（1）测量误差的概念测量误差的概念（2）测量误差产生和分类测量误差产生和分类（3）各种误差的基本算法各种误差的基本算法（4）误差的传播规律及其在测量中的误差的传播规律及其在测量中的应用应用（5）等精度观测误差分析方法等精度观测误差分析方法（6）不等精度观测误差分析方法不等精度观测误差分析方法5.测量误差基本知识测量误差基本知识5.1.1测量误差的定义测量误差的定义（1）真误差：）真误差：多次观测所得到的观测值与未知多次观测所得到的观测值与未知量客观存在的真值之间的差值，称为测量的真量客观存在的真值之间的差值，称为测量的真误差。误差。真误差真误差=观测值观测值-真值真值（2）最或是值：）最或是值：多次观测值的平均值，也称似多次观测值的平均值，也称似真值真值（3）最或是误差：）最或是误差：观测值与最或是值之差称为观测值与最或是值之差称为最或是误差，又称为似真误差。最或是误差，又称为似真误差。最或是误差（似真误差）最或是误差（似真误差）=观测值观测值-最或是值最或是值5.1.2测量误差来源：测量误差来源： 仪器误差、观测误差与外界环境。仪器误差、观测误差与外界环境。5.1测量误差概述测量误差概述5.1.3测量误差分类测量误差分类按按照照误误差差的的性性质质划划分分：系系统统误误差差、偶偶然然误误差差及粗差。及粗差。（1）系统误差：）系统误差：在在相相同同观观测测条条件件下下对对某某物物理理量量进进行行一一系系列列观观测测，如如果果观观测测误误差差的的正正、负负符符号号及及数数值值大大小小表表现现出出一一致致的的倾倾向向或或保保持持一一定定的的函函数数关关系系，这种误差称为系统误差。，这种误差称为系统误差。（2）偶然误差：）偶然误差：也也即即随随机机误误差差。在在相相同同观观测测条条件件在在对对某某物物理理量量进进行行一一系系列列观观测测，观观测测误误差差的的符符号号和和大大小小没没有有表表现现出出一一致致的的倾倾向向，但但就就大大量量观观测测误误差差来来看，则具有偶然时间的统计规律看，则具有偶然时间的统计规律。（3）粗差：）粗差：测量中的错误测量中的错误5.1.4 5.1.4 多余观测多余观测 由由于于观观测测结结果果中中不不可可避避免免地地存存在在着着偶偶然然误误差差的的影影响响，因因此此，在在测测量量工工作作中中，为为了了提提高高成成果果的的质质量量，同同时时也也为为了了发发现现和和消消除除误误差差，必必须须进进行行多多余余观观测测，即即观观测测值值的的个个数数多多于于确确定定未未知知量量所所必必须须观观测测的的个个数数。有有了了多多余余观观测测，势势必必在在观观测测结结果果之之间间产产生生矛矛盾盾，在在测测量量上上称称为不符值，亦称为不符值，亦称闭合差闭合差。 多多余余观观测测是是发发现现粗粗差差存存在在与与否否以以及及计计算算观测结果中的偶然误差的必要条件。观测结果中的偶然误差的必要条件。5.1.5测量平差及其任务测量平差及其任务1.测量平差测量平差对带有偶然误差的观测成果进行处理的对带有偶然误差的观测成果进行处理的工作就叫做工作就叫做测量平差。测量平差。2.测量平差的任务：测量平差的任务：（1）对一系列带有偶然误差的观测对一系列带有偶然误差的观测值，运用概率统计的方法与最小二值，运用概率统计的方法与最小二乘原理来消除它们之间的不符值，乘原理来消除它们之间的不符值，求出未知量的最或然值（亦称最可求出未知量的最或然值（亦称最可靠值或似真值）。靠值或似真值）。（2）评定测量成果的精度。评定测量成果的精度。 （1）有界性）有界性（2）小误差密集性小误差密集性（3）对称性）对称性 （4 4）抵偿性）抵偿性描述偶然误差特性的函数：描述偶然误差特性的函数：正态分布曲线正态分布曲线。 5.2偶然误差的特性偶然误差的特性1.中误差中误差按有限次观测的偶然求得的标准差称为中误差按有限次观测的偶然求得的标准差称为中误差m，即，即即即n次观测偶然误差的平方和。当次观测偶然误差的平方和。当n趋向于无穷趋向于无穷大时，则中误差变为标准差大时，则中误差变为标准差。而标准差的平。而标准差的平方就是方差方就是方差2。5.3评定偶然误差的指标评定偶然误差的指标22.平均误差：平均误差：3.3. 将多次观测中各次观测真误差的绝将多次观测中各次观测真误差的绝对值的平均值称为平均误差，即对值的平均值称为平均误差，即3. 