2.1.1离散型随机变量离散型随机变量高二数学高二数学 选修选修2-31复习引入：复习引入：1、什么是随机事件？什么是基本事件？、什么是随机事件？什么是基本事件？ 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。2、什么是随机试验？、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。如果试验具有下述特点：如果试验具有下述特点：试试验验可可以以在在相相同同条条件件下下重重复复进进行行；每每次次试试验验的的所所有有可可能能结结果果都都是是明明确确可可知知的的，并并且且不不止止一一个个；每每次次试试验验总总是是恰恰好好出出现现这这些些结结果果中中的的一一个个，但但在在一一次次试试验验之之前前却却不不能能肯肯定定这这次次试试验验会会出出现现哪哪一一个个结结果果。它它被被称称为为一一个个随机试验随机试验。简称。简称试验试验。判断下面问题是否为随机试验判断下面问题是否为随机试验(1)京沈京沈T11次特快车到达沈阳站是否正点次特快车到达沈阳站是否正点.(2)1976年唐山地震年唐山地震.2新课引入新课引入: :问题问题1:1:某人射击一次某人射击一次, ,可能出现可能出现: :问题问题2:2:某次产品检查某次产品检查, ,在可能含有次品的在可能含有次品的 100 100 件产件产品中，任意抽取品中，任意抽取 4 4 件，件， 那么其中那么其中含有次品可能是含有次品可能是: : 0 0件，件，1 1件，件，2 2件，件，3 3件，件，4 4件件. . 即即, ,可能出现的可能出现的结果结果可以由可以由: 0, 1, 2, 3, 4 : 0, 1, 2, 3, 4 表示表示. . 命中命中 0 0 环环, ,命中命中 1 1环环, , , ,命中命中 10 10 环环等结果等结果. .即,可能出现的结果可以由: 0, 1, ,10 表示.3 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量那么这样的变量叫做随机变量叫做随机变量每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 试验的所有可能结果可以用一个数来表示；试验的所有可能结果可以用一个数来表示； 在上面例子中，随机试验有下列特点在上面例子中，随机试验有下列特点: : 随机变量常用希腊字母随机变量常用希腊字母X X、Y Y、等表示。等表示。1. 1. 随机变量随机变量 4例如例如: :在问题在问题1 1中中: :某人射击一次某人射击一次, ,命中的环数为命中的环数为.=0,=0,表示表示命中命中 0 0 环环; ;=1,=1,表示表示命中命中 1 1 环环; ;=10,=10,表示表示命中命中 10 10 环环; ;在问题在问题2 2中中: :产品检查产品检查任意抽取任意抽取 4 4件件, , 含有的次品数为含有的次品数为; ;=0,=0,表示表示含有含有 0 0 个次品个次品; ;=1,=1,表示表示含有含有 1 1 个次品个次品; ;=2,=2,表示表示含有含有 2 2 个次品个次品; ;=4,=4,表示表示含有含有 4 4 个次品个次品; ;5问题：问题：1、对于上述试验，可以定义不同的随机变量来表示、对于上述试验，可以定义不同的随机变量来表示这个试验结果吗？这个试验结果吗？2、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？否为偶数，应如何定义随机变量？Y=0,掷出奇数点掷出奇数点1,掷出偶数点掷出偶数点3、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。6 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出一一列出， 这样这样的随机变量叫做的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量2、离散型随机变量、离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为所有取值可以一一列出的随机变量，称为离离散型随机变量。散型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做值，这样的随机变量叫做连续型随机变量连续型随机变量. .问题问题 某林场树木最高达某林场树木最高达3030m,m,那么这个林场的树木高度的那么这个林场的树木高度的情况有那些情况有那些? ?(0(0，3030内的一切值内的一切值可以取某个区间内的一切值可以取某个区间内的一切值7写出下列各随机变量可能的取值写出下列各随机变量可能的取值.（1）从）从10张已编号的卡片（从张已编号的卡片（从1号到号到10号）中任取号）中任取1张，张，被取出的卡片的号数被取出的卡片的号数（2）一个袋中装有）一个袋中装有5个白球和个白球和5个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，个，其中所含白球数其中所含白球数（3）抛掷两个骰子，所得点数之和）抛掷两个骰子，所得点数之和（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数（5）某一自动装置无故障运转的时间）某一自动装置无故障运转的时间（6）某林场树木最高达）某林场树木最高达50米，此林场树木的高度米，此林场树木的高度（1、2、3、n、）（2、3、4、12）（取内的一切值）（取内的一切值）（取内的一切值）（取内的一切值）（1、2、3、10）（0、1、2、3）离散型连续型8又例如：又例如： 任掷一枚硬币，可能出现任掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上正面向上、反面向上这这两种结果，两种结果，0 0，表示正面向上；表示正面向上；1 1，表示反面向上表示反面向上 此外，若此外，若是随机变量，是随机变量，aab b，其中其中a a，b b是常数，是常数，虽然这个随机试验的结果虽然这个随机试验的结果不具有数量性质不具有数量性质，但仍可以用但仍可以用数量数量来表示它，来表示它，我们用变量我们用变量来表示这个来表示这个随机试验的结果：随机试验的结果：则则也是随机变量也是随机变量 9 注注3 3： 若若 是随机变量，则是随机变量，则 （其中（其中a、b是常数）也是随机变量是常数）也是随机变量 注注1 1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量。