支座反力均作用在节点上； 杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。理想桁架的理想桁架的理想桁架的理想桁架的几点假设：几点假设：几点假设：几点假设：二力杆二力杆二力杆二力杆-组成桁架的基本构件组成桁架的基本构件组成桁架的基本构件组成桁架的基本构件。平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。节点构造有节点构造有榫接（图榫接（图a）焊接（图焊接（图b）铆接（图铆接（图c）整浇（图整浇（图d）均可抽象简化为光滑铰链均可抽象简化为光滑铰链 4 4 4 4、桁架杆件内力的计算方法、桁架杆件内力的计算方法、桁架杆件内力的计算方法、桁架杆件内力的计算方法 （1 1 1 1）节点法）节点法）节点法）节点法应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点 的平衡，每个节点可列的平衡，每个节点可列的平衡，每个节点可列的平衡，每个节点可列2 2 2 2个独立平衡方程。适于求个独立平衡方程。适于求个独立平衡方程。适于求个独立平衡方程。适于求 解全部杆件的内力；解全部杆件的内力；解全部杆件的内力；解全部杆件的内力；（2 2 2 2）截面法）截面法）截面法）截面法应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面 切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。切出的某部分的平衡。适于求解部分杆件的内力。 FAxFAyFBy解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象FAyFAxA20kNF1F2C10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC(2)(2)(2)(2)取节点取节点取节点取节点C C为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象(3)(3)(3)(3)取节点取节点取节点取节点 A A A A为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象依此类推，可求得其余各杆内力。依此类推，可求得其余各杆内力。依此类推，可求得其余各杆内力。依此类推，可求得其余各杆内力。例题例题例题例题10 10 10 10 求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。 F3F4mn解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象 计算支座反力。计算支座反力。计算支座反力。计算支座反力。(2) (2) (2) (2) 根据解题的需要，假想用一截面截断体系。根据解题的需要，假想用一截面截断体系。根据解题的需要，假想用一截面截断体系。根据解题的需要，假想用一截面截断体系。(3) (3) (3) (3) 取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD例题例题例题例题11 11 11 11 求：桁架求：桁架求：桁架求：桁架6 6 6 6、7 7 7 7、8 8 8 8各杆的力。各杆的力。各杆的力。各杆的力。 FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCPEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：解：解：解：(1) (1) (1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象(2)(2)(2)(2)取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象aaaaaaP1ABECD(3)(3)(3)(3)取节点取节点取节点取节点A A A A为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象FAxFAyFNB例题例题例题例题12 12 12 12 求：桁架求：桁架求：桁架求：桁架1 1 1 1、2 2 2 2杆的力。杆的力。杆的力。杆的力。 2适当地选择方程可使问题的求解简便；适当地选择方程可使问题的求解简便；适当地选择方程可使问题的求解简便；适当地选择方程可使问题的求解简便；组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构；注意铰点作用集中载荷的情况；注意铰点作用集中载荷的情况；注意铰点作用集中载荷的情况；注意铰点作用集中载荷的情况；对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整对于拆分结构中没有基本结构的情况往往先分析整 体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。物体系平衡习题课物体系平衡习题课Eq qa aa aa aa aa aABCDFAyFAxFECDq qFDxFDy解：解：解：解：(1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：解得：解得：(2) (2) 取曲杆取曲杆取曲杆取曲杆CDCD为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得：解得：解得：解得：FC例题例题例题例题13 13 求：求：求：求：A A、E E的约束反力和的约束反力和的约束反力和的约束反力和BCBC杆杆杆杆内力。内力。内力。内力。BCq qMMCAq q1m1m1m1mAC1m1m1m1mMMq qBFAxFAyMAFCxFCy FBFAxFAyMMA A FB解：解：解：解：(1) (1) 取取取取BCBC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得: :(2) (2) 取取取取ACAC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得: :例题例题例题例题14 14 已知：已知：已知：已知：M = 10kNm, q=2kN/mM = 10kNm, q=2kN/m求：求：求：求：A A、B B、C C的反力。的反力。的反力。的反力。若不求若不求C处的力处的力则可选整体为则可选整体为研究对象研究对象500500N NDCEFExFEyFDxFDy500500N N500500N NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2mFAxFAyF FB B例题例题例题例题15 15 求：求：求：求：D D、E E的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。 