3. 相对误差相对误差 观观测测误误差差的的绝绝对对值值与与其其对对应应观观测测值值真真值值（或或似似真真值值）之之比比称称为为相相对对误误差差。相相对对误误差差是是个个无无量量纲纲数数，通通常常化化为为分分子子为为1 1的的形形式，即式，即1/M1/M（M M为相对误差的分母）。为相对误差的分母）。 相相对对误误差差是是专专门门用用于于评评价价距距离离测测量量结结果精度的指标果精度的指标4. 4. 相相对对中中误误差差：观观测测值值中中误误差差的的绝绝对对值值与与观观测测值值真真值值（或或似似真真值值）之之比比称称为为相相对对中中误误差差，通通常常化化为为分分子子为为1 1的的形形式式，即即1/M 1/M （M M为相对中误差的分母）。为相对中误差的分母）。4. 4. 极限误差极限误差 （1 1）限限差差：衡衡量量某某一一个个观观测测值值的的质质量量，决决定定其其取取舍舍。限差亦称极限限差亦称极限误误差或允差或允许误许误差。差。 （2 2）限限差差的的选选取取方方法法： 通通常常以以规规定定或或预预期期的的中中误误差的差的3 3倍或倍或2 2倍作为偶然误差的限值，即倍作为偶然误差的限值，即 真真误误差差、中中误误差差和和极极限限误误差差属属于于绝绝对对误误差差，其其量量纲纲与与被被观观测测量量相相同同。相相对对误误差差则则则则考考虑虑了了观观测测量量本身大小对误差的影响，为无量纲量。本身大小对误差的影响，为无量纲量。独立观测值独立观测值函数值函数值误差传播定律误差传播定律5.4.1 5.4.1 线性函数的误差传播规律线性函数的误差传播规律 设有线性函数设有线性函数z z为为 则则根根据据偶偶然然误误差差的的特特性性，可可得得线线性性函函数数的的中误差关系式为中误差关系式为5.4误差传播定律律误差传播定律律5.4.2非线性函数的误差传播公式非线性函数的误差传播公式 非线形函数一般可表达为非线形函数一般可表达为 则同样道理可推导得非线性函数的中误差关系则同样道理可推导得非线性函数的中误差关系式为式为5.4.3 5.4.3 应用误差传播定律的步骤应用误差传播定律的步骤(1)(1)按性质先列出函数关系式按性质先列出函数关系式(2)(2)对对函函数数式式进进行行全全微微分分，得得出出函函数数真真误误差差与与观观测测值值之之间间的关系式的关系式 (3)(3)代入误差传播定律公式，计算函数的中误差代入误差传播定律公式，计算函数的中误差 注意：各观测值独立观测，单位统一注意：各观测值独立观测，单位统一（1）等精度观测：等精度观测：在相同条件下对某物理在相同条件下对某物理量进行的多次观测量进行的多次观测（2）直接平差：直接平差：根据对同一个物理量进行根据对同一个物理量进行多次直接观测的结果，按照最小二乘原多次直接观测的结果，按照最小二乘原理，求其似真值并评定精度的过程，称理，求其似真值并评定精度的过程，称为直接平差。包括等精度直接平差和不为直接平差。包括等精度直接平差和不等精度直接平差。等精度直接平差。5.5等精度直接平差等精度直接平差 （3）最小二乘准则）最小二乘准则:对某量进行对某量进行n次等精度观次等精度观测得到测得到n个观测值，由这个观测值，由这n个观测值确定的似真个观测值确定的似真值为值为x，则称，则称为第为第i个观测值个观测值li的改正数。的改正数。在满足改正数的平方和为最小的条件下确定观在满足改正数的平方和为最小的条件下确定观测量似真值的准则，即称测量似真值的准则，即称为最小二乘法。为最小二乘法。 等精度直接平差过程等精度直接平差过程1.求取物理量的似真值求取物理量的似真值由由根据最小二乘原理根据最小二乘原理求导，并令等式为零，则得求导，并令等式为零，则得结结论论:（1）等等精精度度观观测测的的算算术术平平均均值值即即为为观观测测量量的的似似真值真值（2）在等精度观测条件下，似真误差的总和为零。在等精度观测条件下，似真误差的总和为零。2.观测结果精度评定观测结果精度评定（1）观测值中误差：）观测值中误差：等精度观测值的中误差定义为等精度观测值的中误差定义为其中其中用似真误差代替真误差来求得观测值的中误差用似真误差代替真误差来求得观测值的中误差即即白塞尔公式白塞尔公式（2）似真值中误差）似真值中误差展开算术平均值（即似真值）得展开算术平均值（即似真值）得则根据误差传播定律可得算术平均值的中误差则根据误差传播定律可得算术平均值的中误差如下如下可见，可见，增加观测次数可以提高似真值的精度增加观测次数可以提高似真值的精度。