数字电子技术基础数字电子技术基础阎石主编（第五版）阎石主编（第五版）信息科学与工程学院基础部信息科学与工程学院基础部标准与或式和标准或与式之间的关系标准与或式和标准或与式之间的关系【 】内容内容回顾回顾 如果已知逻辑函数如果已知逻辑函数Y=mi时，定能将时，定能将Y化成编号化成编号i以外的那些最大项的乘积。以外的那些最大项的乘积。1逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式【 】内容内容回顾回顾常见逻辑函数的几种形式常见逻辑函数的几种形式与或式、与非与或式、与非- -与非式、与或非式、与非式、与或非式、或非或非- -或非式或非式与或式与或式两次取反两次取反与非与非- -与非式与非式展开展开与或非式与或非式摩根定理摩根定理或非或非- -或非式或非式摩摩根根定定理理展展开开摩根定理展开摩根定理展开2.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法21. 1. 并项法并项法 利用公式利用公式 将两项合并成一项，将两项合并成一项，并消去互补因子。并消去互补因子。2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法【 】内容内容回顾回顾2. 2. 吸收法吸收法 利用公式利用公式A+AB=A消去多余的乘积项消去多余的乘积项。 33. 3. 消项法消项法【例例1】【例例2】利用公式利用公式 消去消去多余的乘积项多余的乘积项。44. 4. 消因子法消因子法【例例1】【例例2】利用公式利用公式 消去消去多余的因多余的因子子。5【例例3】65. 5. 配项法配项法【例例1】【例例2】利用公式利用公式 和和 先配先配项或添加多余项，然后再逐步化简。项或添加多余项，然后再逐步化简。7反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A【例例1】综合例题：综合例题：8反演反演配项配项被吸收被吸收被吸收被吸收【例例2】9【 练习题练习题】化简成最简与或式。化简成最简与或式。只有一个变量不同的只有一个变量不同的两个最大项的乘积等两个最大项的乘积等于各相同变量之和于各相同变量之和(A+C)看作整体运用还原看作整体运用还原律和德摩根定律律和德摩根定律整体提公因子整体提公因子A10消因子法消因子法看作整体运用还原看作整体运用还原律和德摩根定律律和德摩根定律解解:11解解:只有一个变量不同的只有一个变量不同的两个最大项的乘积等两个最大项的乘积等于各相同变量之和于各相同变量之和(A+C)整体提公因子整体提公因子A12另解另解:13 公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。14 公式化简法评价：公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：缺点：公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧握逻辑代数的公式以及简化技巧,目前尚无一套完整目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。的方法，结果是否最简有时不易判断。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。法。卡诺图的基本组成单元是最小项。卡诺图的基本组成单元是最小项。2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法15一一.卡诺卡诺图图1. 定义：定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh）和范奇（和范奇（Veich）提出的。提出的。2. 卡诺图的构成：卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图。构成卡诺图。实质是将实质是将逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和以图形以图形的方式表示出来。的方式表示出来。最小项的最小项的相邻性相邻性就是它们中变量就是它们中变量只有一个是不同的。只有一个是不同的。16卡诺图的构成原则卡诺图的构成原则 构成卡诺图的原则是：构成卡诺图的原则是： N N变量的卡诺图有变量的卡诺图有2 2N N个小方块（最小项）；个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项逻辑相邻：两个最小项, ,只有一个变量的形只有一个变量的形式不同式不同, ,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：几何相邻的含义：一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。17二变量的卡诺图二变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA)(3mAB二变量二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3A AB B0m0 00 01 11 11m2m3m 二变量的卡诺图二变量的卡诺图18三变量的卡诺图三变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCBA)(2mCBA)(3mBCA三变量三变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA)(6mCAB)(7mABC十进十进制数制数0 01 12 23 34 45 56 67 7A ABCBC00000101111110100 01 12m3m1m0m4m5m7m6m 三变量的卡诺图三变量的卡诺图190001111001ABC三变量三变量ABC的卡诺图：的卡诺图：m1m0m2m3m4m5m6m7000111100001ABCDm1m0m2m3m4m5m6m7m13m12m14m15m8m9m10m111110四变量四变量ABCD的卡诺图：的卡诺图：相邻相邻不相邻相邻相邻正确认识卡诺图的正确认识卡诺图的“逻辑相邻逻辑相邻”：是指除了一个变量不同外：是指除了一个变量不同外 其余变量都相同的两个与项。其余变量都相同的两个与项。