几何几何: : 魅力及应用魅力及应用丘成桐丘成桐美国哈佛大学美国哈佛大学1 科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关系。系。 假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提，假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提，做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。传世之学，更无足论了。传世之学，更无足论了。2 即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜，名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜，名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜，以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问，间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问，间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问，更遑论传世之学了。更遑论传世之学了。更遑论传世之学了。 做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形成这个先决的条件。成这个先决的条件。成这个先决的条件。3 在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。4 我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心雕龙一小段，使我记忆尤深。雕龙一小段，使我记忆尤深。5 文文心心雕雕龙龙：嗟嗟呼呼，身身与与时时舛舛，志志共共道道申申，标标心心于于万万古古之之上上，而而送送怀怀与与千千载载之之下下。6崇崇基基学学院院门门前前对对联联崇崇崇高高高惟惟惟博博博爱爱爱本本本天天天地地地立立立心心心无无无间间间东东东西西西沟沟沟通通通学学学术术术基基基础础础在在在育育育才才才当当当海海海山山山胜胜胜境境境有有有怀怀怀抱抱抱与与与陶陶陶铸铸铸人人人群群群 丘丘丘镇镇镇英英英7 父父父亲亲亲很很很注注注重重重我我我有有有崇崇崇高高高的的的志志志向向向，所所所以以以很很很早早早教教教导导导我我我的的的古古古文文文中中中就就就有有有左左左传传传论论论三三三不不不朽朽朽的的的文文文章章章。 左左左传传传 叔叔叔孙孙孙豹豹豹论论论三三三不不不朽朽朽 太太太上上上有有有立立立德德德，其其其次次次有有有立立立功功功，其其其次次次有有有立立立言言言，虽虽虽久久久不不不废废废，此此此之之之谓谓谓不不不朽朽朽。 立立立德德德立立立功功功之之之道道道，必必必以以以谦谦谦让让让质质质朴朴朴为为为主主主会会会当当当凌凌凌绝绝绝顶顶顶，一一一览览览众众众山山山小小小轻轻轻妄妄妄浮浮浮誇誇誇之之之言言言也也也。8 从从从中中中国国国古古古文文文中中中，可可可以以以看看看到到到做做做科科科学学学的的的方方方法法法，例例例如如如： 王王王国国国维维维论论论做做做大大大学学学问问问三三三个个个过过过程程程 柳柳柳柳柳柳永永永永永永衣衣衣带带带渐渐渐宽宽宽终终终不不不悔悔悔，为为为伊伊伊消消消得得得人人人憔憔憔悴悴悴。 晏晏晏晏晏晏殊殊殊殊殊殊昨昨昨夜夜夜西西西风风风凋凋凋碧碧碧树树树，独独独上上上高高高楼楼楼，望望望尽尽尽天天天涯涯涯路路路。 辛辛辛辛辛辛弃弃弃弃弃弃疾疾疾疾疾疾众众众里里里寻寻寻他他他千千千百百百度度度，蓦蓦蓦然然然回回回首首首，那那那人人人却却却在在在灯灯灯火火火阑阑阑珊珊珊处处处。其其其实实实我我我想想想加加加一一一首首首词词词： 宋宋宋宋宋宋徽徽徽徽徽徽宗宗宗宗宗宗天天天遥遥遥地地地远远远，万万万水水水千千千山山山，知知知他他他故故故宫宫宫何何何处处处，怎怎怎不不不思思思量量量，除除除梦梦梦里里里有有有时时时曾曾曾去去去。9 除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学作品，其中一首诗使我十分感动的是：作品，其中一首诗使我十分感动的是：作品，其中一首诗使我十分感动的是： 英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦 “ “ “希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却太阳光线，万般没了。太阳光线，万般没了。