第8章 控制系统的状态空间分析 与综合8.1 控制系统的状态空间描述8.1.1 状态空间的基本概念(1)状态和状态变量表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。(2)状态向量把描述系统状态的n个状态变量x1(t)，x2(t)，xn(t)看作向量x(t) 的分量，则向量x(t) 称为n维状态向量，记作：(3)状态空间以n个状态变量作为坐标轴所构成n维空间称为状态空间。(4)状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。用图8.1所示的R-L-C网络说明如何用状态变量描述这一系统。图8.1 R-L-C电路(5)输出方程系统输出量与状态变量输入量的关系称为输出方程。式（8.3）就是图8.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：（8.3）或或(6)状态空间表达式状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式。设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为x1(t),x2(t),xn(t)，则状态方程的一般形式为：（8.4）用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为：（8.6）简写为：因而多输入多输出系统状态空间表达式的矢量形式为：（8.7）8.1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立(1)由系统结构图出发建立状态空间表达式(2)由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式1）传递函数中没有零点时的实现由图8.3，容易列出系统的状态空间表达式为：（8.8）（8.9）图8.3 系统模拟结构图写成矩阵形式，则为：（8.10）简写为：顺便指出，当A阵具有式（8.10）的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1，最后一行的元素可取任意值，而其余元素均为零。2）传递函数中有零点时的实现相应的传递函数为：（8.11）为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶系统。设待实现的系统传递函数为：（8.12）图8.4 系统模拟结构图（8.13）（8.14）从图8.5可以看出，输入函数的各阶导数 作适当的等效移动，就可以用图8.6(a) 表示，只要0,1,2,3系数选择适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如图8.6(b)所示。图8.5 系统模拟结构图图8.6 系统模拟结构图图8.6 系统模拟结构图（8.15）（8.18）（8.19）（8.20）8.1.3 从状态空间表达式求传递函数 阵设系统状态空间表达式为：则系统传递函数矩阵表达式为：（8.21）（8.22）8.1.4 状态空间表达式的线性变换及 规范化(1)线性变换设给定系统为（8.23）线性变换是线性代数学内容，下面仅概括指出本书中常用的几种变换关系。1)化A为对角形若A阵为任意形式且有n个互异实数特征值1,2,n，即|I - A|=0的根，则可由A的特征根直接写出对角阵（8.25）（8.26）（8.27）（8.28）若A阵为友矩阵形式且有n个互异实数特征值1,2,n，则T阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为：若A阵有q个实特征值1，其余(n-q)个为互异实数特征值，但在求解Api= i pi (i =1，2，q)时，仍有q个独立实特征向量p1， pq，则仍可使A化为对角阵 。（8.29）2）化A为约当形若A阵为任意形式且有q个实特征值1，其余（n q）个为互异实数特征值，但在求解Api =i pi (i=1，2，q)时，只有一个独立实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J（8.30）(2)系统的并联型实现已知系统的传递函数1)具有互异根情况式中1，2，n系统的特征根。（8.33）（8.34）（8.36）（8.37）或图8.7 并联型模拟结构图2)具有重根的情况具有图8.8所示的结构，除重根是取积分器串联的形式外，其余均为积分器并联。（8.38）图8.8 并联型模拟结构图8.1.5 离散时间系统的状态空间表 达式相应的系统脉冲传递函数为：（8.41）（8.42）离散时间系统的状态空间表达式：8.2 线性定常系统状态方程的解8.2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。状态方程为齐次状态方程：（8.45）（8.45）（8.44）（8.43）定义则众所周知，纯量微分方程 称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上与其是相似的，故把 称为矩阵指数函数。8.2.2 状态转移矩阵(1)状态转移矩阵的性质性质1或性质2（8.47）（8.48）性质3或性质4对于状态转移矩阵，有：或（8.49）（8.50）性质5（8.51）8.2.3 线性定常系统非齐次方程的解现在讨论线性定常系统在控制作用u (t)作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：（8.52）当初始时刻为t0=0，初始状态为x (0) 时，其解为：很明显，式（8.52）的解x (t)是由两部分组成：等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。