单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2024-08-31,#,人教,A,版,2019,高二数学（选,修一,）,第二章 直线和圆的方程（单元复习）,目录/CONTENTS,题型突破,核心归纳,知识导图,链接高考,思想方法,课堂检测,知识导图,1,直线的倾斜角,(1),定义：,x,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与,x,轴平行或重合时，规定它的倾斜角为,0.,(2),倾斜角的范围为,0,，,),2,直线的斜率,(1),定义：一条直线的倾斜角,的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母,k,表示，即,k,tan,，倾斜角是,90,的直线没有斜率,核心归纳,4.,两条直线的位置关系,8,.,点与圆的位置关系,点,M,(,x,0,，,y,0,),与圆,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,的位置关系：,若,M,(,x,0,，,y,0,),在圆外，则,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,.,若,M,(,x,0,，,y,0,),在圆上，则,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,.,若,M,(,x,0,，,y,0,),在圆内，则,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,直线与圆相离,.,故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响,.,1.,解决直线与圆的实际应用题的,步骤,2,.,建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则,(1),若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴,.,(2),常选特殊点作为直角坐标系的原点,.,(3),尽量使已知点位于坐标轴上,.,【变式,4-1,】,某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成,(,如图所示,),.,已知隧道总宽度,AD,为,6,m,行车道总宽度,BC,为,2,m,侧墙面高,EA,FD,为,2 m,弧顶高,MN,为,5 m,.,(1),建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程,.,(2),为保证安全,要求行驶车辆顶部,(,设为平顶,),与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有,0,.,5 m,.,请计算车辆通过隧道的限制高度是多少,.,思想方法一：分类与整合思想的应用,思想方法解读：,当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是,“,化整为零，各个击破，再积零为整,”,的数学思想,本题考查两条直线的位置关系以及直线与圆相交的弦长问题本题的易错点，一是未讨论,a,的值，直接令斜率相等；二是求出,a,的值未代回到直线方程进行验证涉及直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长,【变式,5-1,】,设三条直线,2,x,3,a,2,y,18,0,2,ax,3,y,12,0,和,3,x,2,y,6,0,能围成直角三角形，求实数,a,.,思想方法二：数形结合思想的应用,思想方法解读：,实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：,(1),“,以形助数,”,，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维,(2),“,以数定形,”,，把直观图形数量化，使形更加精确,本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理,思想方法三：函数与方程思想的应用,思想方法解读：,1,函数的思想：通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想,2,方程的思想：建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想,【例,7,】,在平面直角坐标系中，曲线,y,x,2,6,x,1,与坐标轴的交点都在圆,C,上,(1),求圆,C,的方程；,(2),若圆,C,与直线,x,y,a,0,交于,A,，,B,两点，且,OA,OB,，求,a,的值,思想方法四：转化与化归思想,思想方法解读：,在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：,(1),一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,(2),将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,(3),将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,【例,8,】,已知,O,：,x,2,y,2,1,，若直线,y,kx,2,上总存在点,P,，使得过点,P,的,O,的两条切线互相垂直，则实数,k,的取值范围是,_,【答案】,k,|,k,1,或,k,1,本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大,(,小,),距离为圆心到直线的距离加上,(,减去,),半径凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题,1.,（多选题）（,2024,新高考,1,卷）,造型,_,可以做成美丽的丝带,，,将其看作图中的曲线C的一部分,，,已知C过坐标原点O,，,且C上的点满足横坐标大于-2,，,到点F,(,2,，,0,),的距离与到定直线x=a,(,a,0,),的距离之积为4,，,则,(,_,),A.a=-2,B.