数字信号处理数字信号处理DSP_Chapter4_变换变换域系统域系统Overview 1.Frequency Response (FR)2.Transform Function (TF)3.Phase Delay and Group DelayDSP: Digital Signal Processing 2页LSI系统的不同描述对于一个线性移不变离散时间系统, 我们有如下的四种描述.频率响应 传递函数差分方程卷积关系 y(n) = x(n)*h(n)DSP: Digital Signal Processing 3频率响应(FR)傅立叶分析把所有信号表示成正弦信号的和, 如正弦函数是LSI系统的特征函数.正弦函数的尺度变换描述了系统的本质特性-Frequency Response.DSP: Digital Signal Processing 4正弦函数作为特征函数IR 的h(n)完全描述了LSI系统输入正弦信号DSP: Digital Signal Processing 5系统的频率响应 H(ej)如果输入x(n)是单位正弦信号, 则脉冲响应为h(n)的系统输出的信号是原信号的|H(ej)|, 相位偏移 argH(ej) = ().|H(ej)|为幅频响应 增益argH(ej)为相频响应 相偏移DSP: Digital Signal Processing 6实正弦信号实际应用的信号都是实数, 如DSP: Digital Signal Processing 7实正弦信号频率为0的实正弦信号通过脉冲响应为h(n)的LSI系统, 它的增益 相偏移 为 (0)DSP: Digital Signal Processing 8系统的暂态/稳态大部分信号从一个有限时间开始, 如DSP: Digital Signal Processing 9系统的暂态/稳态暂态是脉冲响应h(n)傅立叶变换的尾部.对于FIR系统当 n N时 h(n) =0, 此时暂态也为0. 对于任意稳定的IR系统, 当n 很大时, 暂态趋于零.DSP: Digital Signal Processing 10FR Example MA 滤波器 DSP: Digital Signal Processing 11FR ExampleDSP: Digital Signal Processing 12FR Example MA 滤波器输入 0 = 0.1 H(ej0) 4/5 ej0 1 = 0.5 H(ej1) -1/5 ej1输出DSP: Digital Signal Processing 13LSI系统的传递函数对LSI系统的差分方程 (LCCDE)两边取Z变换得:由Z变换的卷积性质得 Zy(n) = Zx(n)*h(n) = X(z) H(z) DSP: Digital Signal Processing 14LSI系统的传递函数传递函数为系统的输出与输入之比:DSP: Digital Signal Processing 15FIR系统的传递函数如果LSI系统的传递函数H(z)中, a(k) = 0, k = 1, 2, , N, 并令 b(0) = 1, 则传递函数为: H(z) = 1 + b(1)z-1 + + b(M) z-M 对应的差分方程为: y(n) = x(n) + b(1)x(n-1) + + b(M) x(n-M) 对应的单位抽样响应为: h(n) = b(0) (n)+b(1)(n-1)+b(M)(n-M)DSP: Digital Signal Processing 16有理多项式的Z变换考虑有理多项式: 为了与Z变换一致, 我们以z-1 作为变量重新整理了多项式.DSP: Digital Signal Processing 17有理多项式Z变换的因式分解可以对有理多项式H(z)作因式分解: zk为分子多项式的根 H(z) = 0, 即zk为H(z)的零点.pk为分母多项式的根 H(z) = , 即pk为H(z)的极点. DSP: Digital Signal Processing 18零点和极点图可以把零点和极点画在同一个复-z平面图中.DSP: Digital Signal Processing 19IIR系统的稳定性如果 a(k) , k = 1, 2, , N 不全为零, 输入端包含输出端的反馈, 则单位冲激响应 h(n) 将无限长, 记为 IIR系统.一个LSI系统稳定的充要条件是它的所有极点都位于单位圆内.Proof: 我们先假设有理多项式 H(z)的极点是单极点, 那么它可以分解为DSP: Digital Signal Processing 20LSI系统稳定性的判据 每个因式 ck z /(z - pk) 对应一个时域序列 ,因此H(z)对应的时域序列为 由于系统稳定的充要条件为 因此为了上式级数有限必须且只需公比 | pk | 1. DSP: Digital Signal Processing 21LSI系统稳定性的判据如果有理多项式含有多重极点, 不妨假设有两重极点 p , 则: H(z)的分解式中含有分式 z /(z - p)2 , 因此: H(z)的时域序列 h(n)中包含级数 , 而这个序列当 |p| max| i| 包含单位圆 稳定DSP: Digital Signal Processing 24有理多项式Z变换的频率响应LSI系统的频率响应关系式:传递函数的关系式: 只要在传递函数中令 z = ej 就可以得到系统的频率响应.DSP: Digital Signal Processing 25有理多项式Z变换的频率响应由传递函数得到系统的频率响应:由于 | z | = 1, 因此当取不同的值时, ej 在单位圆上变化, 可以得到模与幅角都在变化的向量: ej - zr , ej - pk . DSP: Digital Signal Processing 26LSI系统的幅频响应和相频响应复数的运算法则: z = z1 z2 | z | = | z1 | | z2 |, =1+ 2. z = z1 / z2 | z | = | z1 | / | z2 |, =1- 2. LSI系统的幅频响应:LSI系统的相频响应: DSP: Digital Signal Processing 27LSI系统的频率响应举例例: 一个LSI系统的差分方程为 y(n) = x(n) 4 x(n 1) + 4 x(n 2)大致分析一下该系统的幅频和相频响应.