第二十七章 相似27.127.1图形的相似图形的相似课前预习课前预习1.下列各组图形中，能够相似的一组图形是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)2.下列说法正确的是( ) A.所有的平行四边形都相似 B.所有的矩形都相似 C.所有的菱形都相似 D.所有的正方形都相似BD3.下列各组中的四条线段a，b，c，d成比例的是 ()A.a= ，b=3，c=2，d= B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b= ，c= ，d= D.a=2，b=3，c=4，d=14.已知2x=3y，则 =_5.如上图所示，两个四边形相似，求 的值C解：解：四边形ABCD与四边形ABCD相似 B=B=60，D=D=95 A+B+C+D=360 =360-125-60-95=80课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 图形相似的定义图形相似的定义 定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形.（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的.（2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同.（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是 不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例【例1 1】下列图形不是不是相似图形的是( ) A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片 B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案 C.某人的侧身照片和正面照片 D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状 不同，因此不是相似图形.答案：C变式拓展变式拓展1.如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相 似的是( )C知识点知识点2 2 线段成比例线段成比例内容内容特别提醒特别提醒线段线段的比的比两条线段的比，就是它们长度两条线段的比，就是它们长度的比的比线段的比没有单线段的比没有单位位线段线段成比成比例例对对于于四四条条线线段段a a、b b、c c、d d如如果果其中两条线段的比与另两条线其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如段的比相等，如 ，我们，我们就说这四条线段成比例就说这四条线段成比例判判断断线线段段成成比比例例，先先按按大大小小排排列列，然然后后看看前前两两条条线线段段的的比比是是否否等等于于后两条线段的比后两条线段的比比例比例的性的性质质（1 1）若）若，则，则ad=ad=bcbc.反之，反之， 若若ad=ad=bcbc（abcd0） 则则 或或 （2 2）若若 ，则，则由由ad=ad=bcbc（abcd0）可可以以得得出出多多个个比比例式例式注意：注意：在 ，b=c时，我们把b叫做a,d的比例中 项，此时b2=ad.【例例2 2】已知线段a、b、c、d成比例线段，其中 a=2 m，b=4 m，c=5 m，则d=（ ） A.1 m B.10 m C. m D. m解析解析：根据比例线段的定义得到ab=cd,然后把 a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可 线段a、b、c、d是成比例线段 ab=cd 而a=2 m，b=4 m，c=5 m d= = =10 m答案答案：B【例例3 3】已知 = 0，求代数式 的值解析：解析：根据两内项之积等于两外项之积用 表示出 2 ，然后代入比例式进行计算即可得解解：解： = 0，2b=3a 变式拓展变式拓展2.下列各组线段中，成比例的是（ ） A.5 cm，6 cm，7 cm，8 cm B.3 cm，6 cm，2 cm，5 cm C.2 cm，4 cm，6 cm，8 cm D.12 cm，8 cm，15 cm，10 cmD3.(2014秋松江区校级期中)已知 ， 求 的值解：解：由 ，得 ， 则 ， 知识点知识点3 3 相似多边形及其性质相似多边形及其性质 定定义义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性性质质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的 两个多边形不一定相似. （2）相似比的值与两个多边形的前后顺序 有关.【例【例3 3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求 、 的大小和EH的长度解析：解析：观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出 =B=83，D=H=118，再根据四边形的内角和等于360可计算求出 的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度解：解：四边形ABCD和四边形EFGH相似， =B=83，D=H=118， =360-(83+78+118)=81， EH：AD=HG：DC EH=28(cm)答： =83， =81，EH=28cm变式拓展变式拓展4. 如图所示的两个五边形相似，求未知边 的长度解解:因为相似五边形对 应边成比例, 所以，解得 =3, =4.5, =4, =6 .随堂检测随堂检测1.（2013秋涉县校级期中）下列图形中，属于相 似图形的是（）A. B. C. D.2.(2014江北区模拟)下面给出了一些关于相似的 命题，其中真命题有（ ） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似； （3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正 六边形都相似A.1个 B.2个 C.3个 D.4个DC3.(2014秋黔东南州期末)如果 ，那么 的 值是() A. B. C. D.4.如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两 地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际 距离是 千米5.如图，若两个多边形相似，则x= C3431.527.227.2相似三角形相似三角形27.2.1 27.2.1 相似三角形的判定（相似三角形的判定（1 1）课前预习课前预习1.