太阳光线，万般没了。” ” ” “ “ “马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。” ” ” 梁启超翻译梁启超翻译梁启超翻译10欧几里得(公元前350年) 原本 欧几里得几何公设欧几里得几何公设 任意两点间可作唯一的直线任意两点间可作唯一的直线 任何线段可以无限延长任何线段可以无限延长 以任一点为中心和任一距离为半以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆径可作一圆 所有直角彼此相等所有直角彼此相等 对于一直线对于一直线L和该直线外的一点和该直线外的一点P，存在唯一通过存在唯一通过P，并和并和L不不相交的直线。相交的直线。11 几何公设仅是一些定义。庞加莱庞加莱12毕达哥拉斯 给出一个直角三角形给出一个直角三角形给出一个直角三角形给出一个直角三角形 该定理是几何学的一个基础该定理是几何学的一个基础该定理是几何学的一个基础该定理是几何学的一个基础 三元数组三元数组三元数组三元数组(3,4,5)(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。在古代文明中是非常著名的。在古代文明中是非常著名的。在古代文明中是非常著名的。我们称我们称我们称我们称 (a,b,c)(a,b,c) 为毕达哥拉斯三元数组。为毕达哥拉斯三元数组。为毕达哥拉斯三元数组。为毕达哥拉斯三元数组。13毕达哥拉斯三元数组 希腊人意识到，当希腊人意识到，当希腊人意识到，当希腊人意识到，当 时，时，时，时，c c 不是有理数，不是有理数，不是有理数，不是有理数，也就是说，也就是说，也就是说，也就是说，c c 不是两个整数的商。不是两个整数的商。不是两个整数的商。不是两个整数的商。 可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组这里这里这里这里 都是正整数。都是正整数。都是正整数。都是正整数。 （毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图）14毕达哥拉斯三元数组一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。这样的整数叫同余数。这样的整数叫同余数。同余数：例如，同余数：例如，1 1，2 2，3 3，4 4不是；不是；5 5，6 6，7 7是。是。面积为面积为5 515同 余 数19831983年，年， TunnellTunnell用用 Birch-Birch-SwinnertonSwinnerton-Dyer -Dyer 猜想猜想证明了：证明了： 如果如果n n 是一个奇的非平方整数，是一个奇的非平方整数， n n 是同余数当是同余数当且仅当满足方程且仅当满足方程的三元数组的三元数组(x,y,z)(x,y,z) 的个数是满足方程的个数是满足方程 的三元数组的三元数组(x,y,z)(x,y,z) 的个数的两倍。的个数的两倍。16椭 圆 曲 线如果同余数如果同余数如果同余数如果同余数n n 是由三元数组是由三元数组是由三元数组是由三元数组(x,y,z)(x,y,z)构成的直角三角构成的直角三角构成的直角三角构成的直角三角形的面积，这里形的面积，这里形的面积，这里形的面积，这里 x,y,z x,y,z 均是有理数，设均是有理数，设均是有理数，设均是有理数，设 我们发现我们发现我们发现我们发现 满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。 17椭圆曲线如果如果 和和 是一曲线的两点，是一曲线的两点， 是直线是直线 和该曲线的交点，那么和该曲线的交点，那么稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论中起着非常重要的作用。中起着非常重要的作用。18椭圆曲线 同余数n n 是同余数是同余数 椭圆曲线椭圆曲线 有无限多个有理数有无限多个有理数解。解。 某些相伴的函数在某些相伴的函数在 处为零。处为零。 Theta Theta函数的某些积的系数为零。函数的某些积的系数为零。19柏拉图多面体正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每个顶点相连着同样数目的面。个顶点相连着同样数目的面。仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体。二面体，正二十面体。20柏拉图多面体这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理论中非紧致卡拉比论中非紧致卡拉比丘成桐流形有关。丘成桐流形有关。 各多面体间的对偶各多面体间的对偶 面面 顶点顶点 边边正四面体正四面体 4 4 4 4 6 6立方体立方体 6 6 8 8 12 12正八面体正八面体 8 8 6 6 12 12正十二面体正十二面体 12 12 20 20 30 30正二十面体正二十面体 20 20 12 12 30 3021欧 拉 数对于柏拉图多面体对于柏拉图多面体: :欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个闭的多面体。分别记闭的多面体。