线性代数线性代数7.1 7.1 行列式行列式主要内容：主要内容：1. 1. 二阶行列式二阶行列式. .2. 2. 三阶行列式三阶行列式. .3. n3. n阶行列式阶行列式. .4. 4. 行列式的性质行列式的性质. .5. 5. 克莱姆法制克莱姆法制. .我们先从解二元线性方程组引入二阶行列我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组式的概念及计算考虑二元线性方程组 一、一、 二阶行列式二阶行列式如果如果 那么方程组的解为那么方程组的解为 如果对于方程组的系数如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表相应地排列成一个方形表 引入记号引入记号| |那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列竖排的称为列例例1 1 计算下列各行列式计算下列各行列式类似地，三元线性方程组类似地，三元线性方程组 二、二、 三阶行列式三阶行列式的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法 这种展开法称为对角线展开法这种展开法称为对角线展开法下面介绍三阶行列式的展开式下面介绍三阶行列式的展开式：其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a13的代数余子式，的代数余子式，例例2 2 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式：三、三、n n阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般，依此类推，一般地，可以用地，可以用n n个个n n-1-1阶行列式来定义阶行列式来定义n n阶行列式，下面给阶行列式，下面给出出n n阶行列式的定义：阶行列式的定义：定义定义 设设n-1阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式其中其中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j ( ( j=1,2,=1,2,n ) ) 这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j列列后所得的后所得的n-1阶行列式，阶行列式，A1j称为称为a1j的代数余子式的代数余子式由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第上述定义简称为按行列式的第1行展开行展开解解 因为因为a12=a13=0 所以由定义所以由定义例例4 4 计算行列式计算行列式. .解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和四、行列式的性质四、行列式的性质性质性质1 1性质性质2 2 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数就是指存在一个常数k，使使ali=kalj(l=1,2n) 性质性质3 3性质性质4 4推论推论性质性质5 5 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的倍，则所得行列式与原行列式的值相等值相等由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（以（r）代表行，（代表行，（c）代表列代表列2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或第行（或第j 列）列）对应元素的对应元素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或（或（ci）+k（cj）3.互换互换i 行（列）和行（列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci）（cj）性质性质6 604320-1-11044700-1600011 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即D= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n） 行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n, ij）例例按第三行展开计算行列式按第三行展开计算行列式 性质性质7 7推论推论设设n元元n个方程组为个方程组为 其系数行列式为其系数行列式为 五、五、 克莱姆法则克莱姆法则. . 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改换为列的元素依次改换为b1，b2，bn，得到的行列式记作得到的行列式记作Dj，即：即： 关于线性方程组（关于线性方程组（1）的解有下述法则：）的解有下述法则： 当线性方程组（当线性方程组（1）的系数行列式）的系数行列式D0时，时，该方程组有且只有唯一解：该方程组有且只有唯一解： 例例 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 克莱姆法则克莱姆法则解解 因为因为经计算还可得到经计算还可得到方程组的解为方程组的解为、行列式的概念、行列式的概念.、行列式的性质、行列式的性质.、行列式的计算、行列式的计算 .七、小结七、小结作业作业4、克莱姆法则、克莱姆法则