义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版）“基本思想基本思想”解读及案例分析解读及案例分析2015年年3月月14日日交流问题纲要交流问题纲要一、为什么？一、为什么？【目的意义目的意义】二、是什么？二、是什么？【概念内涵概念内涵】三、有哪些？三、有哪些？【概念外延概念外延】四、在哪里？四、在哪里？【教材分析教材分析】五、怎么办？五、怎么办？【教学设计教学设计】一、为什么？一、为什么？【目的意义目的意义】社会发展社会发展需要人才需要人才技术人才技术人才创新人才创新人才基础知识基础知识基本技能基本技能基本思想基本思想基本活动经验基本活动经验1. 1. 为了培养创新性人才为了培养创新性人才东北师范大学史宁中教授在漫谈数学的基本东北师范大学史宁中教授在漫谈数学的基本思想一文中（中国大学教学思想一文中（中国大学教学2011年第年第7期）指出：为了培养创新性人才，在修改义期）指出：为了培养创新性人才，在修改义务教育阶段数学课程标准的过程中，把传统务教育阶段数学课程标准的过程中，把传统的的“双基双基”扩充为扩充为“四基四基”，即在基础知识和，即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。经验。2.2.数学思想是数学课程教学的精髓数学思想是数学课程教学的精髓数学课程标准（数学课程标准（2011年版）解读（史宁中主年版）解读（史宁中主编）指出：数学课程固然应该教给学生许多必要编）指出：数学课程固然应该教给学生许多必要的数学知识，但是绝不仅仅以教会数学知识为目的数学知识，但是绝不仅仅以教会数学知识为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。获得数学思想。数学思想是数学科学发生、发展数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。学课程教学的精髓。三、有哪些？三、有哪些？【概念外延概念外延】1. 上位的基本思想（从科学数学的层面）上位的基本思想（从科学数学的层面）2. 下位的思想方法（从学科数学的层面）下位的思想方法（从学科数学的层面）3. 具体的数学方法（从解决问题的层面）具体的数学方法（从解决问题的层面）1. 1. 上位的基本思想上位的基本思想义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（2011年版）解年版）解读（史宁中主编）指出：数学的基本思读（史宁中主编）指出：数学的基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。思想、数学建模的思想。P119即抽象思想、推理思想、建模思想即抽象思想、推理思想、建模思想数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。1. 1. 上位的基本思想上位的基本思想推理能力推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过过归纳和类比归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。结论；演绎推理用于证明结论。 数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。1. 1. 上位的基本思想上位的基本思想模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。意识。 七七桥问题桥问题 相相传传在哥尼斯堡的一个公园里，有七座在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥桥将普雷将普雷格格尔尔河中两个河中两个岛岛及及岛岛与河岸与河岸连连接起来。有人想知接起来。有人想知道，能否从道，能否从这这四四块陆块陆地中任一地中任一块块出出发发，恰好通，恰好通过过每座每座桥桥一次（不重复、不一次（不重复、不遗遗漏），再回到起点。漏），再回到起点。 七七桥问题桥问题数学家欧拉将七数学家欧拉将七桥问题桥问题抽象抽象出来，把每一出来，把每一块陆块陆地看成一地看成一个点，分个点，分别别用用A A、B B、C C、D D四四个点表示，个点表示，连连接两接两块陆块陆地的地的桥桥用用线线表示，由此得到了一表示，由此得到了一个几何个几何图图形。