(2015三亚三模)如图所示，在 ABC中，DEBC，若AD=1，DB=2， 则 的值为（ ） A. B. C. D.2.如图，已知ABCD，AD与BC相交于 点O，AO：DO=1：2，那么下列式子 正确的是（ ） A.BO：BC=1：2B.CD：AB=2：1 C.CO：BC=1：2D.AD：DO=3：1CB3.如图，已知D，E分别是ABC的边 BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要 使DEAB，那么BC：CD应等于 .课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 相似三角形的认识相似三角形的认识内容特别提醒定义三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形可以根据相似三角形的定义来判定三角形是否相似表示相似用符号“”来表示，读作“相似于”用“”表示相似时，对应的顶点应写在对应的位置上相似比相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”来表示相似比有顺序；全等是相似的特殊情形，相似比等于1性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例注意要找准对应边和对应角【例例1 1】（2015宝山区一模）已知ABC的三边之 比为2：3：4，若DEF与ABC相似，且 DEF的最大边长为20，则DEF的周长为 .解析：解析：根据相似三角形的性质可求得DEF的三边 比，再结合条件可分别求得DEF的三边长， 可求得答案解：解：DEFABC，ABC的三边之比为2：3：4 DEF的三边之比为2：3：4 又DEF的最大边长为20 DEF的另外两边分别为10、15 DEF的周长为10+15+20=45答案：答案：45变式拓展变式拓展1.如图所示,已知ABCADE， 则ABC=ADE,且A=_， ACB=_， =_ _.AAED知识点知识点2 2 平行线分线段成比例平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线 被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图所示， ,直线 ， 被 ， ， 所截， 那么 ， ， 注意注意：对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段. 对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比.（2）平行线分线段成比例的基本事实应用在三角 形上的结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图所示，若DE/BC,则有 .【例【例2 2】（2015宝山区一模）如图，ABC中，D、 E分别为边AB、AC上的点，且DEBC，下 列判断错误的是（） A. B. C. D.解析：解析：如图，证明ADEABC，得到 ；证明 ，即可 解决问题. DEBC ADEABC C、D正确 DEBC 答案：B变式拓展变式拓展2.已知在ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC 上，且DEBC，DFAC，那么下列比例式中，正 确的是（ ） A. B. C. D.B随堂检测随堂检测1.（2014重庆）如图所示， ，相似比为 1：2，若BC=1，则EF的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4B2.（2015黄浦区一模）在ABC中，点D、E分别在 AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能 够判定DEBC的是（） A. B. C. D. 3.如图，如果 ，则下列各式不正确的是 （ ） A. B. C. D. 4.如图，在ABC中， 第3题 点D，E分别在边AB，AC上，DEBC， 已知AE=6， ，则EC的长是 第4题DB85.如下图所示，已知ABCADE，AD=8cm， BD=4cm,BC=15cm,EC=7cm. （1）求DE，AE的长 （2）你还发现哪些线段成比例？解：解：（1）ABCADE AD=8 cm，BD=4 cm，BC=15 cm，EC=7 cm 设DE=x cm，则 12x=815，x=10. 设AE=a cm，则 ，a=14. （2） .27.2.2 27.2.2 相似三角形的判定（相似三角形的判定（2 2）课前预习课前预习1.如图所示，已知DEFGBC，则 图中相似三角形共有（ ） A.4对 B.3对 C.2对 D.1对2.如图，在大小为44的正方形 网格中，是相似三角形的是（） A.和B.和 C.和 D.和BC3.如图，在ABC中，DEBC， 求证：ADEABC.证明：证明：DEBC， B=ADF，C=AED， ABCADE课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似因为DEBC，所以图中ABCADE. 注意：注意：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形也相似.在用此定理判定两个三角形相似时，只需DE/BC这一条件就能确定ABCADE，不必再用定义进行判定，其推理形式：DE/BC，ABCADE.【例【例1 1】如图所示，已知在 中，E为AB延长线 上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于点F，请 找出图中各对相似三角形，并求出相应的 相似比.解析：解析：由 可知ABCD， ADBC，再根据平行 线找相似三角形解：解：四边形ABCD是平行四边形 AB/CD,AD/BC BEFCDF,BEFAED BEFCDFAED 当BEFCDF时， 相似比 ； 当BEFAED时， 相似比 ； 当CDFAED时， 相似比 .变式拓展变式拓展1.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的 一点，连接AE交CD于F，求证：AFDEFC证明：证明：E是平行四边形ABCD的边 BC的延长线上的一点， 连接AE交CD于F ADCE AFDEFC知识点知识点2 2 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理2 2 三边成比例的两个三角形相似这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.28如图所示，如果 ，那么ABCDEF. 注注意意：在两个直角三角形中，若斜边的比等于一组直角边的比，则这两个直角三角形相似.