圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程坐标系与参数方程坐标系与参数方程 教学解读教学解读 东阳中学东阳中学 卢超钢卢超钢 为了体现为了体现“基础性基础性”“多样性多样性”“选择性选择性”的的原则，原则，普通高中数学课程标准（实验）普通高中数学课程标准（实验）（以下简称（以下简称“课标课标”）螺旋上升地在必修和选）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。修模块中设置了解析几何内容。 一、内容安排一、内容安排1.必修模块，要求学生在平面直角坐标系必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。的能力。 2.选修选修1、2模块（必选），要求学生学习圆模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。进一步体会数形结合的思想。 3.作为解析几何初步、平面向量、三角作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标课标”设置了设置了坐标系与参数方程坐标系与参数方程专题（任选），要求学生通过本专题的专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。和实践能力。 直线与方程直线与方程-圆与方程圆与方程-圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程-极坐标与参数方程极坐标与参数方程螺旋上升二、思想理念二、思想理念1.坐标法是核心坐标法是核心(1)强调数形结合思想强调数形结合思想(2)强调经历用坐标法解决问题强调经历用坐标法解决问题的完整过程的完整过程直线与圆直线与圆-基础基础,强调与平面几强调与平面几何研究方法的比较何研究方法的比较,坐标法的体验坐标法的体验圆锥曲线圆锥曲线-体现坐标法的威力体现坐标法的威力(有限接触有限接触)坐标系与参数方程坐标系与参数方程-充分展示充分展示坐标法的综合性坐标法的综合性,坐标系的多样性坐标系的多样性,曲曲线方程的多样性线方程的多样性,联系方法的多样性联系方法的多样性等等.2.解析几何是方法论解析几何是方法论(1)重视重视“先行组织者先行组织者”的作用的作用-解析解析法法的引入，研究方法的引导的引入，研究方法的引导（2）重视）重视“几何要素几何要素”的分析的分析-有效使有效使用用解析法的前提解析法的前提（3）加强联系与综合）加强联系与综合-解析几何的学科解析几何的学科特点特点先用几何眼光观察、分析先用几何眼光观察、分析再用坐标法推理、论证和求解再用坐标法推理、论证和求解三、编写意图三、编写意图（1）突出坐标法的核心地位，强调数形）突出坐标法的核心地位，强调数形结合思想结合思想 随时随地强调坐标法的基本思想，随时随地强调坐标法的基本思想，明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括为为“三步曲三步曲”：第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题；第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题；第三步：分析代数结果的几何含义，并第三步：分析代数结果的几何含义，并“翻译翻译”成几何结论。成几何结论。第一步：建立适当的平面直角坐标系，第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题；将平面几何问题转化为代数问题； 用坐标法解决典型的平面几何问题，用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。例如，用坐标法证明三角形、标法的力量。例如，用坐标法证明三角形、平行四边形的性质，证明与圆相关的一些平行四边形的性质，证明与圆相关的一些命题等。这些问题在平面几何中有一定命题等。这些问题在平面几何中有一定困难，但用坐标法解决却困难，但用坐标法解决却“轻而易举轻而易举”。 在解析几何学习的入门阶段，不安排涉在解析几何学习的入门阶段，不安排涉及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集中精力于坐标法的学习。在后续阶段，逐步加中精力于坐标法的学习。在后续阶段，逐步加强强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路。的思路。 （2）根据学生学习心理安排教学内容）根据学生学习心理安排教学内容第一，强调第一，强调“先行组织者先行组织者”的使用。认知心理学的使用。认知心理学认为，认为，“先行组织者先行组织者”有助于学生形成有意义学有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图导游图”，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。间搭建了一座桥梁。 第二，坐标法、数形结合、运动变化思想等第二，坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识默会知识”，采取，采取“渗透渗透明确明确应用应用”的过程。的过程。 第三，改变第三，改变“从定义出发从定义出发”的教材呈现方式，的教材呈现方式，尽量用尽量用“归纳式归纳式”呈现教材，注意从简单到呈现教材，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。生提供归纳、概括的机会。 （3）问题引导学习，改进教与学的方式）问题引导学习，改进教与学的方式第一，充分发挥第一，充分发挥“史料史料”的作用，从整体上展示的作用，从整体上展示解析几何所研究的问题。解析几何所研究的问题。 第二，利用第二，利用“观察观察”“思考思考”“探究探究”栏目提出栏目提出问题，引导学生主动学习。