24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时在经过圆外一点作图的切线，这点和切点之间的线段的在经过圆外一点作图的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的长，叫做这点到圆的切线长切线长. .O切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线长概念PAB OABP.如下图，纸上有一如下图，纸上有一 O，PA为为 O的一条切线，沿着直的一条切线，沿着直线线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B.1.OB是O的一条半径吗？2.PB是O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. APO和BPO有何关系？请证明你所发现的结论请证明你所发现的结论. .APOBPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点，是切点，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90， OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP，RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PB PA = PB， OPA=OPB.OPA=OPB.证一证证一证切线长定理切线长定理PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平分平分APB.APB.从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线条切线，它们的切线长相等，这一点和圆长相等，这一点和圆点的连线平分两条切点的连线平分两条切线的夹角线的夹角. . 几何语言几何语言: :OPAB反思：反思：切线长定理为证明线段切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法相等、角相等提供新的方法PA =PBPA =PBOPA=OPBOPA=OPBAPOB若连接两切点若连接两切点A A，B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的结论新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OPOP垂直平分垂直平分ABABM证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点，是切点，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线. .OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.试一试试一试APO.B若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连接，连接CACA，CBCB，你又能得出什么，你又能得出什么新的结论新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CBCA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点，是切点，PA = PB PA = PB ，OPA=OPB.OPA=OPB.PC=PC.PC=PC.PCAPCB PCAPCB ，AC=BC.AC=BC.C.PBAO（3 3）连接圆心和圆外一点）连接圆心和圆外一点（2 2）连接两切点）连接两切点（1 1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点反思：在解决有关圆的反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形. .想一想想一想探究：探究：PAPA，PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B为切点，直线为切点，直线OPOP交交O O于点于点D D，E E，交，交ABAB于点于点C.C.BAPOCE（1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPAOAPA，OB PB ABOPOB PB ABOP（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCDAOPBOPAOPBOP， AOCBOCAOCBOC， ACPBCPACPBCP（4 4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOBABP AOB（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形如图如图, ,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮, ,如何在它上面截下一块圆形如何在它上面截下一块圆形的用料的用料, ,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢? ?内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义: :与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. .内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, ,叫做三叫做三角形的内心角形的内心. .思考思考【例例1 1】ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC，CACA，ABAB分别相切于点分别相切于点D D，E E，F F，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求，求AFAF，BDBD，CECE的长的长. .【例题】【例题】【例例2 2】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分分别相切于点别相切于点L L，M M，N N，P P，求证：求证： AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDDLMNABCOPABCEFD1 1（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，PA,PBPA,PB是是 O O的切线，切点分别的切线，切点分别是是A,BA,B，如果，如果P P60,60,那么那么AOBAOB等于（等于（ ） A.60 B.90A.60 B.90C.120 D.150C.120 D.150C C四、当堂检测四、当堂检测 巩固新知巩固新知2.2.（杭州（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为中考）如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（ ）A A2 2 B B3 C3 C D D C C3.3.已知：如图已知：如图,PA,PB,PA,PB是是OO的切线，切点分别是的切线，切点分别是A,BA,B，Q Q为为OO上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，交的切线，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F点，已知点，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFPEF的周长的周长. .切线的切线的6 6个性质：个性质：（1 1）切线和圆只有一个公共点）切线和圆只有一个公共点. .（2 2）切线和圆心的距离等于圆的半径）切线和圆心的距离等于圆的半径. .（3 3）切线垂直于过切点的半径）切线垂直于过切点的半径. .（4 4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点）经过圆心垂直于切线的直线必过切点. .（5 5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. .（6 6）切线长定理）切线长定理. . 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：五、课堂小结五、课堂小结