【例【例2 2】（2015茂名校级一模）如图，小正方形的 边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部 分）与ABC相似的是（） A. B. C. D.解析：解析：根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求 出三边之比，利用三边对应成比例的两三角 形相似判断即可. 根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2， AC：BC：AB= ：2： =1： ：A.三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部 分）与ABC不相似；B.三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部 分）与ABC不相似；C.三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分） 与ABC相似；D.三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分） 与ABC不相似答案：C变式拓展变式拓展2.下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的 三角形所在的网格图形是图 随堂检测随堂检测1.如图， ABCD中，E是AD延长线上 一点，BE交AC于点F，交DC于点G， 则下列结论中错误的是（） A.ABEDGEB.CGBDGE C.BCFEAFD.ACDGCFD2.(2014邵阳)如图，在 ABCD中， F是BC上的一点，直线DF与AB的 延长线相交于点E，BPDF，且 与AD相交于点P，请从图中找出 一组相似的三角形： 3.如图，在ABC中，AB=8，AC=6， D是AB边上的一点，当AD= . 时，ABCACD4.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、 C，则图中所形成的 三角形中，相似的 三角形是 ABPAED4.5APBCPA5.如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，ADP和ABC相似4或927.2.3 27.2.3 相似三角形的判定（相似三角形的判定（3 3）课前预习课前预习1.如图，在ABC中，点D在AB上，下列 条件能使BCD和ABC相似的是（） A.ACD=B B.ADC=BDC C.AC2=ADAB D.BC2=BDBA2.如图，无法保证ADE与ABC 相似的条件是（） A.1=C B.A=C C.2=B D 3.如图，D为ABC的边AB上的点， 请补充一个条件 ， 使ADCACBDBADC=ACB4.已知40和50分别为两个直角三角形中的一个 锐角，这两个直角三角形 （选填“是”或 “不是”）相似的是课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理3 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图所示，在ABC与DEF中，B=E， ，可判定ABCDEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. 注意：注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似【例例1 1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点， 点F在边CD上，且CF=3FD，ABE与DEF相 似吗？为什么？解析：解析：先根据正方形的性质得A=D=90， AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，利用E为边AD的 中点，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，则可 计算出 =2，加上A=D，于是根据 相似三角形的判定方法即可得到ABEDEF.解：解：ABE与DEF相似理由如下： 四边形ABCD为正方形 A=D=90，AB=AD=CD 设AB=AD=CD=4a E为边AD的中点，CF=3FD AE=DE=2a，DF=a =2 ， =2 而A=D ABEDEF变式拓展变式拓展1.已知：如图，在ABC中，C=90，点D、E分 别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE. 若BC=6，AC=8，求证：ABCDBE证明：证明：在RTABC中， C=90，BC=6，AC=8 AB= =10 DB=AD-AB =15-10=5 DB：AB=1：2 又EB=CE-BC=9-6=3 EB：BC=1：2， EB：BC=DB：AB 又DBE=ABC， ABCDBE 39知识点知识点2 2 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理4 4 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示，如果A=A，B=B，那么ABC . 注意：注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似【例【例2 2】如图，点D在等边ABC的BC 边上，ADE为等边三角形， DE与AC交于点F（1）证明：ABDDCF；（2）除了ABDDCF外，请写出 图中其他所有的相似三角形解析：解析：（1）利用等边三角形的性质以及相似三角 形的判定方法两角对应相等的两三角形相似 得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似 三角形的性质进而判断得出即可（1）证明：证明：ABC，ADE为等边三角形 B=C=3=60 1+2=DFC+2 1=DFC ABDDCF（2）解：解：C=E， AFE=DFC AEFDCF ABDAEF 故除了ABDDCF外， 图中相似三角形还有： AEFDCF ABDAEF ABCADE ADFACD变式拓展变式拓展2.如上图，要使ADBABC，还需增添的条件是 （写一个即可）.ABD=C知识点知识点3 3 相似三角形的判定定理的综合运用相似三角形的判定定理的综合运用 判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本 定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再 找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角 或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对 底角相等，也可找底和腰对应成比例.43【例例3 3】如图，在ABC，点D、E分别在AB、AC上， 连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结 DC、BE，若BDE +BCE=180.