问题，引导学生主动学习。 （4）加强背景和应用，完善学习过程）加强背景和应用，完善学习过程加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程，变解决问题的过程，变“掐头去尾烧中段掐头去尾烧中段”为为“接头续尾烧全鱼接头续尾烧全鱼”，是解析几何教学中必须予，是解析几何教学中必须予以充分重视的问题。以充分重视的问题。 第一，加强确定各类图形的几何要素的分析，第一，加强确定各类图形的几何要素的分析，在此基础上建立适当的坐标系。在此基础上建立适当的坐标系。 第二，加大用坐标法思想分析问题的力度。第二，加大用坐标法思想分析问题的力度。 （5）加强联系与综合，体现）加强联系与综合，体现“思想性思想性”第一，与已有知识的联系。第一，与已有知识的联系。 第二，与实际问题的联系。第二，与实际问题的联系。 解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心概念，但坐标法、数形结合思想等极其重要。概念，但坐标法、数形结合思想等极其重要。因此，如何以这些核心概念为载体，更好地因此，如何以这些核心概念为载体，更好地体现坐标法和数形结合的基本思想，设计恰体现坐标法和数形结合的基本思想，设计恰当的当的“问题串问题串”以引导学生独立地、有序地、以引导学生独立地、有序地、积极地思考，从而把积极主动的学习方式落积极地思考，从而把积极主动的学习方式落在实处，就成为解析几何教材中体现教学设在实处，就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键。计思想的关键。 （6）体现教学设计思想）体现教学设计思想三、教学建议三、教学建议1.把握教学要求把握教学要求本章理科共分四大节本章理科共分四大节.第一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤第一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤.后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质概念和简单几何性质.插入用坐标法解决直线与插入用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题圆锥曲线的位置关系问题.(3)根据问题的难易度及学生的认知水平根据问题的难易度及学生的认知水平,只只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求只要求“了解双曲线定义了解双曲线定义”.教学时力求突出主干知识，精选内容教学时力求突出主干知识，精选内容(1)研究圆锥曲线方程时研究圆锥曲线方程时,主要介绍标准方程，主要介绍标准方程，不涉及一般方程不涉及一般方程;(2)利用方程研究圆锥曲线的几何性质时只讨利用方程研究圆锥曲线的几何性质时只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；般方法；2.突出基本思想突出基本思想(1)解析几何的基本思想是曲线与方程、方解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用程与曲线的关系；突出用方程研究曲线方程研究曲线，用用代数方法研究曲线的性质代数方法研究曲线的性质.(2)在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线如何建立曲线方程方程”及及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上上,不要在定义的两个方面作过多研究不要在定义的两个方面作过多研究.(3) 标准标准中多次提到中多次提到“让学生让学生体会和感受体会和感受数形结合的思想数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实，应在本章中得到较好的落实.3.重视引入过程重视引入过程教材意在突出知识的发生、发展过程，引导教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆椭圆”抽象形式化（代数化）为抽象形式化（代数化）为“方程方程”，形成理性，形成理性认识认识.其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开.四、教学提示四、教学提示1.重视重视“方法方法”与与“思想思想”“坐标法坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终；应贯穿平面解析几何教学的始终；“数形结合数形结合”思想应让学生不断地加以体会思想应让学生不断地加以体会.曲线与方程曲线与方程, 函数与图象是两类不同的研究对象函数与图象是两类不同的研究对象,它们之间有一定联系它们之间有一定联系,也存在一定区别也存在一定区别. 2.关注曲线与方程和函数与图象之间的关系关注曲线与方程和函数与图象之间的关系3.圆锥曲线统一定义和非标准的圆锥圆锥曲线统一定义和非标准的圆锥曲线方程不作教学要求曲线方程不作教学要求探究与发现探究与发现: “圆锥曲线的离心率与统一方程圆锥曲线的离心率与统一方程”,供学有余力的学生学习供学有余力的学生学习.非标准的圆锥曲线方程没有必要补充非标准的圆锥曲线方程没有必要补充.4. 关于信息技术使用关于信息技术使用信息技术在本节大有用武之地信息技术在本节大有用武之地, 应该得到重视应该得到重视. 但要注意你的运用是促进探究但要注意你的运用是促进探究? 还是猜想验证还是猜想验证? 是呈现是呈现?还是发现还是发现?一、教材内容一、教材内容第一讲：坐标系第一讲：坐标系 坐标系是坐标法思想得以实现的平台，是坐标系是坐标法思想得以实现的平台，是解析几何的基础解析几何的基础.