24.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角1、什么是弦？、什么是弦？2、什么是弧？什么是等弧？、什么是弧？什么是等弧？连接圆上任意两点的线段叫做弦。连接圆上任意两点的线段叫做弦。即：如右图弦即：如右图弦ABAB.OAB 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：如上图圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：如上图 ；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。ABAB.OAB3-5 我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫做圆心角。相交的角叫做圆心角。如图如图3-5所示，所示，AOB叫作圆心角，叫作圆心角， 叫作圆叫作圆心角心角AOB所对的弧。所对的弧。AB下列各角中，是圆心角的是（下列各角中，是圆心角的是（ ）.oCDBA. 如图所示圆心角如图所示圆心角AOB=COD。 它它CDAB们所对的弧们所对的弧 与与 相等吗？它们所对的弦相等吗？它们所对的弦AB与与CD相等吗？相等吗？从而得到下述弧、弦、圆心角三者关系：从而得到下述弧、弦、圆心角三者关系：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果弧相等，那么在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？.AB.DCO1O当当 =ABCD时时（A）（B）（A）（B） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。的其余各组量也相等。在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？.DCO1.BAO当当AB=CD时时（A）（B） 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 ，所对的弦，所对的弦 。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 ，所对的弧，所对的弧 。 相等相等相等相等相等相等相等相等 不能去掉不能去掉. 反例：如反例：如图图，虽虽然然AOB=AOB，但但ABAB，弧，弧AB弧弧AB 定理定理“在同在同圆圆或等或等圆圆中，相等的中，相等的圆圆心角心角所所对对的弧相等，所的弧相等，所对对的弦也相等的弦也相等”中，可否中，可否把条件把条件“在同在同圆圆或等或等圆圆中中”去掉？去掉？为为什么？什么？ 推论推论在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条两条弧弧, ,两条弦（两条弦（4 4）两条弦心距）两条弦心距中中, ,有一组量有一组量相等相等, ,那么它们所对应的其余各组量都分别那么它们所对应的其余各组量都分别相等相等. . 猜一猜猜一猜P966 6OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB在这里可以不说在这里可以不说“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”吗？吗？ 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习四、练习 OE OF证明：证明： OEAB OF CD AB CD AE CF OA OC RTAOE RT COF OE OF 如图所示，在如图所示，在 O中，中， ，ACB=60ACB=60。求证：求证：AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOCAB AC= =证明：证明：AB AC=AB=AC,ABCAB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形又又ACB=60ACB=60ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAB=BC=CA( )( )AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC( )( )在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等（漳州）下列命题是真命题的是（漳州）下列命题是真命题的是（ ）（A A）相等的圆心角所对的弧相等）相等的圆心角所对的弧相等（B B）长度相等的两条弧是等弧）长度相等的两条弧是等弧（C C）等弦所对的圆心角相等）等弦所对的圆心角相等（D D）等弧所对的弦相等）等弧所对的弦相等如图如图ABAB是是OO的直径，的直径， ，COD=35COD=35，求求AOEAOE的度数。的度数。=BCBC DCDC=DEDE D D解：解：=BCBC DCDC=DEDE BOC=COD=DOEBOC=COD=DOECOD=35COD=35 BOE=3COD=335=105BOE=3COD=335=105 AOE=180AOE=180BOE=180BOE=180105105 =75 =75如图如图, ,已知已知OO中中, ,弦弦AB=CDAB=CD 求证：求证：AD=BCAD=BC证明：证明：AB=CDAB=CD= =ABAB CDCDADAD即：即：BCBCABAB BDBDCDCD BDBDAD=BCAD=BC( )( )在同圆中，相等的弦所对的弧相等在同圆中，相等的弦所对的弧相等( )( )在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弧所对的弦相等OABcD例例2如图，如图，AC与与BD为为 O的两的两条相垂直的直径条相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA; 例例3: 你能把你能把 四等分吗？四等分吗？ 作法：作法：、过点作、过点作，交交 于点和点于点和点.点，就把点，就把 四等分四等分.、作、作 的直径的直径.ABCD想一想想一想:如何用直尺和圆规把如何用直尺和圆规把 八等分八等分? 1 1、顶点在、顶点在 的角叫做圆心角。的角叫做圆心角。 2 2、在、在 中，相等的圆心中，相等的圆心角所对的弦角所对的弦 ，所对的弧，所对的弧 。 3 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余各组量也各组量也 。圆心上圆心上同圆或等圆同圆或等圆相等相等相等相等相等相等