University of Science and Technology of China第一章第一章 整数的因子分解整数的因子分解整除的概念整除的概念 带余数除法带余数除法最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法整除的进一步性质整除的进一步性质质数（素数）质数（素数） 算术基本定理算术基本定理取整函数及其在数论中的一个应用取整函数及其在数论中的一个应用第一章第一章 整数的因子分解整数的因子分解$1 整除的概念 带余数除法2、整除的基本定理、整除的基本定理定理1（传递性）：ab，bc ac 定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数3 3、带余数除法、带余数除法带余除法的应用举例带余除法的应用举例例例1 1 证明形如证明形如3n-13n-1的数不是平方数。的数不是平方数。例例 2 2、 任任 意意 给给 出出 的的5 5个个 整整 数数 中中 ， 必必 有有3 3个个 数数 之之和被和被3 3整除。整除。$2 $2 最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法2 2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论3 3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数、下面先讨论两个非负整数的最大公因数定理定理2 2 设设b b是任一正整数，则是任一正整数，则(i)0(i)0与与b b的公因数就是的公因数就是b b的因数，反之，的因数，反之， b b的因数也的因数也 就是就是0 0与与b b的公因数。的公因数。(ii) (0,b)=b(ii) (0,b)=b。4 4、定理、定理3 3 设设a,b,ca,b,c是三个不全为零的整数，且是三个不全为零的整数，且a=bq+ca=bq+c其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数，因而(a,b)=(b,c) 5、计算最大公约数的算法计算最大公约数的算法辗转相除法辗转相除法， 又称又称EuclidEuclid算法。它是数论中的一个重要算法。它是数论中的一个重要 方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。定义定义 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。说明：（1）利用辗转相除法可以求两个整数的最大公因数解：因为735000=2389483+18156， 238948=1815613+2920 18156=29206+636 2920=6364+376 636=3761+260 376=2601+116 260=1162+28 116=284+4 28=47所以（735000，238948）=4.例1：求（735000，238948）.例2：求（2605，-5125）.解：因为5125=26051+2520， 2605=25201+85 2520=8529+55 85=551+30 55=301+25 30=251+5 25=55所以（2605，-5125）=5.6 6、最大公因数的两个性质、最大公因数的两个性质 对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设例3：求（2605，3245，7250）.解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=26051+1180， 2605=11801+885 1180=8851+295 885=2953 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=29524+170， 295=1701+125 170=1251+45 125=452+35 45=351+10 35=103+5 10=52所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5. 本节最后介绍另外一种求两个整数最大公因数的方法，先给出下面几个结果： 即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和减法运算就可以计算出(a,b)例1、求（12345,678）解： （12345,678）=（12345，339）=（12006,339）=（6003,339）=（5664,339） =（177,339）=（177,162）=（177，81）=（96,81）=（3,81）=3所以，命题得证。$3 整除的进一步性质及最小公倍数例例 用辗转相除法求(125, 17)，以及x，y，使得 125x 17y = (125, 17)。解 做辗转相除法：则 对于两个以上整数的最小公倍数问题，不妨设注：多项式的带余除法类似于整数的带余除法$4 质（素）数 算术基本定理一、质（素）数一、质（素）数1、定义 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫合数。2、与素数相关的性质定理证：必要性显然。 对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它后面所有2的倍数，剩下的第一个数是3，它不是2的倍所以它是素数。 依次，当我们把所有的不大于的素数。 这种方法是希腊时代幼拉脱斯展纳发明的，好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。 数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展。发展。 过去过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法试除法。 若用计算机编成程序，对于若用计算机编成程序，对于10位数，几乎瞬间即位数，几乎瞬间即可完成，对于一个可完成，对于一个20位数，则需要位数，则需要2个小时，对于一个小时，对于一个个50位数就需要一百亿年，令人吃惊的是，要检验位数就需要一百亿年，令人吃惊的是，要检验一个一百位数，需要的时间就猛增到一个一百位数，需要的时间就猛增到1036年。年。 到了到了1980年年,这种困难的情况得到了改观这种困难的情况得到了改观,阿德曼阿德曼(Adleman),鲁梅利鲁梅利(Rumely),科恩科恩(Cohen),和伦斯特拉和伦斯特拉(Lenstra)研究出一种非常复杂的研究出一种非常复杂的技巧技巧, ,现在以他们的名现在以他们的名字的首字字的首字母命名的母命名的ARCLARCL检验法检验法。 检验一个检验一个20位数只消位数只消10秒钟秒钟,对于一个对于一个50位数用位数用15秒秒钟钟, 100位数用位数用40秒钟，如果要他检验一个秒钟，如果要他检验一个1000位数，位数，只要用一个星期也就够了。只要用一个星期也就够了。 但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来，但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来，只只能回答一个数是否是素数能回答一个数是否是素数.