请写出图 中的两对相似三角形（不另外添加字母和 线），并选择其中的一对进行证明.解析：解析：由于BDE +BCE=180， BDE +ADE=180， 根据等角的补角相等得到 ADE=BCE，加上 DAE=CAB，根据有两 组角对应相等的两个三角 形相似可判断ADEACB, 用同样的方法可证明FCEFDB.解：解：ADEACB,FCEFDB. 对ADEACB进行证明： BDE +BCE=180 而BDE +ADE=180 ADE=BCE 即ADE=ACB 而DAE=CAB ADEACB变式拓展变式拓展3.如图，在平行四边形ABCD中， 过点A作AEBC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B. （1）求证：ADFDEC； （2）若AB=8，AD= ，AF= ，求AE的长.（1）证明：证明：在 ABCD中，ABCD，ADBC C+B=180，ADF=DEC AFD+AFE=180，AFE=B AFD=C，而在ADF与DEC中， AFD=C，ADF=DEC ADFDEC；（2）解：解：在 ABCD中，CD=AB=8 由（1）知ADFDEC DE= = =12， 在RtADE中，由勾股定理得 AE=随堂检测随堂检测1.如图所示，给出下列条件：ACD =ADC； ADC=ACB； ； .其中单独能够判定 ABCACD的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.42.已知一个三角形的两个内角分别是30，70， 另一个三角形的两个内角分别是70，80，则 这两个三角形（ ） A.一定相似 B.不一定相似 C.一定不相似 D.不能确定BA3.如图，在ABC于ADE中， ，要使ABC于ADE 相似，还需要添加一个条件， 这个条件是 .4.如图，ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直 平分线AD交于点E，交BC的延长线于点F试说明： ABFCAF证明：证明：AD是BAC的平分线 BAD=CAD(设为) EFAD，且EF平分AD AF=DF，ADF=DAF ACF=ADF+=DAF+=BAC 而AFC=AFB，ABFCAFB=E5.如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC 边上一点，且ADE=60 （1）求证：ABDDCE； （2）若BD=3，CE=2，求 ABC的边长.（1）证明：证明：ABC是等边三角形 BAC=B=C=60 CDE+CED=180 -C=120 ADE=60 ADB+CED=180 -ADE=120 ADB =CED ABDDCE（2）解：解：设等边ABC的边长为x 则CD=BC-BD=x-3 由（1）知ABDDCE ，即 解得x=9 ABC的边长为927.2.4 27.2.4 相似三角形的性质相似三角形的性质课前预习课前预习1.ABCDEF，对应边中线的比为1：2，则相似 比为_，对应边高的比为_.2.ABCDEF，相似比为1：2，则它们的周长之 比为 3.两个相似三角形对应高的比为2：1，则它们的面 积比是 4.两个相似三角形对应高之比为1:2，那么他们对 应中线之比为_.1：21：21：24：11：2课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 性质一：相似三角形对应线段的比等于性质一：相似三角形对应线段的比等于 似比似比 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【例例1 1】已知一个三角形三边长为8，6，12，另一 个三角形有一条边为4，要使这两个三角形 相似，则另外两边长分别为 解析：解析：设另外两边为 、 ，题中没有指明边长为4 的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别 讨论： （1）若边长为4的边与边长为8的边相对应， ，则另两边为3和6； （2）若边长为4的边与边长为6的边相对应， ，则另两边为 和8； （3）若边长为4的边与边长为12的边相对应， ，则另两边为 和2 故三角形框架的两边长可以是3和6或 和8或 和2答案：答案：3和6或 和8或 和2变式拓展变式拓展1.（2015衡阳县一模）ABC中，AB=12，BC=18， CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是 36，则最短的一边是（）A.27 B.12 C.18 D.20C知识点知识点2 2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比性质二：相似三角形周长的比等于相似比 如果ABC ，相似比为 ，则 ，因此 ， ， 所以 ，即 .由此我们得到:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法可以得到：相似多边形周长的比等于相似比.【例例2 2】两个相似三角形对应中线的比为1：4，它 们的周长之差为27cm，则较大的三角形的 周长为 cm解析：解析：利用相似三角形的对应周长比等于相似比， 对应中线比等于相似比即可得出解：解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm 由两个相似三角形对应中线的比为1：4得 1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：答案：36变式拓展变式拓展2.ABC ，AD， 分别为ABC和 的中线，若ABC的周长为10， 的周长为 12，则AD： = .5：6知识点知识点3 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图，ABC ，且相似比为 ，由性质一知 ，所以 ，所以相似三角形面积的比等于相似比的平方.用类似的方法，可以把相似多边形分成若干对相似三角形，便可以得出：相似多边形面积比等于相似比的平方.【例【例3 3】两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是 .解析：解析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相 似比，再根据相似三角形面积的比等于相似 比的平分求出面积的比，然后根据比例设出 两个三角形的面积，再求解即可解：解：两个相似三角形的周长是2：3 它们的相似比为2：3，面积的比为4：9 设两个三角形的面积分别为4k，9k 由题意得，9k-4k=60，解得k=12 两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2 它们的面积之和是48+108=156cm2答案：答案：156cm2变式拓展变式拓展3.