分别记V,E,F,V,E,F,为该多面体的顶点数为该多面体的顶点数, ,边数和面数，那么边数和面数，那么 这里这里 h h 是环柄个数是环柄个数对于球面对于球面, , h=0h=0, ,2(1-h) 2(1-h) 称为称为欧拉数欧拉数22欧 拉 数 环柄数分别为环柄数分别为环柄数分别为 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 323对称性正多面形正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念，正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念，支配着几何学的发展。支配着几何学的发展。晶体按照对称群分类晶体按照对称群分类24高斯博涅公式对多面体我们可以指定与某个顶点对多面体我们可以指定与某个顶点 v v 相相连的面的曲率为连的面的曲率为 - - 与与 v v 相连的面的内夹角相连的面的内夹角每个顶点处曲率之和为每个顶点处曲率之和为 高斯高斯- -泊涅泊涅- -魏依魏依- -艾伦多夫和陈省身推艾伦多夫和陈省身推广了上述公式广了上述公式25高斯博涅公式这类联系几何信息和拓扑量的公式在现代几何学这类联系几何信息和拓扑量的公式在现代几何学和现代物理学中有着显著的重要性。（在物理语和现代物理学中有着显著的重要性。（在物理语言中，这类公式联系着拓扑荷，拓扑缺陷）言中，这类公式联系着拓扑荷，拓扑缺陷）这类理论建立在陈类基础上。这类理论建立在陈类基础上。19601960年年 阿蒂亚阿蒂亚- -辛格辛格 作出了光辉的推广。分析和几何产生了紧密的联作出了光辉的推广。分析和几何产生了紧密的联系。系。26天 文 测 量希腊天文学家将几何学应用于天文测量。希腊天文学家将几何学应用于天文测量。例如，地球的直径（在赛伊尼的埃拉斯特例如，地球的直径（在赛伊尼的埃拉斯特尼尼 ( (公元前公元前 275 275年年-195-195年年) )对天文测量的愿望反过来又影响着几何学对天文测量的愿望反过来又影响着几何学和三角学的发展。和三角学的发展。27 相信我，如果我可以重新开始学习，我将听从柏拉图的建议，从数学开始。 伽利略28文艺复兴时期笛卡儿笛卡儿(1596-1650)(1596-1650)n n解析几何：笛卡儿坐标系解析几何：笛卡儿坐标系德萨格德萨格 (1591-1661) (1591-1661)n n射影几何射影几何费马费马(1601-1665)(1601-1665)n n变分原理：测地线变分原理：测地线牛顿牛顿 (1642-1727) (1642-1727)n n微积分微积分 莱布尼茨莱布尼茨(1646-1716)(1646-1716)n n微积分微积分29 源于少数原理，却结出累累硕果，这就是几何的骄傲。牛顿牛顿30拓扑和几何的现代发展欧拉欧拉 (1707-1783) (1707-1783)n n多面体的欧拉公式，组合几何，多面体的欧拉公式，组合几何，变分分析，几何与力学，极小曲变分分析，几何与力学，极小曲面。面。高斯高斯 (1777-1855) (1777-1855)n n双曲几何双曲几何 ( ( 和罗巴切夫斯基和罗巴切夫斯基 ( ( 1792-1856), 1792-1856), 波尔约波尔约 (1802- (1802-1829)1829)一起一起 ) )，高斯曲率的内蕴，高斯曲率的内蕴 定义。定义。 ) )31曲率的内蕴定义一张纸的曲率为零。可以将纸弯成一个圆柱面。一张纸的曲率为零。可以将纸弯成一个圆柱面。两个曲面是相同的：不拖长或撕裂曲面。两曲面两个曲面是相同的：不拖长或撕裂曲面。两曲面的形状不同。的形状不同。两类几何：两类几何：n n内蕴度量给出高斯曲率内蕴度量给出高斯曲率n n外蕴形状给出主曲率外蕴形状给出主曲率悬链面悬链面 螺旋面螺旋面 ( (等距形变等距形变 ) )demodemo32高斯(1817)我越来越确信几何的必然性无法被验证，至少无法被人类或为了人类而验证。我们或许能在另一种生命中领悟到那无法知晓的空间的本质。我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类。几何和力学却不可分割。33黎曼(1826-1866)在抽象定义的空间上引入黎曼度量在抽象定义的空间上引入黎曼度量在无穷小近似下就是欧氏几何。然在无穷小近似下就是欧氏几何。然而只在一阶近似下是等同的。而只在一阶近似下是等同的。二阶近似由度量的曲率张量来衡量。二阶近似由度量的曲率张量来衡量。导致了几何学的革命。导致了几何学的革命。 克里斯托费尔，列维克里斯托费尔，列维- -齐维塔，比安齐维塔，比安基基，发展了这类抽象空间上的，发展了这类抽象空间上的微积分。微积分。34黎 曼 面后来人们意识到对二维空间，每个黎曼度量都可后来人们意识到对二维空间，每个黎曼度量都可以写成以写成如果引入复数如果引入复数度量可写成度量可写成35黎 曼 面这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯一的。一的。具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。此概念应用于计算机图形学。