形。这样这样，著名的，著名的“七七桥问题桥问题”便便转转化化为这为这个几何个几何图图形能否一笔画的形能否一笔画的问题问题。 七七桥问题桥问题欧拉于欧拉于17361736年不年不仅仅成功解成功解决了决了这这个个问题问题，证证明明这这种种走法是不可能的，而且开走法是不可能的，而且开创创了数学的一个新的分支了数学的一个新的分支图论图论。1. 1. 上位的基本思想上位的基本思想义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（2011年版）解年版）解读（史宁中主编）指出：数学的基本思读（史宁中主编）指出：数学的基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。思想、数学建模的思想。P119即抽象思想、推理思想、建模思想即抽象思想、推理思想、建模思想数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。1. 1. 上位的基本思想上位的基本思想通过抽象：现实通过抽象：现实 数学数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性从现实世界到数学内部，数学具有一般性通过推理：数学通过推理：数学 数学数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性数学内部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学通过模型：数学 现实现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征：得到数学的基本特征： 一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、 应用的广泛性（模型）应用的广泛性（模型）2. 2. 下位的思想方法下位的思想方法（1）由抽象思想派生出下位的思想方法）由抽象思想派生出下位的思想方法 分类、集合、数形结合、变中有不变、符分类、集合、数形结合、变中有不变、符号表示、对应、极限等号表示、对应、极限等（2）由推理思想派生出下位的思想方法）由推理思想派生出下位的思想方法 归纳、演绎、转化、化归、类比、逼近、归纳、演绎、转化、化归、类比、逼近、代换等代换等（3）由建模思想派生出下位的思想方法）由建模思想派生出下位的思想方法 化简、量化、函数、方程、优化、随机等化简、量化、函数、方程、优化、随机等3. 3. 具体的数学方法具体的数学方法（1）常用的解题方法）常用的解题方法 演绎推理、合情推理、变量替换、等价变演绎推理、合情推理、变量替换、等价变形、分类讨论等形、分类讨论等 分析法、综合法、归纳法、反证法等分析法、综合法、归纳法、反证法等3. 3. 具体的数学方法具体的数学方法（2）常用的操作方法）常用的操作方法 摆一摆、分一分、折一折、画一画、描一摆一摆、分一分、折一折、画一画、描一描、涂一涂、比一比、量一量、剪一剪、描、涂一涂、比一比、量一量、剪一剪、拼一拼。拼一拼。 估算法、笔算法、凑十法估算法、笔算法、凑十法 约分法、通分法、拆分法约分法、通分法、拆分法 短除法、分解法短除法、分解法 假设法、列表法假设法、列表法 方程法、画图法方程法、画图法四、在哪里？四、在哪里？【教材分析教材分析】数学课程标准（数学课程标准（2011年版）指出：数年版）指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中。的过程中。P46 知识的形成知识的形成 知识的发展知识的发展 知识的应用知识的应用1. 1. 抽象思想抽象思想分类思想分类思想 集合思想集合思想数形结合数形结合 对应思想对应思想变中不变变中不变 符号表示符号表示极限思想极限思想2. 2. 推理思想推理思想归纳思想（加法乘法运算律、商不变的规律、分归纳思想（加法乘法运算律、商不变的规律、分数基本性质、三角形内角和、数基本性质、三角形内角和、三角形三边关系三角形三边关系、2.3.5倍数的特征等）倍数的特征等）演绎思想（由归纳得到一般结论的具体应用如：演绎思想（由归纳得到一般结论的具体应用如：三角形内角和、三边关系等）三角形内角和、三边关系等）转化思想（转化思想（9+？