金属塑性变形理论第五讲第五讲Lesson Five张贵杰张贵杰Zhang GuijieTel：0315-2592155E-Mail： zhguijievip.sina.com河北理工大学金属材料与加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 063009Lesson 5Lesson 52024/9/52第十章 应力状态分析主要内容Main Contento应力状态基本概念应力状态基本概念 o斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 o求和约定和应力张量求和约定和应力张量 o主应力及主切应力主应力及主切应力 o球应力及偏差应力球应力及偏差应力 Lesson 5Lesson 52024/9/5310.4 主应力及主切应力主应力及主切应力o10.4.1 主应力的概念主应力的概念o通通过过坐坐标标变变换换可可以以找找到到只只有有正正应应力力的的坐坐标标面面，此此坐坐标标轴轴称称为为主主轴轴，此此应应力力称为称为主应力主应力，该坐标面为，该坐标面为主平面主平面。 Lesson 5Lesson 52024/9/54Lesson 5Lesson 52024/9/55Lesson 5Lesson 52024/9/56主应力的求解主应力的求解o如如果果取取微微分分面面ABC为为主主微微分分面面，即即该该微微分分面面上上只只有有主主应应力力而而没没有有切切应应力力。这这时时，作作用用在在此此面面上上的的全全应应力力就就是是主主应应力力。用用 表表示示主主应应力力，则则它它在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为 Lesson 5Lesson 52024/9/57o代入到斜面应力方程中有代入到斜面应力方程中有整理后可得整理后可得又有又有（*）（*）Lesson 5Lesson 52024/9/58o由由上上面面四四个个方方程程可可求求出出主主应应力力s s及及其其方方向向余余弦弦l、m、n。显显然然，前前三三个个方方程程构构成成一一个个齐齐次次方方程程组组，显显然然不不能能有有l = m = n = 0这这样样的的解解。如如要要方方程程组组有有其其他他解解时时，必必须须取取该该方方程程组的系数行列式为零，即组的系数行列式为零，即 Lesson 5Lesson 52024/9/59o展开此行列式，得展开此行列式，得令令则有则有Lesson 5Lesson 52024/9/510o三三次次方方程程式式称称为为应应力力状状态态特特征征方方程程。此此方方程程的的三三个个根根就就是是三三个个主主应应力力，而而这这三三个个主主应应力力均为实根。由因式分解可知均为实根。由因式分解可知 由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得展开后得Lesson 5Lesson 52024/9/511应力张量不变量应力张量不变量 对对同同一一点点应应力力状状态态，三三个个主主应应力力的的数数值值是是一一定定的的，而而与与过过该该点点的的坐坐标标系系的的选选择择无无关关，不不管管应应力力分分量量怎怎样样随随坐坐标标系系改改变变。那那么么I1、I2、I3 是是不不随随坐坐标标系系改改变变的的，分分别别称称为为一次、二次和三次应力常量一次、二次和三次应力常量，或称为，或称为应力张量不变量应力张量不变量。Lesson 5Lesson 52024/9/512主应力的特点主应力的特点o三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的o将将主主应应力力s s1代代入入（*）式式中中的的任任何何两两个个方方程程，并并与与（*）式式联联立立，可可以以求求解解出出主主应应力力s s1的的方方向向余余弦弦l1、m1、n1，同同理理，可可以以求求解解出出主主应应力力s s2及及s s3的的方方向向余余弦弦l2、m2、n2及及l3、m3、n3 。o每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系Lesson 5Lesson 52024/9/513o三个主应力均为实根三个主应力均为实根 o主应力具有极值性质主应力具有极值性质o三三个个主主应应力力中中的的最最大大值值赋赋给给s s1，最最小小值值赋赋给给s s3，并并按按大大小小顺顺序序排排列列s s1s s2s s3，则则过过该该点点任任意意微微分分斜斜面面上上的的正正应应力力中中，s s1为为最最大大值值，s s3为最小值。为最小值。 Lesson 5Lesson 52024/9/514主坐标系主坐标系o因因为为三三个个主主应应力力两两两两相相互互垂垂直直，若若取取坐坐标标轴轴与与主主应应力力方方向向一一致致，则则构构成成主主坐坐标标系系，其其坐坐标轴称为标轴称为主轴主轴。s s2s s12(y)3(z)1(x)s s3Lesson 5Lesson 52024/9/515o在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系下斜面上的应力为或或正应力正应力为主应力张量为主应力张量Lesson 5Lesson 52024/9/51610.4.2 主切应力和最大切应力主切应力和最大切应力 o主切应力主切应力o任任意意微微分分斜斜面面上上的的切切应应力力也也有有极极大大值值和和最最大大值值。极值切应力又称为主切应力。极值切应力又称为主切应力。 o在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力o上式中消去上式中消去n，得到，得到t tn与与l、m的函数关系的函数关系 Lesson 5Lesson 52024/9/517o当当微微分分面面转转动动时时，切切应应力力随随之之变变化化。我我们们所所求求的的是是，当当l、m、n为为何何值值时时，微微分分面面上上的的切切应应力力取取极极值值。由由二二元元函函数数f(x,y)求求极极值值的的方方法法可可求求得得微分面上的切应力的极值。微分面上的切应力的极值。 Lesson 5Lesson 52024/9/518对此方程组求解分不同情况对此方程组求解分不同情况o当当s s1s s2s s3时，时，1） ，此解指主微分面上切应力为零，此解指主微分面上切应力为零2） 时，时， 3） 时，时， 4） 时，此种情况不可能成立。时，此种情况不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，则有，则有 Lesson 5Lesson 52024/9/519l0m0n0Lesson 5Lesson 52024/9/520o当当s s1s s2s s3时，时，则切应力在通过该点的任何则切应力在通过该点的任何微分面上为零。微分面上为零。o主切应力主切应力 o最大切应力最大切应力Lesson 5Lesson 52024/9/521l000m000n000切切应力力000正正应力力主平面和主切平面上所作用的应力主平面和主切平面上所作用的应力 Lesson 5Lesson 52024/9/522练习o已知变形体内某点的应力状态已知变形体内某点的应力状态 N/mm2 试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。Lesson 5Lesson 52024/9/523o解：解：s s（1 1） = 60MPa为一主应为一主应力。力。y面面y向向缩减应力张量的维数缩减应力张量的维数Lesson 5Lesson 52024/9/524写出该张量的特征方程写出该张量的特征方程展开并求解展开并求解 Lesson 5Lesson 52024/9/525o按大小顺序排列后，得到按大小顺序排列后，得到o求求s s1的方向余弦。将的方向余弦。将s s1代入到（代入到（*）式中）式中与与 联立求解，因联立求解，因m = 0，所以有，所以有解得：解得：或或Lesson 5Lesson 52024/9/526o同理可求得s s2、s s3的方向余弦的方向余弦os s2os s3或或或或xzs s 1s s 3Lesson 5Lesson 52024/9/527课后作业Homeworko习题集习题集P6习题习题19、23、26o习题集习题集P6习题习题36写在作业纸上，下周一交。写在作业纸上，下周一交。