映山中学 汪强如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：复习： 可可以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线， 必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。 如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题： 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方法一：方法一：ABCDE必有结论：必有结论：在在AB上上截截取取AE=AC，连结，连结DE。ADEADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延延 长长 AC到到 F， 使使AF=AB，连结，连结DF。必有结论：必有结论：ABDAFD。BD=FD， 如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。B=F，ADB=ADF。 如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：ABCDMN方法三：方法三：作作 DMAB于于 M，DNAC于于N。必有结论：必有结论：AMDAND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （还可以用（还可以用“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边距离相等边距离相等”来证来证DM=DN）证明证明：例题例题已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定义），（平角定义），A3（已证）（已证）A+ C180 （等量代换）（等量代换）3 32 21 1* * A3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证）DE=DC（等量代换）（等量代换）4=C（等边对等角）（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明: :例题例题已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）BFDBCD（S.A.S）1243 FC（已证）（已证）4=C（等量代换）（等量代换）3 32 21 1* * FC（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证）DF=AD（等量代换）（等量代换）4=F（等边对等角）（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义）A+ C180 （等量代换）（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明: :例题例题已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已证）（已证） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）NBDMBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义），（平角定义）， A3（已证）（已证）A+ C180（等量代换）（等量代换）证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知） ND=MD（角平分线上的点到这（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）个角的两边距离相等） 4=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义）（平角定义） A3（已证）（已证）A+ C180（等量代换）（等量代换）练习练习如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）（等边对等角）4* * C3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代换）（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）练习练习如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDF12证明证明: :延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结，连结DF。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）（等量代换） ACB= 2F（三角形（三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）（等量代换）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已证）（已证） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等边对等角）（等边对等角）如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：小结：（ 3） 作作 DMAB于于 M，DNAC于于N。（1）在在AB上上截截取取AE=AC，连结连结DE。（2）延延长长AC到到F，使使AF=AB，连结，连结DF。ABCDEFMN必有结论：必有结论：ADEADC。必有结论：必有结论：ABDAFD。必有结论：必有结论：AMDAND。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。翻折三角形来构造全等三角形。 如如图图，在在ABC中中，AD为为BAC的角平分线。的角平分线。* *3 30 0*作业作业2 21 1* *1.在ABC中，ABAC.求证：BC2.如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD.(1)求证：B与AHD互补；(2)若B2DGA180，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.