第三章 多元线性回归模型- 拟合优度检验与假设检验拟合优度检验与假设检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 1、可决系数与调整的可决系数则 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于 =0所以有： 注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象- 我们有：残差残差平方和： 为方便计算，我们也可以用矩阵形式表示R2而将上述结果代入R2的公式，得到：这就是决定系数R2 的矩阵形式。 判定系数判定系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大（Why?) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 调整的判定系数调整的判定系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是：将残差平方和与总离差平将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。我们有：（1）（2）仅当K=0时，等号成立。即（3）当K增大时，二者的差异也随之增大（4） 可能出现负值。 是经过自由度调整的决定系数，称为修正决定系数。例例1 1以前面的数据为例，以前面的数据为例，Yt = 1 + 2X2 t + 3X3 t + u t 设观测数据为设观测数据为：Y： 3 1 8 3 5 X2：3 1 5 2 4 X3：5 4 6 4 6 试求试求 。解：我们有解：我们有习题习题. 设设 n = 20, k = 3, R2 = 0.70 ， 求求 。 当当n = 10n = 10，n = 5 n = 5 时，时， 又是多少。又是多少。 例例2 2. 设 n = 20, k = 3, R2 = 0.70 ， 求 。 解： 下面改变n的值，看一看 的值如何变化。我们有 若n = 10，则 若n = 5， 则 由本例可看出， 有可能为负值。 这与R2不同 （ ）。 二、方程的显著性检验(F检验) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。 1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全为0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。 因此因此, ,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断断。 根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 服从自由度为(k , n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。 对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：（P54） 二元模型：F=560.5650 （P72）给定显著性水平 ，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,30)= 二元例： F(2,28)=显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。 2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 由由可推出：与或R2R2R2R2在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费二元模型二元模型中中， 三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t检验）检验） 方程的方程的总体线性总体线性关系显著关系显著 每个解释变量每个解释变量对对被解释变量的影响都是显著的被解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t t 检验完成的。检验完成的。 1、t统计量统计量 由于 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为： 其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替: 因此，可构造如下t统计量 2、t检验检验 设计原假设与备择假设： H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 例：柯布-道格拉斯生产函数 用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型得到如下结果（括号内数字为标准误差） ：请检验“斜率”系数和的显著性。解：(1) 检验 的显著性 原假设 H0： = 0 备择假设 H1： 0 由回归结果，我们有：t 用=24321查t表，5%显著性水平下，tc 2.08. t3.83 tc ， 故拒绝原假设H0 。 结论：显著异于0。 (2) 检验 的显著性 原假设H0： = 0 备择假设H1： 0 由回归结果，我们有：t t5.4 tc ， 故拒绝原假设H0 。 结论：显著异于0。注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 1=0=0 进行检验; 另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系： 在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数的t值： 给定显著性水平，查得相应临界值： t(28) 。可见，计计算算的的所所有有t值值都都大大于于该该临临界界值值，所以拒绝原假设。即:2个个解解释释变变量量都都在在95%的的水水平平下下显显著著，都都通通过过了变量显著性检验。了变量显著性检验。 四、参数的置信区间 参数的置信区间用用来来考考察察：在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”。 在变量的显著性检验中已经知道：容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为 、自由度为n-k-1的临界值。 已知在二元模型二元模型例中,样本容量为22，给定，计算得参数的置信区间： 且从回归计算中已得到：给定，查表得临界值：t(19)计算得参数的置信区间： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？ 增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越越大，大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。平方和应越小。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度, ,一般情况下，样本观测一般情况下，样本观测值越分散值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致使的值越大，致使区间缩小。区间缩小。