此概念应用于计算机图形学。36黎 曼 面 曲面间的全纯变换曲面间的全纯变换demodemo37高斯曲率黎曼面的高斯曲率为黎曼面的高斯曲率为黎曼面给出称为复流形的首个例子。黎曼面给出称为复流形的首个例子。问题：如何重新发现度量？问题：如何重新发现度量？有一个黎曼面，即给出一个复坐标有一个黎曼面，即给出一个复坐标 z z。有一个定义在黎曼面上的曲率函数有一个定义在黎曼面上的曲率函数 K K。38高斯曲率 39黎曼度量的曲率在高维情形，黎曼度量的曲率远不是一个数量函在高维情形，黎曼度量的曲率远不是一个数量函数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的，数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的，称为曲率张量。称为曲率张量。可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量，可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量，称为里奇张量。记为称为里奇张量。记为里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。 记为记为 。40爱因斯坦方程黎曼几何被爱因斯坦黎曼几何被爱因斯坦( (在格罗斯曼、希尔伯特帮助下在格罗斯曼、希尔伯特帮助下) )用来用来描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。爱因斯坦方程爱因斯坦方程 这里这里 是物质张量（引力由度量是物质张量（引力由度量 的全部的曲率张量的全部的曲率张量来描述）来描述）爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线性理论。（性理论。（ 是引力位势，是未知量）。是引力位势，是未知量）。41时 空一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时空有很多的对称性。空有很多的对称性。因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论中因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论中无法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等无法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等. .对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给出了总质量、总动量和总角动量的定义。出了总质量、总动量和总角动量的定义。42正 质 量一个复杂的问题是在某些合理的条件下一个复杂的问题是在某些合理的条件下, ,证明总质证明总质量是正的。量是正的。这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研究三维流形的几何。究三维流形的几何。萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜想：研究空间中的极小曲面。想：研究空间中的极小曲面。后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质量猜想。量猜想。43求解爱因斯坦方程广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方程。程。物质张量为零物质张量为零 的情形。的情形。黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个闭空间，没有物质却有引力？闭空间，没有物质却有引力？当空间具超对称性时，该问题较容易。当空间具超对称性时，该问题较容易。44求解爱因斯坦方程例如例如, , 当空间具复坐标当空间具复坐标 黎曼度量并可写成黎曼度量并可写成这种情况下，有一个重要的量这种情况下，有一个重要的量有拓扑意义有拓扑意义由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。空间容许真空解要求第一陈类为零。空间容许真空解要求第一陈类为零。45卡拉比-丘成桐空间第一陈类为零可以在代数意义下验证。第一陈类为零可以在代数意义下验证。丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想的一部分。的一部分。这类空间称为卡拉比这类空间称为卡拉比- -丘成桐空间。丘成桐空间。椭圆曲线椭圆曲线 也是一个卡拉比也是一个卡拉比- -丘成桐空间。丘成桐空间。柏拉图多面体和某些卡拉比柏拉图多面体和某些卡拉比- -丘成桐空间有着紧密丘成桐空间有着紧密地联系。地联系。