定理3、素数的个数是无穷的。注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330-前275），著有几何原本，他在此书中率先证明了素数的无限性，这个证明一直被当作数学证明的典范，受到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、优美而不失深刻。其证明思路如下：证明: 假设正整数中只有有限个质数，设为定理3、素数的个数是无穷的。关于素数的个数，有著名的素数定理：下面列举的数字也可以说明定理的真实性。素数定理是古典素数分布的理论核心，这个定理大约是在1798年高斯与勒让德作为猜想提出的。之后许多学者都做过深入的研究，但都没有成功。1896年，法国数学家哈达马及比利时数学家德.瓦利-普斯因同时独立地证明了它，他们是用黎曼zata函数获得解决的。1949年，挪威数学家赛尔伯格与匈牙利数学家爱尔特希第一次给出不用很多函数论知识，也可以说是一个初等的证明。他们的证明是依靠一个不等式，但是这个所谓的初等证明也是非常复杂的。1950年，赛尔伯格还因为这个证明获得了菲尔茨奖。二、算术基本定理1、定理4 任一大于1的整数能表成素数的乘积，即任一大于1的整数此为算术基本定理。2、正整数的标准分解式推论4.1 任一大于1的整数a能够唯一地写成推论4.2 设a是任一大于1的整数，且推论4.3 设a,b是任意两个正整数，且注：利用推论容易证明：定理5 设a是任一大于1的正整数 然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公式的，它们是式的，它们是3,5,17,257和和65537,分别对应于分别对应于n=0,1,2,3,4。 瑞士科学家欧拉于瑞士科学家欧拉于1732年举出年举出现已证明：现已证明： n=520，22，23，36，38，73等的等的Fn皆非素数。皆非素数。 http:/www.fermatsearch.org/status.htm故费马的猜测不正确。故费马的猜测不正确。1、费马数、费马数：与素数有关的某些问题尺规作图是起源于古希腊的数学课题。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。尺规作图是指尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图用没有刻度的直尺和圆规作图。 只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。它只可以拉开成之前构造过的长度。2、费马数与尺规作图的联系：、费马数与尺规作图的联系：一般地，任意正n边形有以下结论：3、梅森数梅森数(Mersenne number)是指形如2p1的正整数， 其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著几何原本 第九章中论述完美数时指出：如果2P1是素数， 则(2p1)2p-1是完美数。 梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上 ，对2p1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的 物理数学随感一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P1是素数 而对于其他所有小于257的数时，2P1是合数。 前面的7个数属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数属于被猜测的部分。 值得提出的是：虽然梅森的断言中包含着若干错误， 但他的工作极大地激发了人们研究2P1型素数的热情， 在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国 数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。 此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。GIMPS ：1995年程序设计师乔治沃特曼(George Woltman) 编制了一个梅森素数寻找程序并把它放在网页上供数学爱好者免费使用：“互联网梅森素数大搜索”计划(GIMPS，the Great Internet Mersenne Prime Search)。http:/www.equn.com/gimps/EFF：1999年3月，在互联网上活动的一个协会“电子边界基金”(EFF，Electronic Frontier Foundation)宣布了由一位匿名者资助的为寻找巨大素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一百万位的素数的个人或机构颁发五万美元的奖金，超过一千万位，十万美元；超过一亿位，十五万美元；超过十亿位，二十五万美元。 2005年，美国数学家C.Cooper和S.Boone领导的科研小组CMSU小组小组发现了第43个梅森素数，该素数有9 152 052位数：2006年年9月月4日，日，CMSU小组再次取得新的成功，小组再次取得新的成功，一个新的更大的素数即第一个新的更大的素数即第44个梅森素数又被这两个梅森素数又被这两人发现，这个素数是人发现，这个素数是232582657-1,它有它有9808358位，比前面他们发现的第位，比前面他们发现的第43个梅森素个梅森素数多了数多了650000位。位。 2008年8月23日，加州大学洛杉矶分校的电脑发现第四十五已知梅森素数，243112609-1，一个庞大的12,978,189位数字！这个素数获得资格，由EFF的十万美元奖金发现第一个千万位数的素数。仅仅相隔两个星期，2008年9月6日，第46个梅森素数，237156667-1，11,185,272位数，由Hans-MichaelElvenich发现，在Langenfeld，德国科隆附近！这是自Colquitt和Welsh在1988年发现2110503-1以来首次梅森素数不按顺序被发现。 时至今日止，人们已经发现了47个梅森素数，并且确定M20996011位于梅森素数序列中的第40位。关于梅森数有下列的一个命题：第五节第五节 函数函数x,x及其在数论中的一个应用及其在数论中的一个应用一、取整函数及性质1、取整函数x的定义:函数x与x是对于一切实数都有定义的函数，函数x的值等于不大于x的最大整数； 函数x的值是x-x.把x叫做x的整数部分，x叫做x的小数部分。问题：这两个函数的图像如何？2、取整函数的简单性质例题则原命题等价于证注：此为厄米特恒等式。二、取整函数的一个应用例3、求50！中3的最高幂3（50！）=16+5+1例4、求1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数解：1000！的十进制表示式中因子5的个数等于因子10的个数，所以1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数等于因子5的个数，即作业：P14 1.3， 1.7， 1.9， 1.18谢谢！2024/9/588Q & A