9.10 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法0 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值0 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、多元函数极值的定义、多元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值使函数取得极值的点称为极值点的点称为极值点. . 设设P P R Rn n, , 函数函数u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某邻域的某邻域U(pU(p0 0, , ) )内有内有定义，对任何定义，对任何p p U(p U(p0 0, , ), p), pp p0 0, , 都有都有f(p)f(pf(p)f(pf(p)f(p0 0), ), 称称函数函数 u=f(p)u=f(p)在在p p0 0点有极小值。点有极小值。(1)(2)(3)例例1 1例例例例2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证前提：多元函数在（前提：多元函数在（X0,Y0）处有偏导。）处有偏导。注：注：1）极值点处的切平面平行于）极值点处的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否为极值点？注意：注意：求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为最小者为m故故M=25=25，m=9=9解解(舍去舍去x1)解解 由由 x=y无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值解解则则 2x=3y, y=2z解解可得可得即即1. 在椭圆在椭圆 上求一点，使其到直线上求一点，使其到直线的距离最短。的距离最短。解解 设设P(x，y)为椭圆为椭圆 上任意一点，则上任意一点，则P到直线到直线的距离为的距离为求求d 的最小值点即求的最小值点即求 的最小值点。作的最小值点。作由由lagrange乘数法，令乘数法，令得方程组得方程组解此方程组得解此方程组得于是于是由问题的实际意义最短距离存在，因此由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。即为所求点。3.3.解解分析分析:得得P190 6思考思考