4647卡拉比-丘成桐空间记记 X X 为一五次卡拉比为一五次卡拉比- -丘成桐空间，其由射影空间中的下丘成桐空间，其由射影空间中的下述齐次多项式定义述齐次多项式定义: :简单地说，简单地说，X X上上d d 次有理曲线是一个次有理曲线是一个d d 次多项式次多项式 解解 记记 是是X X上上 d d 次有理曲线的个数。次有理曲线的个数。如何计算如何计算 一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中 的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的 。19981998年，连波年，连波- -刘克峰刘克峰- -丘成桐首次给出完整的论证，使问丘成桐首次给出完整的论证，使问题得以最终解决。题得以最终解决。48卡拉比猜想的解决l l卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度 量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。l l最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形 变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。l l可证明一个基本的不等式（米姚卡可证明一个基本的不等式（米姚卡- -丘成桐）：对于代数曲丘成桐）：对于代数曲 面面S,S, l l 是曲面的欧拉数，是曲面的欧拉数， 和曲面的拓扑指标有关。和曲面的拓扑指标有关。l l该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑限制该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑限制. .49全纯1-形式受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德 拉姆，霍奇，小平邦彦发展了流形上的调和形式拉姆，霍奇，小平邦彦发展了流形上的调和形式理论，将流形上的分析与整体拓扑联系起来。理论，将流形上的分析与整体拓扑联系起来。例子，在闭曲面上，每个环柄给出一个全纯例子，在闭曲面上，每个环柄给出一个全纯1-1-形式。形式。其给出了在曲面上构造正交网的一种方法。其给出了在曲面上构造正交网的一种方法。50性质：三角剖分和分解相互独立51大范围分析的发展霍奇理论的发展在代数几何中引入了基本的分析霍奇理论的发展在代数几何中引入了基本的分析工具。工具。黎曼黎曼- -洛赫公式和阿蒂亚洛赫公式和阿蒂亚- -辛格指标公式被用来解辛格指标公式被用来解决决 代数几何以及量子场论中的基本问题，影响深远。代数几何以及量子场论中的基本问题，影响深远。在过去的三十年中，量子理论和量子场论对几何在过去的三十年中，量子理论和量子场论对几何学也有着重要的启发。学也有着重要的启发。52杨振宁-米尔斯理论杨振宁杨振宁- -米尔斯理论也将非线性理论带入几何学。唐纳森理米尔斯理论也将非线性理论带入几何学。唐纳森理论给出四维流形拓扑研究的重要意义。对埃米特型杨论给出四维流形拓扑研究的重要意义。对埃米特型杨- -米尔米尔斯联络的唐纳森斯联络的唐纳森- -乌伦贝克乌伦贝克- -丘成桐定理给出代数几何的一丘成桐定理给出代数几何的一个新工具。个新工具。许多重要的非线性微分方程在现代几何学中变得非常基本许多重要的非线性微分方程在现代几何学中变得非常基本n n平均曲率流平均曲率流n n调和映照调和映照n n里奇流里奇流 ( (哈密尔顿方程哈密尔顿方程 ) )n n这些方程的超对性形式正变得重要这些方程的超对性形式正变得重要非线性理论非常依赖于对线性理论的深刻理解。双曲方程非线性理论非常依赖于对线性理论的深刻理解。双曲方程的线性理论还没有被很好的理解。的线性理论还没有被很好的理解。53弦理论这些方法已经大量应用于现代弦理论。这些方法已经大量应用于现代弦理论。几何对量子场论的研究卓有成效、神奇非凡。几何对量子场论的研究卓有成效、神奇非凡。微分方程在代数和代数几何中也导致深刻的结果微分方程在代数和代数几何中也导致深刻的结果 有着同样的神奇性。有着同样的神奇性。数学和大部分物理可以认为是几何的一部分数学和大部分物理可以认为是几何的一部分54讨论我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙的最好我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙的最好语言。语言。在在2121世纪，我们将无法区别下面的学科：世纪，我们将无法区别下面的学科：物理学：量子力学，广义相对论，弦理论。物理学：量子力学，广义相对论，弦理论。几何学：示性类，指标公式。几何学：示性类，指标公式。 算子理论。算子理论。 非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程。非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程。 拓扑、代数几何、数论。拓扑、代数几何、数论。