常系数非齐次线性微分方程 第九节一、一、二、二、二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为例例3. 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得二、二、对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1 . (填空) 设2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: 则则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:例例1. 解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 的通解为换回原变量, 得原方程通解为设特解:代入确定系数, 得例例2.解解: 将方程化为(欧拉方程) 则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A = 1,所求通解为 例例3.解解: 由题设得定解问题则化为特征根: 设特解: 代入得 A1 得通解为利用初始条件得故所求特解为