第一章土力学的基本方程土力学的问题构成了偏微分方程组的边值问题，根据应力或位移为求解的未知函数进行简化，得到基本方程。直接求解一般是十分困难的，还需要进一步简化为平面问题和对称问题。基本方程还为土力学的数值解法奠定了基础。第一节基本方程第二节基本方程的解法第一章Biot动力学基本方程第一节基本方程求解方程:应力平衡方程3个zg其中ui为单元体土骨架的位移分量，wi为土中水相对于土骨架的位移分量，和f为土和水的密度，gi为重力加速度。有效应力原理：应力与应变物理方程6个 = D位移与应变几何方程6个 土体所受总应力， 为土骨架受到的有效应力，为空隙水压力。土空隙中流体的平衡方程：渗流连续性方程：其中n为空隙率(空隙体积与总体积之比），Kf为流体的压缩模量。土体除高频振动外，渗流相对于土骨架的加速度不大，可略去，并以水头h=z+p/fg为场变量，由前两式得上式中渗流系数k三方向不同时，应用不同的值。基本方程的解法上述如此庞大的偏微分方程组的求解是不方便的，通常消去部分未知数，分为位移法和力法，岩土工程一般采用位移法。位移法：以位移为未知量代入物理方程 = D将几何方程再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，称为拉密方程。横向各向同性的本构方程:位移分量表示的平衡方程：边界条件：应力边界条件（可用位移表示）位移边界条件流势边界条件：流量边界条件：第一章弹性力学基本方程基本方程的意义土力学基本方程建立了土力学问题的数学模型，为求解土力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。土力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题。在平面应变和各向同性的本构方程:此时位移分量表示的平衡方程：渗流连续性方程： （求和只取两项）各种具体问题：动力平衡问题(土体中不存在空隙水压力）：静力平衡问题(土体中不存在惯性力）：渗流方程： （设土骨架为刚性）固结问题:一般只考虑饱和土各向同性问题（1/Kf=0)，不考虑惯性力项：其中于是可得称为土的固结系数。mv为土的体积压缩系数。当不考虑土的平均应力的变化时：称为Terzagai-Rendulic固结方程。边界条件为：第二节 基本方程的求解 首先在空间域上离散，得到常微方程组，然后在时间域上离散，得线性代数方程。设分别为场变量的形函数，可以一样，也可不一样。为结点的待定场变量。下面用加权残数法，推导有限元的方程。为结点的待定变量分别为出现的结点数将上述插值函数表示的近似函数代入加权残数方程中：设由及边界条件对前式进行分部积分，并用奥高公式可得积分号和求和号交换后，可写为：可写成矩阵的形式：其中：质量矩阵劲度矩阵耦合矩阵结点力流体压缩矩阵渗透矩阵结点流量具体为：上式是一组常微分方程组，应对时间离散化求解。设在时刻tn的结点变量为un,hn (n=1,2,3.)，则在t=tn+1-tn内，可用下列线性插值公式：由此得求解原理是：已知时刻的结点各个值，以下一时段的 为未知数，求解后，再求出各结点的各个值。 将上述表达式代入求解方程，并在时域上用加权残数法：得（右端仍记为F1.F2式中（W为权函数）其中整理上式得：视权函数W及W 的具体形式，1等的值可能在01之间变化，根据经验 时，上述差分方程才是无条件稳定的。