上下相邻，左右相邻，并呈现上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻循环相邻”的特性，的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。对角线上不相邻。20n五变量的卡诺图五变量的卡诺图21 卡卡诺诺图图中中任任何何几几何何位位置置相相邻邻的的两两个个最最小小项，在逻辑上都是相邻的。项，在逻辑上都是相邻的。 n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个方格，对应表示个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。方格数就扩大一倍。 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适于表示于表示5变量以下的逻辑函数。变量以下的逻辑函数。22 （1 1）从真值表画卡诺图）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（块的值（0 0或或1 1）即可。需注意二者顺序不同。）即可。需注意二者顺序不同。例例1 1： 已知已知Y Y的真值表，要求画的真值表，要求画Y Y的卡诺图。的卡诺图。逻辑函数Y的真值表 A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11卡诺图 二、二、 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数23 （2 2）化为标准与或型）化为标准与或型例例2:2:画出函数画出函数Y(AY(A、B B、C C、D)= m(0,3,5,7,9,12,15)D)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。的卡诺图。 卡诺图 把标准与或表达式中所有的最小项在对应的把标准与或表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入小方块中填入1，其余的小方块中填入，其余的小方块中填入0。 24逻辑函数逻辑函数最小项和的形式最小项和的形式卡诺图卡诺图【例例3】0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m71111000025例例4 画出下面逻辑函数的卡诺图画出下面逻辑函数的卡诺图解：解：26卡诺图如表卡诺图如表ABABCDCD00000101111110101010Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 11 127ABABCDCD00000101111110101010Y Y的卡诺图的卡诺图000011110101(3)(3)观察法观察法 采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中的项填到卡诺图中例例5 用卡诺图表示下面的用卡诺图表示下面的逻辑函数逻辑函数解：其卡诺图如右表所示解：其卡诺图如右表所示AA 1111111128观察法观察法：首先分别将每个与项的原变量用首先分别将每个与项的原变量用1 1表示，表示，反变量对应的变量用反变量对应的变量用0 0表示，在卡诺图上找出交叉点，表示，在卡诺图上找出交叉点，在其方格上填上在其方格上填上1;1;其没有交叉点的方格上填上其没有交叉点的方格上填上0 0。11111001ABC00011110011X00X1X01X10291 111AB11最后将剩下的填011+130练习：画出下列函数的卡诺图练习：画出下列函数的卡诺图3110XX11111111111111000032111010110010111133111111111110111134必须注意必须注意: 在卡诺图中最大项的编号与最小项编在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应的取值是相号是一致的，但对应的取值是相反的。反的。0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m7M0M1M3M2M4M5M7M6如何根据最大项的表达式填写卡诺图如何根据最大项的表达式填写卡诺图? ?35因因为为使使函函数数值值为为0 0的的那那些些最最小小项项的的下下标标与与构构成成函函数数的的最最大大项项表表达达式式中中那那些些最最大大项项下下标标相相同同，所所以以按按这这些些最最大大项项的的下下标标在在卡卡诺诺图图相相应应的的方方格格中中填填上上0 0，其其余余方方格上填上格上填上1 1即可。即可。如何根据最大项的表达式填写卡诺图如何根据最大项的表达式填写卡诺图? ?也也就就是是说说，任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数即即等等于于其其卡卡诺诺图图上上填填1的的那那些些最最小小项项之之和和,也也等等于于其其卡卡诺诺图图上上填填0的的那些最大项之积。那些最大项之积。36【例例】 00 01 11 1001ABC0001111137三三 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数依据：具有相邻性的最小项可以合依据：具有相邻性的最小项可以合 并，消去不同的因子。并，消去不同的因子。 在卡诺图中，凡是几何位置相邻在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。的最小项均可以合并。 1、合并最小项的规则、合并最小项的规则38ABC000111100139ABC0001111001AB?两个最小项相邻且组成矩形框，可以两个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去一个不同的因子。合并成一项，消去一个不同的因子。卡诺圈卡诺圈40两个最小项合并 m3m11BCD41ABCD0001 11 1000011110ABDAD42ABCD0001 11 1000011110不是矩形不是矩形四个最小项相邻且组成矩形框，可以四个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去两个不同的因子。合并成一项，消去两个不同的因子。43四个最小项合并 44ABCD0001 11 1000011110？思考：思考：八个最小项相邻且组成矩形八个最小项相邻且组成矩形框，情况怎样？框，情况怎样？八个最小项相邻且组成矩形框，可以八个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去三个不同的因子。