八年八年级级下册数学下册数学 二次根式的化二次根式的化简简 （最（最简简二次根式）二次根式） 安阳乡中心学校安阳乡中心学校 代登洲代登洲 学习目标学习目标 ?1：掌握积的二次根式和商的二次根式：掌握积的二次根式和商的二次根式的计算公式，会进行简单的二次根式化的计算公式，会进行简单的二次根式化简；简； ?2：理解最简二次根式的概念，会判断：理解最简二次根式的概念，会判断代数式是不是最简二次根式；代数式是不是最简二次根式； 知识探究 1、积的算术平方根的性质 ab?a? b?a? 0,b? 0?两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积 2、商的算术平方根的性质 aa?a? 0,b? 0?bb两个非负数的商的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的商 发现规律：发现规律： a ? ?b ? ?a? ?ba ? ?bab（a0，b0） ， （a0， b0） ( ( a b ) ) = ( ( a ) ) ( ( b ) ) = a b , ,（a0， b0） 其中字母其中字母a、b可以是什么数？有什么限制条件可以是什么数？有什么限制条件吗吗？ 222注意公式里的条件注意公式里的条件噢！噢！ 例题例题1：计算下列各式。：计算下列各式。 (1) 81? 64(2) 25? 6( 3 )59观察与思考观察与思考 5 6 观察式子的观察式子的,你能说出化简后二次根式的特点吗你能说出化简后二次根式的特点吗 ? 53满足下列两个条件的二次根式满足下列两个条件的二次根式 ,叫做最简二次根式叫做最简二次根式 （1）这些二次根式中的被开方数不含能够开的）这些二次根式中的被开方数不含能够开的出来的因式出来的因式 （2）被开方数不是分数）被开方数不是分数 （3）分母中也不含二次根式）分母中也不含二次根式 温馨提示：温馨提示：化简计算时，通常要求最终结果是整式或最化简计算时，通常要求最终结果是整式或最简二次根式，即要求结果的分母里不含有根号，而且各简二次根式，即要求结果的分母里不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式！个二次根式是最简二次根式！ 例题例题1：化简下列各式。：化简下列各式。 (1 )( 4 )50452( 2 )( 5 )2712512( 3 )( 6 )132 .5化简二次根式的方法：化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数 ,然后然后利用积的算术平方根的性质利用积的算术平方根的性质 ,将式子化简。将式子化简。 （2）如果被开方数是分数时）如果被开方数是分数时 ,先利用商的算术平方根的先利用商的算术平方根的性质性质,将其变为二次根式相除的形式将其变为二次根式相除的形式 ,然后利用分母有理然后利用分母有理化化,将式子化简。将式子化简。 1.化简下列二次根式：化简下列二次根式： 解解 ?1?24?4? 6?4?6? 2 6?2?28?4? 7?4?7? 2 7?3?32?4?54?16? 2?16?2?9? 6?9?6? 3 6? 4 2例2：化简下列二次根式 ?1?29ab?a? 0,b? 0?33解： ?9 a b?1一般步骤： 先把被开方式分分解成平方因子和其它因子相乘的形式。 再根据积的算术平方根的2a ? a(a? 0)把平方因性质和 子移到根号外。 ? 3 ?a ?a?b2? 3aab尝试练习 设 a? 0，b? 0，化简下列二次根式。 ?1?1解： ?或72?2?228a b22372?9? 8?3 ?2 ?2? 3? 2?2 ? 6 272?36? 2?6 ?2? 62?2?8a b? 2?22?a2?b2?b? 2ab 2b23在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子全部移到根号外，否则未完成化简。 强化练习 1、下列二次根式的化简正确吗？ ?1? ?3?5?22?2? 3?2?2? 5? 3? 5? 152正确解法： ?3?5?2? 3? 5? 3? 5? 152?2?3?48?4?12? 2 12? 2 4?3 ? 4 348?16?3 ?4 ?3 ? 4 34a ? b ?4a ?b ? 2a? b 性质错用 22222强化练习2： （1） （2） （3） 32721.5 4 26 26212（4） 7（5） 2 21 7 152555105（6） 这些二次根式中这些二次根式中 的的被开方数不含被开方数不含 能够开的出来的能够开的出来的因式因式 ，被开方数不是被开方数不是 分数，分数， 分母中也不含二分母中也不含二次根式，次根式， 满足这三点的二满足这三点的二 次根式叫次根式叫最简二最简二 次根式次根式。 课堂小结课堂小结 二次根式的化简 1、积的算术平方根的性质 ab?a? ba? ?bab（a0， b0） 是化简二次根式的依据之一。 2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子相乘的形式。 3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化为积的形式后才能化简。 4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要全部移到根号外。 4、强化练习、强化练习 1、指出下列各式中哪些是最简二次根式：、指出下列各式中哪些是最简二次根式： 222x y12?1(1 ) 30 m(2)x(3 )(4) x ?2x?4(5) 102xy2、把下列各式化成最简二次根式：、把下列各式化成最简二次根式： (1 ) a ?2a ?a.32yz(2)23x3、 已知 5 ? 2.236求 2000 的近似值(结果保留三个有效数字 )3.化简下列二次根式，其中化简下列二次根式，其中 a0,b0 1825?1?2?92a b42189? 23 2?22555923a?2?2a b ?a b ?b42?3?例3：如图:隔湖有两点A、B，从与AB 方向成直角的BC方向上的点C，测得AC=70m ，CB=50m ，求AB 。 C A B