55物理和几何基本物理基本物理牛顿力学牛顿力学量子物理量子物理广义相对论广义相对论高能物理高能物理现象的解释、几何概念的丰富现象的解释、几何概念的丰富新工具的引入新工具的引入物理实验物理实验, ,观察观察自洽性，由数学（几何）验证自洽性，由数学（几何）验证基本物理的概念性突破基本物理的概念性突破几何中的分析及方程几何中的分析及方程56基本原理通过数学上的复杂的计算，基本原理应用于通过数学上的复杂的计算，基本原理应用于n n 应用学科。应用学科。n n 几何现象，统计现象，非线性方程，非线性几何现象，统计现象，非线性方程，非线性 离散现象，等等。离散现象，等等。n n 从应用学科中抽象出普适方法，演化成数学学从应用学科中抽象出普适方法，演化成数学学 科。科。n n 基本原理。基本原理。57 我毫不犹豫地说，数学家值得为自己的天空去耕我毫不犹豫地说，数学家值得为自己的天空去耕耘，值得为了那些在物理学中没有应用的理论去研究。耘，值得为了那些在物理学中没有应用的理论去研究。庞加莱庞加莱58 数学家就象法兰西人，无论你对他们说什么，他数学家就象法兰西人，无论你对他们说什么，他们总是翻译成变得完全不同的，自己的语言。们总是翻译成变得完全不同的，自己的语言。歌德歌德59 数学研究介乎物理、文学与工程之间。数学研究介乎物理、文学与工程之间。 物理所以见其真也，物理所以见其真也， 文学所以见其美也，文学所以见其美也， 工程所以见其用也。工程所以见其用也。而三者相通。而三者相通。 以下引文心雕龙论文学之道：以下引文心雕龙论文学之道：60 体体体体 性性性性 夫有天资，学慎始习，斫梓染丝，功在初化，夫有天资，学慎始习，斫梓染丝，功在初化，器成彩定，难可翻移。故童子雕琢，必先雅制，沿器成彩定，难可翻移。故童子雕琢，必先雅制，沿根讨叶，思转自圆。八体虽殊，会通合数，得其环根讨叶，思转自圆。八体虽殊，会通合数，得其环中，则辐辏相成。故宜摹体以定习，因性以练才，中，则辐辏相成。故宜摹体以定习，因性以练才，文之司南，用此道也。文之司南，用此道也。61 人之秉才，迟速异分，文之制体，大小殊功。相人之秉才，迟速异分，文之制体，大小殊功。相如含笔而腐毫，杨雄辍翰而惊梦。桓谭疾感于苦思，如含笔而腐毫，杨雄辍翰而惊梦。桓谭疾感于苦思，王充气竭于思虑王充气竭于思虑, , 张衡研京以十年，左思练都以一纪；张衡研京以十年，左思练都以一纪；虽有巨文，亦思之缓也。淮南崇朝而赋骚，枚虽有巨文，亦思之缓也。淮南崇朝而赋骚，枚举应举应诏而成赋，子建援牍如口颂，仲宣举笔似宿构，阮诏而成赋，子建援牍如口颂，仲宣举笔似宿构，阮瑀瑀据案而制书，祢衡当食而草奏；虽有短篇，亦思之速据案而制书，祢衡当食而草奏；虽有短篇，亦思之速也。也。 62神神 思思夫神思方夫神思方夫神思方运运运，万万万塗塗塗竞竞竞萌，萌，萌，规规规矩矩矩虚虚虚位，刻位，刻位，刻镂无镂无镂无形，登形，登形，登山山山则则则情情情满于满于满于山，山，山，观观观海海海则则则意溢意溢意溢于于于海，我才之多少，海，我才之多少，海，我才之多少，将与风将与风将与风云云云而而而并驱并驱并驱矣！方其搦翰，矣！方其搦翰，矣！方其搦翰，气气气倍倍倍辞辞辞前，暨乎篇成，半折心前，暨乎篇成，半折心前，暨乎篇成，半折心始。何始。何始。何则则则？意翻空而易奇，言？意翻空而易奇，言？意翻空而易奇，言征实征实征实而而而难难难巧也。巧也。巧也。 是以意授是以意授是以意授于于于思，言授思，言授思，言授于于于意，密意，密意，密则无际则无际则无际，疏，疏，疏则则则千里，千里，千里，或理在方寸，而求之域表；或義在咫尺，而思隔山河，或理在方寸，而求之域表；或義在咫尺，而思隔山河，或理在方寸，而求之域表；或義在咫尺，而思隔山河，是以秉心是以秉心是以秉心养术养术养术，无务无务无务苦苦苦虑虑虑。 63通通 变变夫夫夫设设设文之文之文之体体体有常，有常，有常，变变变文之文之文之数无数无数无方，何以明其然耶？方，何以明其然耶？方，何以明其然耶？凡凡凡诗赋书记诗赋书记诗赋书记，名理相因，此有常之，名理相因，此有常之，名理相因，此有常之体体体也。文也。文也。文辞气辞气辞气力，通力，通力，通变则变则变则久，此久，此久，此无无无方之方之方之数数数也。名理有常，也。名理有常，也。名理有常，体体体必必必资于资于资于故故故实实实，通，通，通变无变无变无方方方, , ,数数数必酌必酌必酌于于于新新新声声声。故能。故能。故能骋无穷骋无穷骋无穷之路，之路，之路，饮饮饮不竭之源。不竭之源。不竭之源。然然然绠绠绠短者短者短者衔衔衔渴，足疲者渴，足疲者渴，足疲者辍辍辍途，非文理之途，非文理之途，非文理之数尽数尽数尽，乃通，乃通，乃通变变变之之之疎疎疎疏耳。故疏耳。故疏耳。故论论论文之方，譬文之方，譬文之方，譬诸诸诸草木；根草木；根草木；根干丽里干丽里干丽里土而同性，土而同性，土而同性，臭味晞臭味晞臭味晞阳阳阳而而而异异异品矣！品矣！品矣！64赠赠赠赠言河南大言河南大言河南大言河南大学数学所学数学所学数学所学数学所 以天以天以天为师为师为师可以明天理可以明天理可以明天理參造化參造化參造化 以人以人以人为师为师为师可以致良知可以致良知可以致良知识进识进识进退退退 65 谢 谢！6667个人观点供参考，欢迎讨论