数列数列数列数列6.2.1 等差数列的概念等差数列的概念问题问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了 7 层，层， 试从上到下列出每层钢管的数量试从上到下列出每层钢管的数量.每层钢管数为每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10 等差数列等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前 一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数就叫做等差数列的这个常数就叫做等差数列的公差公差（常用字母（常用字母“d ”表表示）示） 抢答：下列数列是否为等差数列？抢答：下列数列是否为等差数列？1，2，4，6，8，10，12， 0，1，2，3，4，5，6， 3，3，3，3，3，3，3， 2，4，7，11，16， 8，6，4，-2 ， 0，2，4， 3，0，3，6，9， 说出下列等差数列的公差说出下列等差数列的公差0，1，2，3，4，5，6， 3，3，3，3，3，3，3， -8，-6，-4，-2 ， 0，2，4， 3，0，-3，-6，-9， d = 1d = 0d = 2d = - -3常数列常数列根据等差数列的定义填空根据等差数列的定义填空a2 a1d，a3 d （ ） d a1 d，a4 d （ ） d a1 d ，an da2a1 + d2a3a1 + 2 d3a1（ n 1 ） 等差数列的通项公式等差数列的通项公式例例1 求等差数列求等差数列 8，5，2 ， 的通项公式和第的通项公式和第 20 项项解解 因为因为 a18，d 583， 所以这个数列的通项公式是所以这个数列的通项公式是an = 8(n1)(3) ， 即即an 3 n11所以所以a203201149. 例例2 等差数列等差数列5，9，13， 的第多少项是的第多少项是401？ 解解 因为因为 a15，d9(5)4， an401， 所以所以4015(n1)(4) 解得解得 n100 即这个数列的第即这个数列的第 100 项是项是401 （1）求等差数列）求等差数列 3，7，11， 的第的第 4，7，10 项；项；（2）求等差数列）求等差数列 10，8，6， 的第的第 20 项项在等差数列在等差数列an中：中：（1）d，a7 8，求，求 a1 ；（2）a1 12，a6 27，求，求 d 例例3 在在 3 与与 7 之间插入一个数之间插入一个数 A，使，使 3，A，7 成等差数列成等差数列 解解 因为因为 3，A，7 成等差数列，成等差数列，所以所以A3 7A， 2 A 3 7 解得解得 A5 一般地，如果一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做a与与 b 的等差中项的等差中项 A a + b 2求下列各组数的等差中项：求下列各组数的等差中项： （1）732与与136； （2）与）与42 例例4 已知一个等差数列的第已知一个等差数列的第 3 项是项是 5，第，第 8 项是项是 20， 求它的第求它的第 25 项项 解解 因为因为a 3 5，a 8 20，根据通项公式得根据通项公式得 整理，得整理，得解此方程组，得解此方程组，得 a11，d 3 所以所以a25 1(251)371. a1 (31)d 5a1 (81)d 20 a1 2 d 5a1 7 d 20 （1）已知等差数列已知等差数列an 中，中，a1 = 3，an = 21，d = 2， 求求 n （2）已知等差数列已知等差数列an 中，中，a4 = 10，a5 = 6， 求求 a8 和和 d 例例 5 梯子的最高一级是梯子的最高一级是 33 cm，最低一级是，最低一级是 89 cm， 中间还有中间还有 7 级，各级的宽度成等差数列级，各级的宽度成等差数列 求中间各级的宽度求中间各级的宽度解解 用用an 表示题中的等差数列表示题中的等差数列 已知已知a1= 33，an = 89，n = 9， 则则a9 = 33+（91）d ，即，即 89 = 33 + 8d， 解得解得 d = 7 于是于是 a2 = 33 + 7 = 40，a3 = 40 + 7 = 47，a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61，a6 = 61 + 7 = 68，a7 = 68 + 7 = 75，a8 = 75 + 7 = 82即梯子中间各级的宽从上到下依次是即梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm 例例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列 求证：它们的比是求证：它们的比是 3 4 5 证明设这个直角三角形的三边长分别为证明设这个直角三角形的三边长分别为ad，a，ad根据勾股定理，得根据勾股定理，得(ad)2 a2 (ad)2 解得解得a = 4 d 于是这个直角三角形的三边长是于是这个直角三角形的三边长是 3 d，4 d，5 d， 即这个直角三角形的三边长的比是即这个直角三角形的三边长的比是 3 4 5 1等差数列的定义及通项公式等差数列的定义及通项公式2. 等差中项的定义及公式等差中项的定义及公式3等差数列定义、通项公式和中项公式的应用等差数列定义、通项公式和中项公式的应用 教材教材 P 17，习题第，习题第 1，2，6 题题