两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之 差为25cm2，则较大三角形的面积是（） A.75cm2 B.65cm2 C.50cm2 D.45cm2D随堂检测随堂检测1.如图，ABC中，BC=3，AC=4，若ABCBDC， 则CD=（） A.2 B. C. D. 2.（2015海珠区一模）若ABCDEF， 且 AB：DE=1：3，则SABC：SDEF=（）A.1：3 B.1：9 C.1：3 D.1：1.5BB3.（2015江都市一模）如图，ABC中，点D在线 段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确 的是（） A.AB2=BCBD B.AB2=ACBD C.ABAD=BCBD D.ABAC=BDBC4.如果两个相似三角形的对应边之比是3：7，其中 一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三 角形对应角平分线的长为 5.已知ABC ，A、B、C的对应点分别是 、 、 且ABC的周长是25，AB=5， =4，那 么 的周长等于 A或206.已知ABC ，相似比为3：4，且两个三 角形的面积之差为28，则ABC的面积为 .366027.2.5 27.2.5 相似三角形的应用相似三角形的应用课前预习课前预习1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C， 连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EFAB 交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为（ ） A.30m B.24m C.18m D.12m 第1题 第2题2.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m.当 短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度 忽略不计）（） A.4m B.6m C.8m D.12mBC3.小明身高是1.5米，他的影长是2米，同一时刻一 电线杆的影长是20米，则电线杆的高度是 米.4.已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，使烛焰的 像AB是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间 的小孔纸应放在离蜡烛cm的地方1512课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 利用相似测量高度利用相似测量高度常见类型利用阳关、影子 测 量 高 度（在同一时刻物体高度与影子长度成正比）利用标杆测量高度利用平面镜测量高度（光线的反射角等于入射角）示意图测量数据要求旗杆的高度BC，需测量人的高度DF，影子长度EF及旗杆的影子长度AB要求旗杆的高AB，需测量EF、CD、FD、BD求建筑物的高AB，需测量CD、DE、BE相关算式设BC= ，由DEFCAB得 设AB= ，由CEGAEH得 ，即 设AB= ，由ABECDE得 【例例1 1】如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆 顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知 此人眼睛距地面1.6 m，标杆为3.2 m，且 BC=1 m，CD=19 m，求电视塔的高ED解析：解析：此题考查了相似三角形 的性质，通过构造相似 三角形利用相似三角 形对应边成比例解答即可解：解：过A点作AHED，交FC于G，交ED于H 由题意可得AFGAEH 即 解得EH=32 m ED=32+1.6=33.6 m变式拓展变式拓展1.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度： 如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与 教学大楼的距离AE=20米当她与镜子的距离 CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的 顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请 你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角= 反射角）.解：解：根据反射定律知FEB=FED BEA=DEC BAE=DCE=90 BAEDCE ； CE=2.5米，DC=1.6米， ； AB=12.8 大楼AB的高为12.8米测量原理 构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解示意图测量数据 要求池塘宽度AB，需要测量BE、CD和BC要求池塘宽度AB，需要测量BC、CD、DE相关算式设AB= ，由ABEACD，得设AB= ，由ABCEDC，得知识点知识点2 2 利用相似比测量宽度利用相似比测量宽度解析：解析：首先根据题意画出 图形，可通过两步 相似来判断她的做 法是否正确，由CGHCBA，得到CG、HG、 CB、AB的比例关系，根据CEFCBA，得 到CE、EF、CB、BA的比例关系，两式相加，利用BE=CG的条件即可判断出所求的结论是否正确.【例【例2 2】如图，张雨同学想出了一个测量池塘两端 A、B长度的方法：过点A、B引两条直线AC、 BC相交于点C，在BC上取点E、G，使BE=CG， 再别分别过点E、G作EFAB、GHAB交AC 于点F、H，测得EF=11m，GH=5m，她就得出 了结论：池塘的宽AB为16m，你认为她说的 对吗？请说明理由解：解：我认为她说的对理由如下： 如图，BE=CG，GH=5m，EF=11m； 根据题意可知：CHGCAB， CFECAB，则有 ， ， 设BE=CG= ，BC= ，得： ， ， 两式相加，得 ， 即AB=16 m； 所以她的做法是正确的变式拓展变式拓展2.夹文件或试卷用的铁夹子在常态下的侧面示意图 如图所示，它是轴对称图形，AC，BC表示铁夹子 的两个面，点O是 轴 ，ODAC于 点D， 已 知 OD=10 mm，OC=26 mm，AD=15 mm求A、B之间的 距离.