高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第三节第三节 函数的极限函数的极限一、定义一、定义 在自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:的过程表示x0x0x0x-d函数在的过程中, 对应函数值无限趋近于确定值A.y = f(x) f(x) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数, 使得对于适合的一切对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫函数当时的极限, 记作定义1 如果存在常数A，不等式1 1、定义、定义 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系.)(- Axf恒有,00-xx时使当注： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3。几何解释: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2证例3证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4证明：这里，函数在点 x = 1是没有定义的，但函数当x1时的极限存在与否跟它并无关系。事实上，对于任意给定的正数，不等式约去非零因子 x-1后，就化为|x-1| ,因此，只要取 = ， 那么，当时，就有证： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注：在用函数极限的定义证明时，必须找出与之间的联系，以便对于任给的，总能找到对应的，对于满足 0|x-x0|的一切x，使不等式|f(x)-A|0需满足因此，如取那么当x适合不等式即证：就满足不等式对应的函数值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、单侧极限、单侧极限例如, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左极限右极限记作 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系极限: 左极限和右极限极限左极限右极限三者关系且 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左右极限存在但不相等,例6证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向无穷大时函数的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系问题:通过上图可知:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数值函数在的过程中, 对应f(x)无限确定值A.趋近于y = f(x) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系,0, 0X.)( Xx时使当1、定义对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数, 使得对于适合的一切对应的函数值满足不等式,那么常数就叫函数当时的极限, 记作定义2 如果存在常数A，不等式都任意存在 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 2、另两种情形、另两种情形用函数极限的定义容易证明如下定理：定理： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、几何解释、几何解释 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1证证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1 1、有界性定理、有界性定理 如果函数 f(x) 当xx0时的极限存在, 则函数 f(x)在x0的某个去心邻域内有界。思考：比较两者的不同之处！注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界。证明 四、函数极限的性质四、函数极限的性质 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证：不妨设极限值为A. 由极限的定义可知，任取 0, 总存在 0，对于满足不等式0 x-x0的一切x,都有 f (x)-A，即 A - f (x) A +,取 M = maxA -, A +,那么，对于满足不等式0 x-x0的一切x, 都有 f (x)d=AA0U 0(x,d)x Af(x)x0x或则或时当且若推论注： “f(x) 0(或 f(x) 0(A 0,有x 0,有|x|M.其特征是:M 0,有xM2。 x+,表示x保持正值无限增大3。x-,表示x保持负值,但绝对值无限增大 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例：证二者不相等, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（2）自变量趋向某个定数 x0 1。xx0 ,表示x以任意方式趋向x0,但不等于x0其特征是: 0,有0|x-x0|x0 的方式趋向x0其特征是: 0,有x0 xx0 +3。 xx0- ,表示 x 0,有x0 - x x0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 显然,数列an的通项an可以看作下标n(自然数)的函数an= f(n),因此数列极限实际上是函数极限中x+这一情形的特例.