注注2 2：某些随机试验的结果不具备数量性质，某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。但仍可以用数量来表示它。10思考思考1：（1）电灯泡的寿命）电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？是离散型随机变量吗？（2）如果规定寿命在）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品，小时以上的灯泡为一等品，寿命在寿命在1000到到1500小时之间的为二等品，寿命在小时之间的为二等品，寿命在1000小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随机变量？为一等品或二等品，又如何定义随机变量？11例例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ； (2)某网站中歌曲爱我中华一天内被点击的次数为某网站中歌曲爱我中华一天内被点击的次数为 ；(3)一天内的温度为一天内的温度为 ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得分，未击中目标得0分，用分，用 表示该射手在一次射击中的表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的得分。上述问题中的 是离散型随机变量的是（是离散型随机变量的是（ ） A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)例例2、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：的值表示的随机试验的结果：（1）一个袋中装有）一个袋中装有2个白球和个白球和5个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，其个，其中所含白球的个数中所含白球的个数 ；（2）一个袋中装有）一个袋中装有5个同样大小的球，编号为个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从中随机取出，现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数个球，被取出的球的最大号码数 。B12课堂练习：课堂练习：1、把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得、把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出分，出现两个反面得现两个反面得-3分，其他结果得分，其他结果得0分，用分，用X表示得分的分值，表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的列表写出可能出现的结果与对应的X值。值。2、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：的值所表示的随机试验的结果：（1）从一个装有编号为）从一个装有编号为1号到号到10号的号的10个球的袋中，任取个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为球，被取出的球的编号为X；（2）一个袋中装有一个袋中装有10个红球，个红球，5个白球，从中任取个个白球，从中任取个4球，球，其中所含红球的个数为其中所含红球的个数为X；（3）投掷两枚骰子，所得点数之和为投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶所得点数之和是偶数为数为Y。13例例3、小王参加一次比赛，比赛公设三关，第一、第二关各有、小王参加一次比赛，比赛公设三关，第一、第二关各有两个必答题，如果每关两个题都答对，可进入下一关，第三关两个必答题，如果每关两个题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得价值分别为可一次性获得价值分别为1000元，元，3000元，元，6000元（不得重复元（不得重复 得奖），小王对三关中的问题回答正确的概率依次为得奖），小王对三关中的问题回答正确的概率依次为 且每个问题回答正确与否相互独立，用且每个问题回答正确与否相互独立，用 表示小王所获奖品的表示小王所获奖品的价值，写出价值，写出 的所有可能取值。的所有可能取值。3、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为骰子掷出的点数的差为 ，问：，问：“ ”表示的试验结果表示的试验结果是什么？是什么？14例例4、某城市出租车的起步价为、某城市出租车的起步价为10元，行驶路程不超过元，行驶路程不超过 4km则则按按10元的标准收费。若行使路程超过元的标准收费。若行使路程超过4km，则按每超出则按每超出1km加加收收2元计费（超出不足元计费（超出不足1km 的部分按的部分按1km 计）。从这个城市的计）。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为民航机场到某宾馆的路程为15km。某司机常驾车在机场与此某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程收费（这个城市规定：每停车要转换成行车路程收费（这个城市规定：每停车5分钟按分钟按1km 路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程 （依题意（依题意取整数）是一个随机变量，他所收的费用也是一个随机变量。取整数）是一个随机变量，他所收的费用也是一个随机变量。（1）求费用）求费用 关于行车路程关于行车路程 的关系式；的关系式；（2）已知某旅客实付车费）已知某旅客实付车费38元，问出租车在途中因故停车累元，问出租车在途中因故停车累 计最多几分钟？计最多几分钟？15思考思考2：随机变量与函数有类似的地方吗？随机变量与函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 例如，在含有例如，在含有10件次品的件次品的100件产品中，任意抽取件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。其值域是变化，是一个随机变量。其值域是0,1,2,3,4.16