解：解：如图，连接AB，与CO的延长线交于点E， 夹子是轴对称图形，对称轴是CE，A、B为一 组对称点， CEAB，AE=EB 在RtAEC、RtODC中 AEC=ODC=90，OCD是公共角 RtAECRtODC 又DC= =24 AC=AD+DC=39 AE= = =15 AB=2AE=30(mm).随堂检测随堂检测1.某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图， 他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米， 同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某 一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米， 则学校旗杆的高度为（）米 A.2 B.11.6 C.1.2 D.10D2.一个油桶高0.8m，桶内有油，一根长1 m的木棒 从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰 好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则 油桶内的油的高度是（） A.0.8m B.0.64m C.1m D.0.7m3.如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已 知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DEAB，则AB= 米 第2题 第3题B804.要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先从B 处出发，向与AB成90角的方向走50m到C处，在 C处立一根标杆，然后方向不变地继续朝前走10m 到D处，在D处转90，沿DE方向再走17m，到达E 处，使A(目标物)，C(标杆)与E在同一直线上(如 图)，那么据此可测得A，B间的距离是 m.2527.3 27.3 位似位似课前预习课前预习1.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边 形，其中位似图形的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位 似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正 确的是（ ） A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3A=2F D.2A=3FCB3.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心 是（ ） A.点P B.点 C.点M D.点N4.如图，已知E(-4，2)，F(-1，-1)，以原点O为位 似中心，按比例尺2：1把EFO缩小，则E点对应 点E的坐标为（ ） A.（2，1） B.( ，) C.(2，-1) D.(2，- ) 第3题 第4题AC课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 位似图形的定义位似图形的定义 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似. 注意：注意：位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，相似图形成为位似图形必须具备两个条件：一是对应点的连线交于一点；二是对应边互相平行或在同一条直线上. 两个位似图形的位似中心只有一个. 位似中心可以在两图形内部、两图形之间，也可以在两图形的同一侧.【例例1 1】如图，指出下列各图中的两个图形是否属 于位似图形，如果是位似图形，请指出其 位似中心 解析：解析：利用位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而判断得出即可解：解：是位似图形，位似中心是A， 是位似图形，位似中心是P， 不是位似图形， 是位似图形，位似中心是O， 不是位似图形变式拓展变式拓展1.下列关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相 似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连 线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个 图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等 于位似比 其中正确命题的序号是（ ） A. B. C. D.A知识点知识点2 2 位似图形的性质位似图形的性质 根据位似的概念，可得到位似图形的四个基本性质： （1）位似图形对应角相等，对应边成比例. （2）位似图形的对应点的连线所在的直线相交 于一点，即经过位似中心. （3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直 线上. （4）位似图形上任意一对对应点，到位似中心 的距离之比等于相似比.【例例2 2】如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心 的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4， 则A1B1的长为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8解析：解析：根据位似变换的性质得到 ，B1C1BC，再利用平行线分线段 成比例定理得到 ，所以 ， 然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可解：解：C1为OC的中点，OC1= OC ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似 三角形 ，B1C1BC， ， ，即 A1B1=2答案：B变式拓展变式拓展2.如图，ABC与DEF位似，且E是OB的中点，则 的值为（ ） A. B. C. D.A知识点知识点3 3 位似图形的画法位似图形的画法 利用位似，可以把一个图形放大或缩小，若相似比大于1，则通过位似变化把原图形放大；若相似比小于1，则通过位似变化把原图形缩小. 画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心；(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；(3)根据相似比，确定能代表所作位似图形的关键点；(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.