（8.53）8.2.4 离散时间系统状态方程的解离散时间状态方程有2种解法：递推法和z变换法。线性定常离散时间系统的状态方程为：（8.55）用迭代法解矩阵差分方程（8.55）：（8.56）8.2.5 连续时间状态空间表达式的离 散化在以上假定情况下，对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化后，则得离散时间状态空间表达式为：式中：（8.57）（8.58）在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的1/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：即：（8.59）8.3 线性定常系统的能控性和能 观性8.3.1 能控性问题(1)线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：（8.60）(2)能控性的判别线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由A，b构成的能控性矩阵：（8.62）（8.61）要使系统能控，则对任意给定的初始状态 x (t0)，应能从式（8.66）解出0，1， ,n-1来，因此，必须保证： 的逆存在，亦即其秩必须等于n。同理，可以证明，对于多输入系统：其能控的充分必要条件是由A，B构成的能控性矩阵：（8.68）（8.67）8.3.2 能观性问题(1)能观性定义能观性表示的是输出y（t）反映状态矢量x（t）的能力。(2)能观性的判别线性连续定常系统：其能观的充分必要条件是由A，C构成的能观性矩阵：满秩，即rankN = n。否则当rankN n时，系统为不能观的。（8.71）（8.72）8.3.3 能控标准型和能观标准型(1)能控标准型当系统的传递函数如式（8.74），则可直接写出其能控标准型：（8.75）设系统的状态空间表达式为：若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换：（8.76）（8.77）8.4 对偶性原理(1)线性定常系统的对偶关系（8.90）图8.9 对偶系统的模拟结构图(2)对偶原理8.5 线性定常系统的极点配置8.5.1 状态反馈与极点配置1)状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制规律，作为受控系统的控制输入。图8.10是一个多输入-多输出系统状态反馈的基本结构。图8.10 状态反馈系统的结构图图中受控系统的状态空间表达式为：状态线性反馈控制律u为：将式(8.93)代入式(8.92)整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式：（8.92）（8.93）（8.94）(2)极点配置问题控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。 完全能控，通过状态反馈必成立（8.95） 完全能控，必存在非奇异变换：（8.96）受控系统的传递函数为：2）加入状态反馈增益阵（8.98）（8.99）闭环传递函数为：3）使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：（8.102）由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数：于是得：（8.103）（8.104）（8.105）8.5.2 输出反馈与极点配置输出反馈有2种形式：一是将输出量反馈至状态微分处；一是将输出量反馈至参考输入。输出量反馈至状态微分处的系统结构图如图8.12所示：图8.12 输出量反馈至状态微分设受控对象动态方程为：输出反馈系统动态方程为：式中G为n1输出反馈阵。（8.106）（8.107）输出量反馈至参考输入的系统的结构图如图8.13所示：其中：该输出反馈系统动态方程为：式中输出反馈矩阵G为r1维。若令GC =K，该输出反馈便等价为状态反馈。（8.108）（8.109）图8.13 输出量反馈至参考输入8.6 状态观测器通常，称 为x (t)的重构状态或估计状态，而称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器。一般， 和x (t)间的等价性常采用渐近等价提法，即使得两者仅成立：图8.14 状态重构问题的直观说明表明状态重构问题含义的直观说明如图8.14所示。观测器也是一个线性定常系统。8.6.1 全维状态观测器（8.110）所谓全维状态观测器，就是以y和u为输入，且其输出 满足如下关系式：（8.111）图8.15 全维状态观测器图8.15 全维状态观测器从图8.15（a）可以导出，按上述方式所构成的全维状态观测器的动态方程为：可以看出，如此得到的观测器就是对被估计系统的直接复制，即为：（8.112）（8.113）结论结论 若线性定常系统 是能观的，则必可采用由式（8.114）所表述的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵G而任意配置(A-GC)的全部特征值。