（1）不等精度观测：）不等精度观测：在在不同条件不同条件下对某一物理下对某一物理量进行的多次观测量进行的多次观测（2）表示不等精度观测可靠程度的指标）表示不等精度观测可靠程度的指标“权权”观测条件不同，则各观测值的可靠程度不同，观测条件不同，则各观测值的可靠程度不同，即质量不同，对测量最后结果的影响也不同。即质量不同，对测量最后结果的影响也不同。观测值精度高的所占观测值精度高的所占“比重比重”应大些，而精应大些，而精度低的则占度低的则占“比重比重”小些。这个小些。这个“比重比重”也也就表示了观测值的可靠程度，该比重也就是就表示了观测值的可靠程度，该比重也就是“权权”系数系数，用，用p表示。表示。5.6不等精度直接平差不等精度直接平差 5.6.1加权平均值加权平均值设设某某未未知知量量的的n次次不不等等精精度度观观测测值值为为l1，l2，ln，其其相相应应的的权权为为p1，p2，pn，则该量的似真值为，则该量的似真值为5.6.2权的定义与单位权权的定义与单位权根据权的特征可以将权写为以下形式根据权的特征可以将权写为以下形式当观测值很多时当观测值很多时（1）单位权：单位权：中误差等于中误差等于的观测值，其权必的观测值，其权必然等于然等于1，称该权为单位权，称该权为单位权（2）单位权中误差：单位权中误差：即即为单位权中误差为单位权中误差（3）单位权观测值：单位权观测值：权等于权等于1的观测值的观测值5.6.3实用定权方法实用定权方法（1）水准测量权的确定）水准测量权的确定由由n条不等精度的水准路线测定条不等精度的水准路线测定Q点的高程。点的高程。1）每站观测精度相同每站观测精度相同2）每条线路站数不同每条线路站数不同3）线路高差中误差与线路高差中误差与测站数的关系为测站数的关系为则各路线高差观测值的权可写为则各路线高差观测值的权可写为c为可以选定的常数，为可以选定的常数，Ni为第条水准路线上的测站数，为第条水准路线上的测站数，即即各条水准路线高差的权与其测站数成反比。各条水准路线高差的权与其测站数成反比。（2）角度测量权的确定）角度测量权的确定设对同一角度进行测量设对同一角度进行测量（1）每测回观测精度相同每测回观测精度相同m（2）对该角度进行对该角度进行k组观测组观测ni则，则各组的算术平均则，则各组的算术平均值中误差分别为值中误差分别为则角度观测权值可取为则角度观测权值可取为可见，可见，角度测量权值与各组观测的测回数成正比。角度测量权值与各组观测的测回数成正比。（3）距离丈量时权的确定）距离丈量时权的确定丈量了丈量了n段距离段距离（1）单位距离丈量的精度相同单位距离丈量的精度相同（2）各段观测精度与距离平方根成正比各段观测精度与距离平方根成正比则距离丈量的权可取为则距离丈量的权可取为si为第为第i段距离的观测值（单位：公里）。段距离的观测值（单位：公里）。计算观测值中误差计算观测值中误差1.构造新的观测序列：构造新的观测序列：2.这是一组等精度的单位权观测值这是一组等精度的单位权观测值。3.2.计算新序列的单位权中误差：计算新序列的单位权中误差：4.由等精度观测值的中误差计算公式可得由等精度观测值的中误差计算公式可得3.计算观测值的中误差计算观测值的中误差用最或是误差来表示的单位权中误差的计算用最或是误差来表示的单位权中误差的计算公式如下公式如下由单位权中误差计算观测值中误差由单位权中误差计算观测值中误差5.6.5计算加权平均值中误差计算加权平均值中误差展开加权平均值的表达式展开加权平均值的表达式根据误差传播理论以及权系数的定义式可以根据误差传播理论以及权系数的定义式可以推导得加权平均值的中误差计算公式推导得加权平均值的中误差计算公式5.7由真误差计算观测值中误差由真误差计算观测值中误差设以等精度观测设以等精度观测n个三角形中各内角个三角形中各内角，则闭合差，则闭合差就是三角形内角和的真误差。所以根据中误差就是三角形内角和的真误差。所以根据中误差的定义，三角形内角和的中误差为的定义，三角形内角和的中误差为设设测测角角中中误误差差为为m（等等精精度度观观测测），则则根根据据误误差差传播定律可得三角形测角中误差为传播定律可得三角形测角中误差为