解: 容易求得系统的传递函数为 H(z) = 1 4 z-1 + 4 z-2 = (z 2)2/z2 . 这个系统是FIR系统, 它在 z = 2处有两重零点, 在原点处有两重极点. 令 z = ej 则 H(ej) = ( ej 2 )2 / ( ej )2DSP: Digital Signal Processing 28LSI系统的频率响应举例幅频响应: | H(ej) | = | ej 2 |2 / | ej |2 = (cos 2)2 + sin2 = 5 4 cos | H(ej) | 的周期为2 , 当 0 时, 它是一个单调增函数, 当 2 时, 它是一个单调减函数, 当 = 取得最大值 9, 当 = 0时, 取得最小值 1. DSP: Digital Signal Processing 29幅频曲线图DSP: Digital Signal Processing 30相频响应相频响应: ( z 2 ) = ( cos 2 ) + j sin = r ej即 r cos = cos 2 r sin = sin = + arctg (sin / (cos 2 )相位为: () = 2 2 = 2 + 2arctg(sin/(cos 2) 2 .DSP: Digital Signal Processing 31相频响应图DSP: Digital Signal Processing 32Unwrap Phase ResponseMatlab 的子程序为: unwrap(p)DSP: Digital Signal Processing 33IIR系统的信号流图与结构IIR系统的信号流图: y(n)+1 k N a(k)y(n-k) = 0 r M b(r)x(n-r), b(0) = 1用 表示单位延迟, 用 表示乘法器, 表示加法器. Z-1b(i)DSP: Digital Signal Processing 34滤波Idea: 构造 H(ej)分离有用信息.e.g. x(n) = A cos(1n) + B cos(2n) , 第一部分我们感兴趣, 第二部分我们不感兴趣.构造滤波器: | H(ej1) | 1 | H(ej2) | 0那么 y(n) = h(n)*x(n) A cos(1n + (1)DSP: Digital Signal Processing 35Filtering Example3点FIR滤波器 h(n) = 混合频率 1 = 0.1 rad/samp 和2 = 0.4 rad/samp, 滤去 1, 即H(ej1) = 0. H(ej) = n h(n) e-jn = + e-j+ e-j2 = e-j (+(ej + e-j )= e-j (+2 cos()| H(ej) | = | +2 cos() | , =0.4时, |H(ej)|=1, =0.1时, |H(ej)| = 0 = 13.76, = -6.76. DSP: Digital Signal Processing 36Filtering ExampleFilter IR频率 响应Input/ OutputDSP: Digital Signal Processing 37相延迟和群延迟对于正弦输入 x(n) = cos(0n), y(n) = |H(ej0)| cos(0n + (0) , |H(ej0)|为增益, (0)为时偏移或者相偏移. i.e. or, 此处 称为相延迟.DSP: Digital Signal Processing 38Phase Delay Example对于三点滤波器 H(ej) = e-j (+2 cos() () = - () = - () / ) =1 即对于所有频率有一个采样点的延迟.DSP: Digital Signal Processing 39群延迟考虑调制载波 x(n) = A(n) cos(cn), A(n)= A cos(mn), 并且 m c包络的延迟和载波的延迟可能不同. DSP: Digital Signal Processing 40Group Delay 因此 x(n)=Acos(mn)cos(cn) = A/2 cos(m-c)n+cos(m+c)n从而 y(n) = h(n)*x(n) = A/2H(ej(m-c)cos(m-c)n + H(ej(m+c)cos(m+ c)n 在 c m 附近, 假设 | H(ej) | 1, 但是 (c - m ) = l , (c + m ) = u DSP: Digital Signal Processing 41Group Delay y(n) = A/2(cos(c-m)n+ l + cos(m+c)n+ u) = Acos(cn+(u+ l )/2)cos(mn+(u- l )/2)(u+ l )/2为载波相偏移, (u- l )/2为包络相偏移.DSP: Digital Signal Processing 42Group Delay 如果函数(c)局部线性, i.e. (c + ) = (c) + (c) 那么载波相偏移 (u+ l )/2 = (c) , 载波延迟 - (c) / c = p , 相延迟.包络相偏移 (u- l )/2 = (c) m, , Group Delay DSP: Digital Signal Processing 43Group Delay如果()在c附近是非线性的, A(n) 会“相失真”校正.DSP: Digital Signal Processing 44