（8.114）（8.115）8.6.2 利用状态观测器实现状态反馈 的系统图8.17是一个带有全维观测器的状态反馈系统：（8.116）（8.117）图8.17 带状态观测器的状态反馈系统（8.118）（8.119）（8.120）（8.121）（8.122）（8.123）（8.124）（8.125）（8.126）则分离定理：分离定理： 若受控系统 能控能观，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。（8.127）例13 设受控系统的传递函数为： 用状态反馈将闭环极点配置为-4j6。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为- 10, - 10）。解 由传递函数可知，系统能控能观，因此存在状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。求状态反馈矩阵K直接由传递函数可以写出系统的状态空间表达式为：令K=k0 k1，得闭环系统矩阵：则闭环系统特征多项式为：与期望特征多项式：比较得：求全维观测器。比较得：全维观测器方程为：闭环系统结构图如图8.18所示：图8.18 例13全维观测器闭环系统结构图图8.18 例13全维观测器闭环系统结构图8.7 李雅普诺夫稳定性分析1892年俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性理论乃是确定系统稳定性的更一般的理论，已经采用状态向量来描述，它不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，在分析某些特定非线性系统的稳定性时，李雅普诺夫理论有效地解决过用其他方法未能解决的问题。8.7.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义设系统方程为：式中x为n维状态向量，且显含时间变量t。f (x，t)为线性或非线性、定常或时变的n维函数，其展开式为：（8.128）假定方程的解为x (t；x0,t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件x0必满足x (t0；x0，t0)=x0（8.129）(1)平衡状态及其稳定性李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有的t，满足：(2)李雅普诺夫关于稳定性的定义（8.130）李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为4种情况。李雅普诺夫意义下的稳定性设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、半径为r 的闭球域S（r）内，即：（8.131）若能使系统方程的解x （t；x0，t0）在t的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为的闭球域S()内，即：则称该xe是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。（8.132）该定义的平面几何表示见图8.19（a）。式中称为向量的范数，其几何意义是空间距离的尺度。如x0 - xe表示状态空间中x0点至xe点之间的距离的尺度，其数学表达式为：（8.133）图8.19 有关稳定性的平面几何表示图8.19 有关稳定性的平面几何表示图8.19 有关稳定性的平面几何表示渐近稳定性不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，而且有：称此平衡状态是渐近稳定的。大范围（全局）渐近稳定性。（8.134）当初始条件扩展至整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。不稳定性不论r规定得多么小，只要在S（r）内有一条从xe出发的轨迹超出S ()以外，则称此平衡状态是不稳定的。8.7.2 李雅普诺夫第2法李雅普诺夫第1法李雅普诺夫第2法1)标量函数的符号性质（8.135）（8.136）（8.137）3）几个稳定判据设系统的状态方程为：如果存在一个标量函数V(x)，它满足：V(x)对所有x都具有连续的一阶偏导数。V(x)是正定的，即当x=0，V(x)=0；x0，V(x)0。（8.138）V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数 =dV(x)/dt分别满足下列条件：（a）若 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定。此为稳定判据。（b）若 为负定，或者虽然 为半负定，但对任意初始状态x (t0)0来说，除去x=0外，对x0， 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还有当x时，V(x) ，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。（c）若 为正定，那么平衡状态xe是不稳定的。此为不稳定判据。8.7.3 李雅普诺夫方法在线性定常系统中 的应用8.8 应用MATLAB进行状态方程 分析求解(1)用MATLAB求取线性系统的时域解(2)用MATLAB判断线性系统的能控性和能观性用MATLAB来判断线性系统的能控性和能 观性是非常方便的。ctrb命令用于求取系统的能控矩阵M，obsv命令用于求取系统的能观矩阵N，命令格式为：式中采用命令rank (M)和rank (N)可以得到能控矩阵M和能观矩阵N的秩，若M或N的秩是n，则系统是状态完全能控的或能观的。(3)用MATLAB解极点配置问题