第三讲数学教育的基本理论波利亚青岛大学师范学院数学系杨慧娟数学游戏问题：有两个没有刻度的桶，大桶的容量是9升，小桶的容量是4升，怎样利用这两个桶从河中恰好打上6升的水呢？9升升4升升学习数学离不开解题，大多解题者都有过这样的经历：衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。波利亚的生平波利亚（GeorgePolya，1887-1985）美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。曾著有怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，它们被译成多种文字，广为流传。找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别能力和好运气，但是，当我们成功的解决了一个好问题之后，我们应当去寻找更多的好问题。好问题通某些蘑菇有些相像，他们总是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有好几个。一、波利亚的数学教育观1.波利亚的数学教育目的：波利亚认为：中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。“教会学生思考”意味着数学教师不仅仅是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。现在新课标强调的“三会”2.数学教学与学习的心理三原则：（1）主动学习原则（2）最佳动机原则（3）循序渐进原则（1）主动学习“学东西的最好方式是发现它”，“亲自发现能够在你脑海里留下一条小路；今后一旦需要，你便可以再次利用它”。因而，教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西”。思想应在学生头脑中产生，教师则只起助产士的作用。（2）最佳动机为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣，并且在学习活动中寻求欢乐。最佳的刺激应该是对所学的知识的兴趣。另外，还可以在做题之前，让学生猜测学习的结果，因为在科学家的工作中，猜测几乎是证明的先导。学习动机是多元的内在的动机才能产生持久的学习动力，外部的动机，只会见效一时，却不能恒久维持。动机，有时又可以称之为理由过度理由效应（3）循序渐进学习过程是从行动和感知开始的，进而发展到词语和概念，以养成合理的思维习惯而结束。行行动和感知和感知词语和概念和概念思思维习惯学习的第一个阶段是探索，它联系着行动和感知，并且是在自觉和启发的水平上发展的。第二个阶段是阐明，包括引进术语、定义、证明等，提高到概念的水平上。第三个阶段是吸收，即把所学的知识都在头脑里消化了，然后吸收到自己的知识系统中来，扩大智力的范围。3.波利亚的教师发展观波利亚建议，要成为一名好的数学教师，必须具备两方面的知识，一是数学内容的知识。一般中学数学教师最大的缺陷在于，他没有主动完成数学工作的经验。二是数学教学法的知识。波利亚给数学教师的“十条建议”1、对自己的科目要有兴趣2、熟知自己的科目3、懂得学习的途径，学习任何东西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥秘；4、努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，把自己置身于他们之中；5、不仅要教给他们知识，并且要教给他们技能技巧、才智、思维方式及科学的工作习惯。6、让学生学会猜想问题7、让学生学会证明问题；8、从手头上的题目中寻找出一些可能今后用于解题的特征，揭示出存在于具体情况下的一般模式；9、不要立即吐露你的全部秘密-，让学生在你说出来之前先动脑去想，去猜，不要强迫别人去接受；10、启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。二、波利亚关于解题的研究为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表的，也可以说是对该表的进一步阐述和注释。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实际计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的的向自己提出的问题时，它就变作你的问题”。而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自己，它们可以帮助你解决你的问题”。他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。波利亚提供的“怎样解题”表第一步必须了解问题了解问题未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？可能满足什么条件？画一个图，引入适当记号。第二步找出已知数和未知数间的关系。假使你不能找出关系，就得考虑辅助问题，最后应想出一个计划拟定计划你以前曾见过它吗？你知道什么有关的问题吗？注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？你可以改述这问题吗？回到定义。你若不能解这问题，使先解一个有关的问题。你用了全部条件吗？第三步实行你的计划实行计划实行你的解决计划，校核每一步骤。第四步校核所得的解答回顾你能校核结果吗？你能校核论证吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？波利亚的“怎样解题”表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？这可以通过一连串建议性或启发性问题来加以回答。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的上的定理？看看未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用他的结果吗？你能利用他的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？”案例：给定正四棱台的高为，上底的边长为下底的边长为，求正四棱台的体积。第一步：了解问题。问题1：你要求解的是什么？要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来。F问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出的三个量，另一方面是已经学过的棱锥、棱柱的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验。把已知的三个量添加到图形中和思维图示中，他们与F之间有一条鸿沟，象征问题还没有得到解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来。第二步，拟定计划问题3：怎样才能求得F已经有了棱锥的体积公式，棱台的几何结构（定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，即从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的，如果知道了相应的两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积：F=B-A问题4：怎样才能求得A与B？棱锥的体积公式：关键是什么？将问题转化，把求A，B转化为求？问题5：怎样才能求得第三步，实现计划第四步，回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的，然后再做特殊性检验，特殊性检验既反映了新知识与旧知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的记忆。（2）回顾解题过程，可以看到，首先弄清题意，从中捕捉到有用信息，及时提取记忆中的有关信息，将信息做合乎逻辑的组合（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功运用，从结论出发，由后往前找成立的充分条件，如，为了求得F，只需要知道A，B，为了求得A，B，只需要求得x，为了得到x，建立一个方程即可，这样就形成了一个未知与已知之间的网络，书写时只不过是遵循相反次序将网络图做一叙述，这个过程显示了分析与综合的关系。分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行，分析是制定一个计划，综合是执行这个计划。（4）在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功运用。首先是一般性解决（策略水平上的解决）把F转化为A、B，明确了解题的方向；其次是功能性解决，（方法水平的解决）发挥组合与分解、相似形、解方程等解题功能，最后是特殊性解决，具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成。（5）在心理机制上，这个案例呈现出“激活扩散”的基本过程。激活记忆网络中的棱台的体积结构和棱锥的体积公式，然后想外扩散，依次激活截面公式，相似三角形、解方程知识等，直到条件与结论之间的网络沟通。这种“激活扩散”的观点，正是数学思维中心理过程的一种解释。（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功运用，它再一次向我们展示了“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，二平面化思维是联系立体几何与平面几何的重要桥梁这些方法可以用于解其他的立体几何问题，并且作为一般化的思想（降维）还可以用于其他学科。（7）能否用别的方法导出这个结果？在信念上，我们应该永远而坚定地作出肯定回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象。“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。既体现常识性，又体现由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力。这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟订计划”是关键环节和核心内容。“拟订计划”的过程是探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。为此波利亚又进一步建议：看着未知数回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，积极诱发念头，努力变化问题。这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取和分配，基础是“过去的经验和以有的知识”（也是一种解题力量）。作业：（1）根据你的解题经历，选一个典型的例子，详细介绍解题的具体过程。（2）设计一个解决某一类问题的解题表。二选一