学习本讲可以丰富对坐标系学习本讲可以丰富对坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象的特点，从而学会如何选择坐标系述自然现象的特点，从而学会如何选择坐标系使建立的方程更加简单，研究更方便使建立的方程更加简单，研究更方便.坐标系与参数方程坐标系与参数方程第二讲：参数方程第二讲：参数方程 参数方程是以参变量为中介来表示曲线参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式下的又一种表示形式.某些曲线用参数方程某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更为方便表示比用普通方程表示更为方便.学习本讲学习本讲有助于进一步体会解决问题中的数学方法有助于进一步体会解决问题中的数学方法的灵活多变的灵活多变.二、课标定位二、课标定位 本专题是解析几何初步、平面向量、三本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化角函数等内容的综合应用和进一步深化.极坐极坐标系和参数方程是本专题的重点内容标系和参数方程是本专题的重点内容，对于对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解柱坐标系、球坐标系等只作简单了解.通过对通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力能力.1.坐标系坐标系(1)理解坐标系的作用。理解坐标系的作用。(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。平面图形的变化情况。(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。(4)能在极坐标系中给出简单图形能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点直线、过极点或圆心在极点的圆或圆心在极点的圆)的方程。的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。坐标系的意义。三、考试说明三、考试说明(1)了解参数方程，了解参数的意义。了解参数方程，了解参数的意义。(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。掌握直线的参数方程及参数的的参数方程。掌握直线的参数方程及参数的几何意义。几何意义。能用直线的参数方程解决简单的相关问题。能用直线的参数方程解决简单的相关问题。2.参数方程参数方程四、教学建议四、教学建议1坐标系的教学应着重让学生理解平面坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同几何含义不同.同一几何图形的方程在不同坐同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式标系中具有不同的形式.因此，选择适当的坐因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式.2在坐标系的教学中，可以引导学生自己在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处.3应通过对具体物理现象的分析应通过对具体物理现象的分析(如抛物体如抛物体运动的轨迹运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参引入参数方程，使学生了解参数的作用数的作用.4应注意鼓励学生运用已有的平面向量、应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程线的参数方程.5可以组织学生成立兴趣小组，合作研究可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例摆线的性质，收集摆线应用的实例.6可以应用计算机展现心脏线、螺线、可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美感受这些曲线的美.五、教学提示五、教学提示1.极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、坐标法思想、数形结合思想与参数法是本坐标法思想、数形结合思想与参数法是本专题的重点专题的重点.2.伸缩变换、柱坐标系和球坐标系了解即可伸缩变换、柱坐标系和球坐标系了解即可（侧重完善坐标系概念，认识坐标法思想的（侧重完善坐标系概念，认识坐标法思想的广阔应用空间即可）广阔应用空间即可）.3.伸缩变换中只考虑正的情况伸缩变换中只考虑正的情况（侧重的是如何通过坐标伸缩这一代数变换（侧重的是如何通过坐标伸缩这一代数变换来表示图形的伸缩变换，是坐标法思想的熏陶）来表示图形的伸缩变换，是坐标法思想的熏陶）4.极坐标多值性不要过多讨论，圆锥曲线极极坐标多值性不要过多讨论，圆锥曲线极坐标方程不作要求坐标方程不作要求.5.求出的极坐标方程是否为曲线的极坐标方程求出的极坐标方程是否为曲线的极坐标方程不要求证明不要求证明.知识联系知识联系向量知识、三角知识、线性规划等知识间向量知识、三角知识、线性规划等知识间的有机联系的有机联系.思想方法思想方法方程互化中的等价变换思想方程互化中的等价变换思想,问题研究中问题研究中的的“数形结合数形结合”思想思想,解决问题时的方程解决问题时的方程思想等思想等.六、教学重点六、教学重点1.极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化;2.参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程(消参、参数消参、参数的范围的范围);3.参数方程的简单应用参数方程的简单应用.4.直线的参数方程及其应用直线的参数方程及其应用.