解：解：解：解：(1)(1)取取取取CDECDE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得: :(2)(2)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得解得解得解得: :GEBF FGxGxF FGyGyF FB B(3) (3) 取取取取BEGBEG为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得: :代入（代入（代入（代入（3 3）式得）式得）式得）式得: :500500N NDCEFExFEyFDxFDy500500N N500500N NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2m2mFAxFAyF FB BBDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解解:(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：(3) 取取ADB杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEF FNENEB例题例题16 求：求：A、D、B的约束反力。的约束反力。aBCDAFEPaaaaBCDAFEaaaMMAaBCDFEPaaaAaBCDFEaaaMMPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB解：解：解：解：(1)(1)取取取取BCBC杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：(2)(2)取取取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：代入（代入（代入（代入（3 3）式解得：）式解得：）式解得：）式解得：例题例题例题例题17 17 求：求：求：求：A A、D D的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。PPABCDa aa aa aa a2a2a2a2aCD(3)(3)取取取取CDCD杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：F FDxDxF FDyDyMMD DPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxABPPABCDa aa aa aa a2a2a2a2aBCDq qMMEDq qMMABCDEH2m2m2m2m2m2m2m2m1m1m1m1mFNBFAxFAyMMA AFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：解：(1) 取取DE杆为研究对象杆为研究对象(2) 取取BDC杆为研究对象杆为研究对象(3) 取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：例题例题18 已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm,求求:A、B的约束反力。的约束反力。例例例例题题题题19 19 图图图图示示示示结结结结构构构构为为为为钢钢钢钢结结结结构构构构拱拱拱拱架架架架，拱拱拱拱架架架架由由由由两两两两个个个个相相相相同同同同的的的的刚刚刚刚架架架架ACAC和和和和BCBC用用用用铰铰铰铰链链链链C C连连连连接接接接，拱拱拱拱脚脚脚脚A A，B B用用用用铰铰铰铰链链链链固固固固结结结结于于于于地地地地基基基基，吊吊吊吊车车车车梁梁梁梁支支支支承承承承在在在在刚刚刚刚架架架架的的的的突突突突出出出出部部部部分分分分D D，E E上上上上。设设设设两两两两刚刚刚刚架架架架各各各各重重重重为为为为G=60 G=60 kNkN，吊吊吊吊车车车车梁梁梁梁重重重重为为为为GG1 1=20 =20 kNkN，其其其其作作作作用用用用线线线线通通通通过过过过点点点点C C；载载载载荷荷荷荷为为为为GG2 2=10 =10 N N；风风风风力力力力F=10 F=10 kNkN。尺尺尺尺寸寸寸寸如如如如图图图图所所所所示示示示。D D，E E两两两两点点点点在在在在力力力力GG的的的的作作作作用用用用线线线线上上上上。求求求求固固固固定定定定铰铰铰铰支支支支座座座座A A和和和和B B的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。x xy y2 m2 m2 m2 m8 m8 m2 m2 m10 m10 mA AB BC CD DE EF FGG2 2GG1 1GG5 m5 mGGF FAxAxF FAyAyF FByByF FBxBx解：解：解：解： 1 1. .选整个拱架为研究对象，受力分析选整个拱架为研究对象，受力分析选整个拱架为研究对象，受力分析选整个拱架为研究对象，受力分析 如图所示。列平衡方程如图所示。列平衡方程如图所示。列平衡方程如图所示。列平衡方程 2. 2. 选右边刚架为研究对象，选右边刚架为研究对象，选右边刚架为研究对象，选右边刚架为研究对象，受力分析如图所示。受力分析如图所示。受力分析如图所示。受力分析如图所示。列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程B BC CE E2 m2 m10 m10 mGGF FByByF FBxBx4 m4 mF FE EF FCxCxF FCyCy3. 3. 选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程解方程可得解方程可得解方程可得解方程可得D DE EG1结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论1.1.1.1.力在坐标轴上的投影为：力在坐标轴上的投影为：力在坐标轴上的投影为：力在坐标轴上的投影为：2.2.2.2.平面内力的解析表达式为：平面内力的解析表达式为：平面内力的解析表达式为：平面内力的解析表达式为：3.3.3.3.求平面汇交力系的合力求平面汇交力系的合力求平面汇交力系的合力求平面汇交力系的合力（1 1 1 1）几何法）几何法）几何法）几何法 根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：合力的作用线通过各力的汇交点。合力的作用线通过各力的汇交点。合力的作用线通过各力的汇交点。合力的作用线通过各力的汇交点。（2 2 2 2）解析法）解析法）解析法）解析法 根据合力投影定理：根据合力投影定理：根据合力投影定理：根据合力投影定理：4.4.4.4.平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件（1 1 1 1）平衡的必要和充分条件：）平衡的必要和充分条件：）平衡的必要和充分条件：）平衡的必要和充分条件： （2 2 2 2）平衡的几何条件：）平衡的几何条件：）平衡的几何条件：）平衡的几何条件： 力多边形自行封闭力多边形自行封闭力多边形自行封闭力多边形自行封闭（3 3 3 3）平衡的解析条件：）平衡的解析条件：）平衡的解析条件：）平衡的解析条件： 5.5.5.5.平面力对点之矩平面力对点之矩平面力对点之矩平面力对点之矩6.6.6.6.合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：7.7.7.7.