、？、小数的运算、分数的运算；面小数的运算、分数的运算；面积公式的推导；解简易方程等等）积公式的推导；解简易方程等等）类比思想（类比思想（加法和乘法交换律加法和乘法交换律、结合律等）、结合律等）3. 3. 建模思想建模思想函数思想（图形的周长、图形的面积、正函数思想（图形的周长、图形的面积、正比例和反比例）比例和反比例）方程思想（认识方程）方程思想（认识方程）挖掘教材中的数学思想因素挖掘教材中的数学思想因素经历知识的形成和发展过程经历知识的形成和发展过程适时引导帮助学生总结提升适时引导帮助学生总结提升应用数学思想解决实际问题应用数学思想解决实际问题五、怎么办？五、怎么办？【教学设计教学设计】教学主线设计教学主线设计一是以一是以问题解决问题解决为教学的为教学的明线明线，镶嵌着知，镶嵌着知识技能，伴随着数学思考，主导课堂教学识技能，伴随着数学思考，主导课堂教学的旋律。的旋律。二是以二是以思想方法思想方法为教学的为教学的暗线暗线，镶嵌着情，镶嵌着情感态度，伴随着问题解决，贯穿课堂教学感态度，伴随着问题解决，贯穿课堂教学的始终。的始终。40cm10cm7m1m两头不种只种一头两头都种10m2m7m1m71+1=84010=4102-1=410m2m40cm10cm20米20米20米月季月季兰花兰花菊花菊花选购下面三种花，选购下面三种花，最少选最少选1 1种，最多选种，最多选3 3种种，一共有多少种不同的选购方案一共有多少种不同的选购方案?只选一种只选一种选两种选两种321三种都选三种都选案例案例1：一一列举：一一列举案例案例2 2：用分类的方法解决问题：用分类的方法解决问题1. 1. 在在11001100的自然数中，一共有多少个数字的自然数中，一共有多少个数字1 1？2. 2. 在在4444的方格图中（如下图），共有多少个的方格图中（如下图），共有多少个正方形？正方形？北师版旧教材北师版旧教材北师版新教材北师版新教材数形结合思想以形显数 以数统形数形结合的作用 描述问题 找到解决问题的思路方法 理解得到的结果 周末，老师一家人步行到南岸景观公园玩。两条路线中，走哪条路线花的时间比较少？小时小时小时小时小时小时老师家老师家南岸景南岸景观公园观公园塔山塔山汽车汽车南站南站小时小时 = = =（1 1）一堆煤）一堆煤 吨，运走了它吨，运走了它 。（2 2） 米相当于米相当于 米的米的 。75 100 下面哪几个分数可以用百分数来表示？下面哪几个分数可以用百分数来表示？哪几个不能？为什么？哪几个不能？为什么？75 10023 10046 10050 100米下面分数可以用百分数来表示吗？下面分数可以用百分数来表示吗？ 9797100100弟弟的身高是哥哥的弟弟的身高是哥哥的弟弟身高弟弟身高 米。米。 9797100100 676710010067%67%（1 1）一堆煤）一堆煤 吨，运走了它吨，运走了它 。（2 2） 米相当于米相当于 米的米的 。75 100 下面哪几个分数可以用百分数来表示？下面哪几个分数可以用百分数来表示？哪几个不能？为什么？哪几个不能？为什么？75 10023 10046 10050 100案例案例4 4：对应思想的渗透：对应思想的渗透O O O O O O O O案例案例5 5：平行四边形的面积：平行四边形的面积变不变？怎么变？为什么？8cm周长不变，面积变不变？周长不变，面积变不变？ 5cm8cm5cm想一想想一想怎样比较这两个图形的面积？怎样比较这两个图形的面积？ 5cm8cm如果它是什么图形就好办了？如果它是什么图形就好办了？怎样将它转化成长方形？怎样将它转化成长方形？ 想一想想一想 5cm8cm周长不变，面积为什么会不断变小？周长不变，面积为什么会不断变小？3cm 4cm想一想想一想看一看看一看想一想想一想1、下列三个平行四边形的面积各是多少？、下列三个平行四边形的面积各是多少？5cm2cm2、这三个平行四边形，什么变？什么不变？、这三个平行四边形，什么变？什么不变？试一试试一试观察下面两个图形，从观察下面两个图形，从图形图形到图形到图形，你想提什么数学问题？，你想提什么数学问题？统一简便准确负号表示的三个关键点圆的面积人教版人教版北师版北师版案例：三角形边的关系案例：三角形边的关系人教版人教版台湾教材台湾教材案例：案例：9 9加几加几苏教版苏教版西师版西师版案例：加法和乘法交换律案例：加法和乘法交换律案例案例1212：方程思想的渗透：方程思想的渗透