点,(,2,，,0,),在C上,C.C在第一象限的纵坐标的最大值为1,D.当点,(,x,0,，,y,0,),在C上时,，,y,0,A、B、D,点到直线的距离,【,解析】解：A对,，,因为O在曲线上,，,所以O到x=a的距离为-a,而OF=2,，,所以有-a2=4,，,a=-2,，,那么曲线的方程为,B对,，,因为代入,知满足方程；,C错,，,因为,，,求导得,，,那么有f,(,2,),=1,，,，,于是在x=2的左侧必存在一小区间,(,2-s,2,)(,s可以取无限小的数,),上满足f,(,x,),1,，,因此最大值一定大于1；,D对,，,曲线的方程为,，,可化为,(,x-2,),2,+,y,2,=,，,即y,2,=,-,(,x-2,),2,，,因为,故选：ABD,圆的标准方程,2.,（,2022,甲卷）,设点M在直线2x,+,y-1=0上,，,点,(,3,，,0,),和,(,0,，,1,),均在,M上,，,则,M的方程为,【解析】解：由点M在直线2x,+,y-1=0上,，,可设M,(,a,1-2a,)，,由于点,(,3,，,0,),和,(,0,，,1,),均在,M上,，,圆的半径为,=,，,求得a=1,，,可得半径为,，,圆心M,(,1,，,-1,)，,故,M的方程为,(,x-1,),2,+(,y,+,1,),2,=5,，,故答案为：,(,x-1,),2,+(,y,+,1,),2,=5,3.,（,2022,乙卷）,过四点,(,0,，,0,)，(,4,，,0,)，(,-1,，,1,)，(,4,，,2,),中的三点的一个圆的方程为,【解析】解：设过点,(,0,，,0,)，(,4,，,0,)，(,-1,，,1,),的圆的方程为x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F=0,，,即,，,解得F=0,，,D=-4,，,E=-6,，,所以过点,(,0,，,0,)，(,4,，,0,)，(,-1,，,1,),圆的方程为x,2,+,y,2,-4x-6y=0,同理可得,，,过点,(,0,，,0,)，(,4,，,0,)，(,4,，,2,),圆的方程为x,2,+,y,2,-4x-2y=0,过点,(,0,，,0,)，(,-1,，,1,)，(,4,，,2,),圆的方程为x,2,+,y,2,-,x-,y=0,过点,(,4,，,0,)，(,-1,，,1,)，(,4,，,2,),圆的方程为x,2,+,y,2,-,x-2y-,=0,故答案为：x,2,+,y,2,-4x-6y=0,(,或x,2,+,y,2,-4x-2y=0或x,2,+,y,2,-,x-,y=0或x,2,+,y,2,-,x-2y-,=0,),圆的一般方程,4.,（,2023,新高考,1,卷）,已知实数x,y满足x,2,+,y,2,-4x-2y-4=0,，,则x-y的最大值是,(,_,),A.1,+,B.4 C.1,+,3,D.7,C,【解析】解：根据题意,，,x,2,+,y,2,-4x-2y-4=0,，,即,(,x-2,),2,+(,y-1,),2,=9,，,其几何意义是以,(,2,，,1,),为圆心,，,半径为3的圆,，,设z=x-y,变形可得x-y-z=0,，,其几何意义为直线x-y-z=0,，,直线y=x-z与圆,(,x-2,),2,+(,y-1,),2,=9有公共点,，,则有,3,，,解可得1-3,z,1,+,3,，,故x-y的最大值为1,+,3,故选：C,圆的切线方程,5.,（,2023,新高考,1,卷）,过点,(,0,，,-2,),与圆x,2,+,y,2,-4x-1=0相切的两条直线的夹角为,，,则sin,=,(,_,),A.1 B.,C.,D.,【解析】解：圆x,2,+,y,2,-4x-1=0可化为,(,x-2,),2,+,y,2,=5,，,则圆心C,(,2,，,0,)，,半径为r=,；,设P,(,0,，,-2,)，,切线为PA、PB,，,则PC=,=2,，,PAC中,，,sin,=,，,所以cos,=,=,，,所以sin,=2sin,cos,=2,=,故选：B,B,6.,（,2022,新高考,1,卷）,写出与圆x,2,+,y,2,=1和,(,x-3,),2,+(,y-4,),2,=16都相切的一条直线的方程 _,【解析】解：圆x,2,+,y,2,=1的圆心坐标为O,(,0,，,0,)，,半径r,1,=1,，,圆,(,x-3,),2,+(,y-4,),2,=16的圆心坐标为C,(,3,，,4,)，,半径r,2,=4,，,如图：,_,x=-1(填3x+4y-5=0，7x-24y-25=0都正确),|,OC,|,=r,1,+,r,2,，,两圆外切,，,由图可知,，,与两圆都相切的直线有三条,，,l,1,的斜率为,，,设直线l,1,：y=-,，,即3x,+,4y-4b=0,，,由,，,解得b=,(,负值舍去,)，,则l,1,：3x,+,4y-5=0；,由图可知,，,l,2,：x=-1；l,2,与l,3,关于直线y=,对称,，,联立,，,解得l,2,与l,3,的一个交点为,(,-1,，,)，,在l,2,上取一点,(,-1,，,0,)，,该点关于y=,的对称点为,(,x,0,，,y,0,)，,则,，,解得对称点为,(,，,-,),=,，,则l,3,：y=,，,即7x-24y-25=0,与圆x,2,+,y,2,=1和,(,x-3,),2,+(,y-4,),2,=16都相切的一条直线的方程为：,x=-1,(,填3x,+,4y-5=0,，,7x-24y-25=0都正确,),故答案为：x=-1,(,填3x,+,4y-5=0,，,7x-24y-25=0都正确,),直线与圆的位置关系,7.,（,2023,新高考,卷）,已知直线x-my,+,1=0与,C：,(,x-1,),2,+,y,2,=4交于A,，,B两点,，,写出满足“,ABC面积为,”的m的一个值,【解析】解：由圆C：,(,x-1,),2,+,y,2,=4,，,可得圆心坐标为C,(,1,，,0,)，,半径为r=2,，,因为,ABC的面积为,，,可得S,ABC,=,2,2,sin,ACB=,，,解得sin,ACB=,，,设,ACB=,所以,2sin,cos,=,，,可得,=,，,=,，,tan,=,或tan,=2,，,cos,=,或cos,=,，,圆心到直线x-my,+,1=0的距离d=,或,，,=,或,=,，,解得m=