【例【例3 3】如图，ABC的三个顶点均在格点上，且 A（-1，3），B（-3，1） 在网格内把ABC以原点O为位似中心放大， 使放大前后对应边的比为1：2，画出位似 图形A1B1C1.解析：解析：由在网格内把ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1：2，即可得A1（2，-6），B1（6，-2），C1（0，-2），则可画出图形解：解：如图，画出A1B1C1把ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后 对应边的比为1：2，对应的坐标为：（-2，6），（-6，2）， （0，2）或（2，-6），（6，-2），（0，-2）在网格内把ABC以原点O为位似中心放大，A1（2，-6），B1（6，-2），C1（0，-2）.变式拓展变式拓展3.如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 （3，1），（2，-1） 在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似OCD， 使新图与原图的相似比为2：1 解：解：如图所示：知识点知识点4 4 位似变换与坐标位似变换与坐标1.位似图形对应点的坐标的变化规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为 位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么 与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的坐标 (kx,ky)或(-kx,-ky).2.位似与平移、轴对称、旋转之间的联系和区别 位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基 本形式，它们本质区别在于：平移、轴对称、 旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化 是相似(扩大、缩小或不变)变化.3.平移、轴对称、旋转、位似变化的坐标变化规律(1)平移变化：对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度.(2)轴对称变化：以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.(3)旋转变化：一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数.(4)位似变化：当以原点为位似中心是，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比.【例例4 4】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(1，1)(1)将ABC沿x轴向左 平移3个单位，得到 A1B1C1，画出A1B1C1.(2)将A1B1C1以B1为位 似中心，以位似比 1：3放大，得到 A2B1C2，画出 A2B1C2(3)写出A2、C2坐标解析：解析：(1)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出图形；(3)利用(2)中所求得出对应点坐标即可解：解：(1)如图所示：A1B1C1即为所求； (2)如图所示：A2B1C2即为所求； (3)A2(4，3)，C2(5，0)变式拓展变式拓展4.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正 方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“ 格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形.在 建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(-1，-1).(1)把ABC向左平移8格后得到A1B1C1，画出 A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；(2)把ABC关于y轴翻折后得到A2B2C，画出 A2B2C2的图形并写出点B2的坐标；(3)把ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对 应边长的比为1：2，画出AB3C3解：解：(1)如图所示：A1B1C1即为所求，点B1的坐标 为(-9，0)； (2)如图所示：A2B2C2即为所求，点B2的坐标 为(-5，0)； (3)如图所示：AB3C3即为所求随堂检测随堂检测1.如图，线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)， B(4，2)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后 得到线段DE若DE=1， 则端点D的坐标为（ ）A.(2，1) B.(2，2) C.(1，1) D.(1，2)2.下列说法：位似图形一定不是全等图形；位似图形一定是相似图形；两个位似图形面积的比等于位似比的平方；位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比其中正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个CB3.ABC和ABC是位似图形，且面积之比为 4：1，则ABC和ABC的对应边AB和 AB的比为 4.(2014营口)如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-1，4)， C(-3，2) (1)画出ABC关于y轴对 称的图形A1B1C1，并 直接写出C1点坐标； (2)以原点O为位似中心， 位似比为1：2，在y轴 的左侧，画出ABC放 大后的图形A2B2C2， 并直接写出C2点坐标2:1解：解：(1)如图所示：A1B1C1，即为所求， C1点坐标为：(3，2)； (2)如图所示：A2B2C2，即为所求， C2点坐标为：(-6，4).5.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中 有ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是 （0，0）.（1）以O为位似中心，作ABCABC，相 似比为1：2，且保证ABC在第三象限；（2）点B的坐标为 ；（3）若线段BC上有一点D， 它的坐标为（a，b）， 那么它的对应点D 的坐标为 （-2，-1）解：解：（1）如图所示： ABC即为所求