力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶力偶力偶力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。8.8.8.8.平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平衡条件：平衡条件：平衡条件：平衡条件：合成结果：合成结果：合成结果：合成结果：力偶的等效定理：力偶的等效定理：力偶的等效定理：力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。1.1.1.1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的 矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。2.2.2.2.平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点O O O O 简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一 个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即作用线通过简化中心作用线通过简化中心作用线通过简化中心作用线通过简化中心O O O O。这个力偶的矩等于该力系对于点。这个力偶的矩等于该力系对于点。这个力偶的矩等于该力系对于点。这个力偶的矩等于该力系对于点O O O O的主矩，的主矩，的主矩，的主矩，即即即即3.3.3.3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主主主主 矢矢矢矢主主主主 矩矩矩矩合成结果合成结果合成结果合成结果说说说说 明明明明F FR R 0 0 F FR R= = 0 0 MMO O = 0= 0MMO O00MMO O 00MMO O = 0= 0合合合合 力力力力合合合合 力力力力力力力力 偶偶偶偶平平平平 衡衡衡衡此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。通过简化中心。通过简化中心。通过简化中心。合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关。况下主矩与简化中心的位置无关。况下主矩与简化中心的位置无关。况下主矩与简化中心的位置无关。4.4.4.4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：点的主矩都等于零，即：点的主矩都等于零，即：点的主矩都等于零，即：（A A、B B、C C 三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）三点不得共线）（x x 轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于轴不得垂直于A A、B B 两点的连线）两点的连线）两点的连线）两点的连线）5 5 5 5、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式、平面任意力系平衡方程的形式基本形式基本形式基本形式基本形式二力矩式二力矩式二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式三力矩式三力矩式6.6.6.6.其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：如下：如下：如下：力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目共线力系共线力系共线力系共线力系平平 衡衡 方方 程程平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系11227.7.7.7.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法： 节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于2 2个。个。个。个。 截面法截面法截面法截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于于于3 3。PPABCD分析：考虑翻倒的临界情况，分析：考虑翻倒的临界情况，分析：考虑翻倒的临界情况，分析：考虑翻倒的临界情况，GGminmin此时此时此时此时 G = GG = Gminmin 。圆桶除了与光滑。圆桶除了与光滑。圆桶除了与光滑。圆桶除了与光滑面的接触点外，都不受力。面的接触点外，都不受力。面的接触点外，都不受力。面的接触点外，都不受力。例题例题例题例题9 9 无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重球重球重球重 P P、半径、半径、半径、半径 r r ，圆桶半径，圆桶半径，圆桶半径，圆桶半径 R R 。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量翻倒的最小重量翻倒的最小重量翻倒的最小重量 G G minmin 。P PP P解法解法1 1：分别以两个球和圆桶：分别以两个球和圆桶为研究对象。为研究对象。设设 BE = a BE = a ，AE = b = AE = b = 2 ( R - r 2 ( R - r ) )DO = BE = aDO = BE = a（1）以两球为对象，）以两球为对象， M MO O ( ( F F ) = 0 ) = 0， F FD D a a G Gmin min R = 0 R = 0 F FD D = P b = P ba aM M A A ( ( F F ) = 0,F) = 0,FD D a a P b = 0P b = 0ABPPCDCDaRbOEO OGGminmin（2）以桶为对象，）以桶为对象，G Gmin min = F= FD D a a R = P b R = P b R R G G min min = 2P ( 1 = 2P ( 1 r rR )R )N NR R解法解法2 2：（：（1 1）以两个球为研究对象）以两个球为研究对象 （2 2）以整体为研究对象）以整体为研究对象 N = 2P N = 2P Y = 0Y = 0， N N P P P = 0 P = 0 MMO O ( ( F F ) = 0) = 0， (N (N P)(2R P)(2R r) r) G Gmin min R R Pr = 0Pr = 0CDPPABOGGminminN NR RABPPCDN NPPCDPPABOO解法解法解法解法3 3：临界状态时，显然作用在桶上：临界状态时，显然作用在桶上：临界状态时，显然作用在桶上：临界状态时，显然作用在桶上的的的的 G Gminmin 和和和和 R R 组成一力偶，以整体为组成一力偶，以整体为组成一力偶，以整体为组成一力偶，以整体为研究对象可以知道作用在球上的研究对象可以知道作用在球上的研究对象可以知道作用在球上的研究对象可以知道作用在球上的 P P 和和和和 P P、N N 组成另一个力偶。组成另一个力偶。组成另一个力偶。组成另一个力偶。GGminminN NR RPP