合并成一项，消去三个不同的因子。45八个最小项合并46二、卡诺图化简的步骤二、卡诺图化简的步骤1.将函数化成最小项和的形式；将函数化成最小项和的形式；2. 填卡诺图；填卡诺图；3. 合并最小项；合并最小项；4. 将各乘积项相加，即得到最简与或式。将各乘积项相加，即得到最简与或式。47（1）圈成的矩形框越大越好；）圈成的矩形框越大越好；（3）每个矩形框至少包含一个新的最小项；）每个矩形框至少包含一个新的最小项；（4）必须圈完所有最小项；）必须圈完所有最小项；（5）注意）注意“相接相接”“相对相对”都相邻；都相邻；（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；（2）各最小项可以重复使用；）各最小项可以重复使用；（7）尽可能圈大圈，少圈圈；）尽可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不惟一，结果可能也不唯一。）圈法不惟一，结果可能也不唯一。合合并并最最小小项项应应注注意意为了便于记忆，用一句话概括：为了便于记忆，用一句话概括：可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必须有一个新要大，每圈必须有一个新“1”格格481000001 11ABC0001111001【例例 1】第一步，第一步，将函数化将函数化成最小项和的形式成最小项和的形式。BCAB第二步，第二步，填卡诺图填卡诺图第三步，合并最小第三步，合并最小项项第四步，第四步，各乘积项各乘积项相加相加4911111001ABC0001111001【例例 2】5001111101ABC0001111001【例例 2】5110111101ABC0001111001【例例 2】圈法不惟一，结果可能也不唯一圈法不惟一，结果可能也不唯一52【例例 3】化简化简 Y(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011110A53【例例 4】54【例例 4】1111111111ABCD0001 11 100001111055【例例 5】ABCD0001 11 10000111100000000011111111560100111111111111ABCD0001 11 1000011110【例例 6】求求 的最小项的最小项表达式表达式57【例例 7】根据卡诺图求最简与或式。根据卡诺图求最简与或式。ABCD0001 11 100001111058【例例 7】根据卡诺图求最简与或式。根据卡诺图求最简与或式。(另解另解)ABCD0001 11 1000011110(反函数的最简与或式反函数的最简与或式)(原函数的最简或与式原函数的最简或与式)59卡诺图中，当卡诺图中，当0的数量远远小于的数量远远小于1的数量时，的数量时，可采用合并可采用合并0的方法；的方法；利用卡诺图中的利用卡诺图中的0可求函数的最大项表达可求函数的最大项表达式；式；采用合并采用合并0的方法可直接写出反函数的最的方法可直接写出反函数的最简与或式；简与或式；采用合并采用合并0的方法可求原函数最简或与式。的方法可求原函数最简或与式。60任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数既既可可以以等等于于其其卡卡诺诺图图上上填填1的的那那些些最最小小项项之之和和，也也可可以以等等于于其其卡卡诺诺图图上上填填0的的那那些些最最大大项项之之积积， 因因此此，如如果果要要求求出出某某函函数数的的最最简简或或与与式式，可可以以在在该该函函数数的的卡卡诺诺图图上上合合并并那那些些填填0的的相相邻邻项项。这这种种方方法法简简称称为为圈圈0合合并并，其其化化简简步步骤骤及及化化简简原原则则与与圈圈1合合并并类类同同，只只要要按按圈圈逐逐一一写写出出或或项项，然然后后将将所所得得的的或或项项相相与与即即可可。但但需需注注意意，或或项项的的变变量量取取值值为为0时写原变量，时写原变量， 取值为取值为1时写反变量。时写反变量。 【例例 8】 求函数求函数 Y 的最简或与式。的最简或与式。 610CDAB0001111011001111011110000011110 BDB+D62（1）圈成的矩形框越大越好；）圈成的矩形框越大越好；（3）每个矩形框至少包含一个新项；）每个矩形框至少包含一个新项；（4）必须圈完所有最大项；）必须圈完所有最大项；（5）注意）注意“相接相接”“相对相对”都相邻；都相邻；（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；（2）各最大项可以重复使用；）各最大项可以重复使用；（7）尽可能圈大圈，少圈圈；）尽可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不惟一，结果可能也不唯一。）圈法不惟一，结果可能也不唯一。合合并并时时应应注注意意63【 练习题练习题】用卡诺图化简成最简与或式。用卡诺图化简成最简与或式。640CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB0001111010001111111111100011110650CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB00011110100011111111111000111100CDAB0001111010001111111111100011110求最简或与式求最简或与式661CDAB0001111010010011111111100011110671CDAB0001111010010011111111100011110求最简或与式求最简或与式681CDAB0001111011110010100111100011110691CDAB0001111011110010100111100011110求最简或与式求最简或与式700BCA00011110110001001711CDAB000111101111111111111110001111072小结小结基本要求：基本要求：1. 掌握逻辑函数常用几种最简形式的掌握逻辑函数常用几种最简形式的转换；转换；2. 掌握卡诺图法化简的技巧，会用卡掌握卡诺图法化简的技巧，会用卡诺图法化简逻辑函数。诺图法化简逻辑函数。作业：作业：P41 思考题和习题思考题和习题1-13题中的题中的 (4) (5) (6)(7) 小题小题1-14题中的（题中的（2) (3) (5)小题小题73