高中选修高中选修2-12-13.2.1立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量1 上一节上一节,我们把向量从平面推广到空间我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了并利用空间向量解决了一些立体几何问题一些立体几何问题.本节我们进一步学习立体几何中的向量方法本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点立体几何研究的基本对象是点、直线直线、平面以及由它们组成平面以及由它们组成的空间图形的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点首先必须把点、直线直线、平面的位置用向量表示出来平面的位置用向量表示出来.思考如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置? ?在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方和一个定方向向( (向量向量),),能确定一条直线在空间的位置吗能确定一条直线在空间的位置吗? ?给一个定点和两个定给一个定点和两个定方向方向( (向量向量),),能确定一个平面在空间的位置吗能确定一个平面在空间的位置吗? ?给一个定点和一个给一个定点和一个定方向定方向( (向量向量),),能确定一个平面在空间的位置吗能确定一个平面在空间的位置吗? ?2OP1、点的位置向量、点的位置向量3ABP2、直线的方向向量、直线的方向向量这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以确不仅可以确定直线定直线l的位置的位置,还可以具体表示还可以具体表示出出l上的任意一点上的任意一点.4obaP3、平面的法向量、平面的法向量这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以具体表示出还可以具体表示出 内的任内的任意一点意一点5法向量：法向量：如果表示向量如果表示向量a的有向线的有向线段所在直线垂直于平面段所在直线垂直于平面，则称这个向，则称这个向量垂直于平面量垂直于平面，记作，记作a，如果，如果a ，那么向量，那么向量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量la类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量a,那么，过点那么，过点A,以向量以向量a为法向量为法向量的平面是完全确定的。的平面是完全确定的。678因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系。等位置关系。4、法向量的运用、法向量的运用9注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。1011例例1 (1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面12例例1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)13分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系例例1 (3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直线是直线 的方向向量的方向向量,根根据下列条件判断据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: 垂直垂直相交相交(斜交斜交)14例例2、已知平面、已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2 平面平面 的一个法向量是的一个法向量是15例例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此则该直线与此平面垂直平面垂直.已知已知:直线直线m,n是平面是平面 内的任意两条相交直线内的任意两条相交直线,且且l m,l n.求证求证:l 证明证明:设直线设直线l,m,n的方向向量分别为的方向向量分别为因为因为l m,l n,所以所以 同理同理因为因为m,n ,且且m,n相交相交,所以所以 内任一直线的方向向量内任一直线的方向向量 可以表示为可以表示为 因为因为所以所以 与与 内任一直线垂直内任一直线垂直. 因此因此 16小结小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具问题的两个重要工具,是实现空间问题的向量方法的媒介是实现空间问题的向量方法的媒介.2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线、平面之间关系的原理与方法平面之间关系的原理与方法,特别是直线特别是直线、平面的位置关系与方平面的位置关系与方向向量向向量、法向量之间的联系法向量之间的联系.17