第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系第1课时 【基础梳理基础梳理】1.1.相交线与平行线相交线与平行线(1)(1)同一平面内的两直线有两种位置同一平面内的两直线有两种位置关系关系:_:_和和_._.相交相交平行平行(2)(2)定义定义: :相交线相交线: :在同一平面内在同一平面内, ,只有只有_公共点的两条直线公共点的两条直线. .平行线平行线: :在同一平面内在同一平面内,_,_的两条直线的两条直线. .一个一个不相交不相交2.2.对顶角及性质对顶角及性质(1)(1)定义定义: :有有_,_,且两边且两边_的两个的两个角角. .(2)(2)性质性质: :对顶角对顶角_._.公共顶点公共顶点互为反向延长线互为反向延长线相等相等(3)(3)注意注意:对顶角都是成对出现的对顶角都是成对出现的. .对顶角的实质是两直线相交所成的没有公共边的两对顶角的实质是两直线相交所成的没有公共边的两个角个角. .对顶角不仅反映了角的数量关系对顶角不仅反映了角的数量关系, ,还反映了角的位置还反映了角的位置关系关系. .3.3.余角和补角余角和补角(1)(1)概念概念: :如果两个角的和是如果两个角的和是_,_,那么称这两个角互为余角那么称这两个角互为余角. .如果两个角的和是如果两个角的和是_,_,那么称这两个角互为补角那么称这两个角互为补角. .9090180180(2)(2)性质性质: :同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等, ,同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等. .(3)(3)注意注意:互补与互余强调的是角之间的数量关系互补与互余强调的是角之间的数量关系, ,与与其位置无关其位置无关. .一个角的补角比它的余角大一个角的补角比它的余角大90.90.【自我诊断自我诊断】1.1.如果两个角的和是如果两个角的和是90,90,那么这两个角互为那么这两个角互为_._.如果两个角的和是如果两个角的和是_,_,那么这两个角互为补角那么这两个角互为补角. .余角余角1801802.422.42的余角为的余角为_,127_,127的补角为的补角为_._.3.3.若若1=2,1=2,且且1 1与与2 2互余互余, ,则则1=2=_.1=2=_.4848535345454.4.若若A+B=180,B+C=180,A+B=180,B+C=180,则则A_C,A_C,理由是理由是_._.= =同角的补角相等同角的补角相等知识点一知识点一 对顶角及性质对顶角及性质 【示范题示范题1 1】如图如图, ,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,O,已知已知AOC=85,OEAOC=85,OE把把BODBOD分成两个角分成两个角, ,且且BOEEOD=23.BOEEOD=23.(1)(1)写出图中所有的对顶角写出图中所有的对顶角. .(2)(2)求求DOE,EOBDOE,EOB的度数的度数. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据对顶角的定义求解根据对顶角的定义求解. .(2)(2)根据对顶角的性质求出根据对顶角的性质求出BODBOD的度数的度数, ,设设BOE=2x,BOE=2x,根据题意列出方程根据题意列出方程, ,解方程即可解方程即可. .【自主解答自主解答】(1)(1)图中所有的对顶角有图中所有的对顶角有AOCAOC与与DOB,AODDOB,AOD与与BOC.BOC.(2)(2)设设BOE=2x,BOE=2x,则则DOE=3x,DOE=3x,BOD=AOC=85BOD=AOC=85, ,所以所以2x+3x=852x+3x=85, ,解得解得,x=17,x=17, ,则则2x=342x=34,3x=51,3x=51, ,所以所以BOE=34BOE=34,DOE=51,DOE=51. .【互动探究互动探究】对顶角相等对顶角相等, ,相等的角一定是对顶角吗相等的角一定是对顶角吗? ?提示提示: :不一定不一定. .相等的角只满足了数量关系相等的角只满足了数量关系, ,不能保证位不能保证位置关系置关系. .【备选例题备选例题】如图如图: :直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,BOE=DOE,O,BOE=DOE,已知已知AOC=70,AOC=70,求求BOE.BOE.【规范答题规范答题】因为因为BOE=DOE,BOE=DOE,所以所以BOD=2BOE.BOD=2BOE.又因为又因为BOD=AOC,AOC=70BOD=AOC,AOC=70, ,所以所以2BOE=702BOE=70, ,所以所以BOE=35BOE=35. .【微点拨微点拨】对顶角的三大特征对顶角的三大特征1.1.数量关系数量关系: :如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角, ,那么这两个角相等那么这两个角相等. .2.2.位置关系位置关系: :有公共顶点有公共顶点, ,两边互为反向延长线两边互为反向延长线, ,也可看也可看作两边形成两条相交的直线作两边形成两条相交的直线. .3.3.成对出现成对出现: :对顶角是两个角的关系对顶角是两个角的关系, ,其成对出现其成对出现. .知识点二知识点二 余角及补角的计算余角及补角的计算【示范题示范题2 2】一个角的余角比这个角的补角的一个角的余角比这个角的补角的 还小还小10,10,求这个角的度数求这个角的度数. .【思路点拨思路点拨】准确表示一个角的余角和这个角的补角准确表示一个角的余角和这个角的补角, ,根据题意列出根据题意列出方程方程, ,解方程即可解方程即可. .【自主解答自主解答】设这个角的度数为设这个角的度数为x,x,则这个角的余角为则这个角的余角为9090-x,-x,这个角这个角的补角为的补角为180180-x,-x,由题意得由题意得9090-x= (180-x= (180-x)-10-x)-10, ,解得解得x=60x=60. .【互动探究互动探究】一个角的余角大还是它的补角大一个角的余角大还是它的补角大? ?大多大多少少? ?提示提示: :一个角的补角大于它的余角一个角的补角大于它的余角, ,大大9090. .设这个角的度数为设这个角的度数为x.x.(180(180-x)-(90-x)-(90-x)=180-x)=180-x-90-x-90+x=90+x=90. .【备选例题备选例题】一个角的余角的一个角的余角的3 3倍比这个角的补角少倍比这个角的补角少24,24,那么这个角是多少度那么这个角是多少度? ?【规范答题规范答题】设这个角的度数为设这个角的度数为x,x,则这个角的余角为则这个角的余角为9090-x,-x,这个角这个角的补角为的补角为180180-x,-x,由题意得由题意得(180(180-x)-3(90-x)-3(90-x)=24-x)=24, ,解得解得x=57x=57. .【微点拨微点拨】余角和补角的计算方法余角和补角的计算方法1.1.直接计算直接计算: :(1)(1)与与互余互余, ,则则=90-=90-或或=90-=90-.(2)(2)与与互补互补, ,则则=180-=180-或或=180-.=180-.2.2.方程思想方程思想: :当问题中出现余角、补角之间的和差倍分当问题中出现余角、补角之间的和差倍分关系时关系时, ,可根据其中的相等关系可根据其中的相等关系, ,设未知数列方程求解设未知数列方程求解. .【纠错园纠错园】如图如图,EOC=AOC=BOD=90,EOC=AOC=BOD=90,有没有与有没有与BOCBOC互补的互补的角角? ?【错因错因】直观看图直观看图, ,没有将没有将BOCBOC转化转化. .